Номер 13.6, страница 348 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

13.2*. Условная вероятность. Независимые события. § 13*. Частота. Условная вероятность. Глава III. Элементы теории вероятностей - номер 13.6, страница 348.

13.6 В ящике находятся 15 шаров: 7 белых и 8 чёрных, из них 3 белых шара и 2 чёрных помечены звёздочками. Опыт состоит в том, что из ящика наугад вынимают один шар.

Событие $A$ заключается в том, что вынут белый шар, событие $B$ — «вынут чёрный шар», событие $C$ — «вынут шар, помеченный звёздочкой».

Вычислите вероятность:

а) $P(A)$;

б) $P(B)$;

в) $P(C)$;

г) $P_C(A)$;

д) $P_C(B)$;

е) $P_A(C)$;

ж) $P_B(C)$;

з) $P_B(A)$.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $N$ – общее количество шаров в ящике, $N = 15$.
• $N_W$ – количество белых шаров, $N_W = 7$.
• $N_B$ – количество чёрных шаров, $N_B = 8$.
• $N_{WS}$ – количество белых шаров, помеченных звёздочками, $N_{WS} = 3$.
• $N_{BS}$ – количество чёрных шаров, помеченных звёздочками, $N_{BS} = 2$.
• $N_S$ – общее количество шаров, помеченных звёздочками, $N_S = N_{WS} + N_{BS} = 3 + 2 = 5$.

События:

• $A$ – вынут белый шар.
• $B$ – вынут чёрный шар.
• $C$ – вынут шар, помеченный звёздочкой.

а) P(A);
Вероятность события A (вынут белый шар) вычисляется как отношение числа белых шаров к общему числу шаров.$P(A) = \frac{N_W}{N} = \frac{7}{15}$.
Ответ: $P(A) = \frac{7}{15}$

б) P(B);
Вероятность события B (вынут чёрный шар) вычисляется как отношение числа чёрных шаров к общему числу шаров.$P(B) = \frac{N_B}{N} = \frac{8}{15}$.
Ответ: $P(B) = \frac{8}{15}$

в) P(C);
Вероятность события C (вынут шар, помеченный звёздочкой) вычисляется как отношение числа шаров со звёздочками к общему числу шаров.$P(C) = \frac{N_S}{N} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $P(C) = \frac{1}{3}$

г) P_C(A);
Это условная вероятность того, что вынут белый шар, при условии, что он помечен звёздочкой. Мы рассматриваем только шары со звёздочками. Всего таких шаров 5, из них белых — 3.$P_C(A) = P(A|C) = \frac{\text{число белых шаров со звёздочкой}}{\text{общее число шаров со звёздочкой}} = \frac{N_{WS}}{N_S} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $P_C(A) = \frac{3}{5}$

д) P_C(B);
Это условная вероятность того, что вынут чёрный шар, при условии, что он помечен звёздочкой. Мы рассматриваем только шары со звёздочками. Всего таких шаров 5, из них чёрных — 2.$P_C(B) = P(B|C) = \frac{\text{число чёрных шаров со звёздочкой}}{\text{общее число шаров со звёздочкой}} = \frac{N_{BS}}{N_S} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $P_C(B) = \frac{2}{5}$

е) P_A(C);
Это условная вероятность того, что на вынутом шаре есть звёздочка, при условии, что он белый. Мы рассматриваем только белые шары. Всего белых шаров 7, из них со звёздочкой — 3.$P_A(C) = P(C|A) = \frac{\text{число белых шаров со звёздочкой}}{\text{общее число белых шаров}} = \frac{N_{WS}}{N_W} = \frac{3}{7}$.
Ответ: $P_A(C) = \frac{3}{7}$

ж) P_B(C);
Это условная вероятность того, что на вынутом шаре есть звёздочка, при условии, что он чёрный. Мы рассматриваем только чёрные шары. Всего чёрных шаров 8, из них со звёздочкой — 2.$P_B(C) = P(C|B) = \frac{\text{число чёрных шаров со звёздочкой}}{\text{общее число чёрных шаров}} = \frac{N_{BS}}{N_B} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $P_B(C) = \frac{1}{4}$

з) P_B(A).
Это условная вероятность того, что вынут белый шар, при условии, что он чёрный. События A (вынут белый шар) и B (вынут чёрный шар) являются несовместными, то есть не могут произойти одновременно. Если вынут чёрный шар, то он не может быть белым.$P_B(A) = P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0}{8/15} = 0$.
Ответ: $P_B(A) = 0$