Номер 14.6, страница 352 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава III. Элементы теории вероятностей. § 14*. Математическое ожидание. Закон больших чисел. 14.1*. Математическое ожидание - номер 14.6, страница 352.

Условие.

14.6 Подбросили игральную кость. Если выпадает число 6, то игрок A получает $n$ очков, а игрок B — $0$ очков. В других случаях игрок A получает $0$ очков, а игрок B — $1$ очко. Рассмотрите случаи:

а) $n = 4$;

б) $n = 5$;

в) $n = 6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для анализа данной игры и определения, является ли она справедливой, выгодной для одного из игроков или нет, мы найдем математическое ожидание (среднее количество очков за один бросок) для каждого игрока.

У стандартной шестигранной игральной кости 6 граней. Вероятность выпадения любого конкретного числа, включая 6, равна $1/6$.

Вероятность события "выпало число 6" составляет $P(6) = \frac{1}{6}$.

Вероятность события "выпало другое число" (то есть 1, 2, 3, 4 или 5) составляет $P(\text{не 6}) = \frac{5}{6}$.

Математическое ожидание очков для игрока А, обозначим его $E_A$, вычисляется по формуле:
$E_A = (\text{очки игрока А при выпадении 6}) \cdot P(6) + (\text{очки игрока А в других случаях}) \cdot P(\text{не 6})$
$E_A = n \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{5}{6} = \frac{n}{6}$.

Математическое ожидание очков для игрока В, обозначим его $E_B$, вычисляется аналогично:
$E_B = (\text{очки игрока В при выпадении 6}) \cdot P(6) + (\text{очки игрока В в других случаях}) \cdot P(\text{не 6})$
$E_B = 0 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{6}$.

Игра считается справедливой, если математические ожидания выигрышей игроков равны ($E_A = E_B$). Если $E_A > E_B$, игра выгоднее игроку А. Если $E_A < E_B$, игра выгоднее игроку В.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

а) n = 4

Подставим значение $n=4$ в формулу для математического ожидания игрока А:
$E_A = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Математическое ожидание для игрока В не зависит от $n$ и равно $E_B = \frac{5}{6}$.

Сравним полученные значения: $E_A = \frac{4}{6}$ и $E_B = \frac{5}{6}$.
Так как $\frac{4}{6} < \frac{5}{6}$, то в среднем игрок В будет получать больше очков, чем игрок А. Следовательно, игра выгоднее для игрока В.

Ответ: при $n=4$ среднее количество очков за бросок у игрока А составляет $4/6$, а у игрока B — $5/6$. Игра является невыгодной для игрока А и выгодной для игрока В.

б) n = 5

Подставим значение $n=5$ в формулу для математического ожидания игрока А:
$E_A = \frac{5}{6}$.

Математическое ожидание для игрока В по-прежнему равно $E_B = \frac{5}{6}$.

Сравним полученные значения: $E_A = \frac{5}{6}$ и $E_B = \frac{5}{6}$.
Так как $E_A = E_B$, математические ожидания очков для обоих игроков равны. Это означает, что игра является справедливой.

Ответ: при $n=5$ среднее количество очков за бросок у обоих игроков одинаково и равно $5/6$. Игра является справедливой.

в) n = 6

Подставим значение $n=6$ в формулу для математического ожидания игрока А:
$E_A = \frac{6}{6} = 1$.

Математическое ожидание для игрока В не меняется и равно $E_B = \frac{5}{6}$.

Сравним полученные значения: $E_A = 1$ и $E_B = \frac{5}{6}$.
Так как $1 > \frac{5}{6}$, то в среднем игрок А будет получать больше очков, чем игрок В. Следовательно, игра выгоднее для игрока А.

Ответ: при $n=6$ среднее количество очков за бросок у игрока А равно $1$, а у игрока B — $5/6$. Игра является выгодной для игрока А и невыгодной для игрока В.