Номер 14.7, страница 352 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

14.1*. Математическое ожидание. § 14*. Математическое ожидание. Закон больших чисел. Глава III. Элементы теории вероятностей - номер 14.7, страница 352.

14.7 Подбрасываются две монеты. Игрок A получает $a$ очков, если выпадают два герба, $0$ очков в других случаях. Игрок B получает $b$ очков, если выпадают герб и решка, $0$ очков в других случаях. Найдите отношение $a : b$, при котором эта игра станет справедливой.

Игра считается справедливой, если математические ожидания (средние ожидаемые значения) количества очков для обоих игроков равны. Обозначим математическое ожидание для игрока А как $E(A)$ и для игрока В как $E(B)$. Условие справедливой игры: $E(A) = E(B)$.

Сначала определим все возможные исходы при подбрасывании двух монет и их вероятности. Пусть "Г" - герб, а "Р" - решка. Существует четыре равновероятных исхода:
1. ГГ (два герба)
2. ГР (герб и решка)
3. РГ (решка и герб)
4. РР (две решки)

Вероятность каждого из этих исходов равна $\frac{1}{4}$.

Теперь рассчитаем математическое ожидание для каждого игрока.

Игрок А получает $a$ очков при выпадении двух гербов (исход ГГ). Вероятность этого события $P(A) = \frac{1}{4}$. В остальных трех случаях он получает 0 очков. Математическое ожидание для игрока А:$E(A) = a \cdot P(\text{ГГ}) + 0 \cdot (1 - P(\text{ГГ})) = a \cdot \frac{1}{4}$.

Игрок В получает $b$ очков при выпадении герба и решки. Таких исходов два: ГР и РГ. Вероятность этого события $P(B) = P(\text{ГР}) + P(\text{РГ}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. В остальных случаях он получает 0 очков. Математическое ожидание для игрока В:$E(B) = b \cdot P(\text{ГР или РГ}) + 0 \cdot (1 - P(\text{ГР или РГ})) = b \cdot \frac{1}{2}$.

Приравняем математические ожидания, чтобы игра стала справедливой:$E(A) = E(B)$
$\frac{a}{4} = \frac{b}{2}$

Чтобы найти отношение $a:b$, выразим $a$ через $b$:$a = \frac{4b}{2}$
$a = 2b$

Отсюда отношение $\frac{a}{b} = 2$, или $a : b = 2 : 1$.

Ответ: $2:1$