Номер 14.7, страница 352 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава III. Элементы теории вероятностей. § 14*. Математическое ожидание. Закон больших чисел. 14.1*. Математическое ожидание - номер 14.7, страница 352.

Условие.

14.7 Подбрасываются две монеты. Игрок A получает $a$ очков, если выпадают два герба, $0$ очков в других случаях. Игрок B получает $b$ очков, если выпадают герб и решка, $0$ очков в других случаях. Найдите отношение $a : b$, при котором эта игра станет справедливой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Игра считается справедливой, если математические ожидания (средние ожидаемые значения) количества очков для обоих игроков равны. Обозначим математическое ожидание для игрока А как $E(A)$ и для игрока В как $E(B)$. Условие справедливой игры: $E(A) = E(B)$.

Сначала определим все возможные исходы при подбрасывании двух монет и их вероятности. Пусть "Г" - герб, а "Р" - решка. Существует четыре равновероятных исхода:
1. ГГ (два герба)
2. ГР (герб и решка)
3. РГ (решка и герб)
4. РР (две решки)

Вероятность каждого из этих исходов равна $\frac{1}{4}$.

Теперь рассчитаем математическое ожидание для каждого игрока.

Игрок А получает $a$ очков при выпадении двух гербов (исход ГГ). Вероятность этого события $P(A) = \frac{1}{4}$. В остальных трех случаях он получает 0 очков. Математическое ожидание для игрока А:$E(A) = a \cdot P(\text{ГГ}) + 0 \cdot (1 - P(\text{ГГ})) = a \cdot \frac{1}{4}$.

Игрок В получает $b$ очков при выпадении герба и решки. Таких исходов два: ГР и РГ. Вероятность этого события $P(B) = P(\text{ГР}) + P(\text{РГ}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. В остальных случаях он получает 0 очков. Математическое ожидание для игрока В:$E(B) = b \cdot P(\text{ГР или РГ}) + 0 \cdot (1 - P(\text{ГР или РГ})) = b \cdot \frac{1}{2}$.

Приравняем математические ожидания, чтобы игра стала справедливой:$E(A) = E(B)$
$\frac{a}{4} = \frac{b}{2}$

Чтобы найти отношение $a:b$, выразим $a$ через $b$:$a = \frac{4b}{2}$
$a = 2b$

Отсюда отношение $\frac{a}{b} = 2$, или $a : b = 2 : 1$.

Ответ: $2:1$