Номер 14.1, страница 351 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

14.1*. Математическое ожидание. § 14*. Математическое ожидание. Закон больших чисел. Глава III. Элементы теории вероятностей - номер 14.1, страница 351.

14.1 Рулетка имеет 38 номеров, выпадание каждого из которых единственно возможно и равновозможно. Если выпадет номер, на который поставил игрок, то он получает свою ставку обратно, плюс ту же сумму в 35-кратном размере, если нет, то теряет свою ставку. Определите, сколько в среднем теряет каждый игрок в одной игре при ставке в 19 рублей.

Для того чтобы определить, сколько в среднем теряет игрок, необходимо рассчитать математическое ожидание его чистого выигрыша за одну игру. Математическое ожидание $E(X)$ — это сумма произведений всех возможных исходов на их вероятности.

В задаче есть два возможных исхода: выигрыш и проигрыш.

1. Расчет вероятностей и исходов

Пусть ставка игрока $S = 19$ рублей. Рулетка имеет 38 номеров, и выпадение каждого из них равновозможно.

• Выигрыш: Игрок ставит на один номер. Вероятность того, что именно этот номер выпадет, составляет $P_{выигрыш} = \frac{1}{38}$. В случае выигрыша он получает свою ставку $S$ обратно и еще $35 \times S$ сверху. Таким образом, его чистый выигрыш (прибыль) составит $35 \times S$.
  Чистый выигрыш = $35 \times 19 = 665$ рублей.

• Проигрыш: Игрок проигрывает, если выпадает любой из остальных $38 - 1 = 37$ номеров. Вероятность этого события составляет $P_{проигрыш} = \frac{37}{38}$. В случае проигрыша он теряет свою ставку $S$. Его чистый выигрыш в этом случае — отрицательная величина.
  Проигрыш (отрицательный выигрыш) = $-S = -19$ рублей.

2. Расчет математического ожидания

Математическое ожидание чистого выигрыша $E(X)$ вычисляется по формуле:

$E(X) = (чистый \space выигрыш \times P_{выигрыш}) + (проигрыш \times P_{проигрыш})$

Подставим наши значения:

$E(X) = (665 \times \frac{1}{38}) + (-19 \times \frac{37}{38})$

Чтобы упростить вычисления, можно вынести общий множитель $\frac{19}{38}$ за скобки:

$E(X) = \frac{19}{38} \times (35 \times 1 - 1 \times 37)$

Сократим дробь $\frac{19}{38}$ до $\frac{1}{2}$:

$E(X) = \frac{1}{2} \times (35 - 37)$

$E(X) = \frac{1}{2} \times (-2)$

$E(X) = -1$

Математическое ожидание равно -1 рублю. Это означает, что в среднем за каждую игру игрок будет терять 1 рубль.

Ответ: в среднем каждый игрок теряет 1 рубль в одной игре при ставке в 19 рублей.