Номер 12.26, страница 342 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава III. Элементы теории вероятностей. Параграф 12. Вероятность события. 12.2. Свойства вероятностей событий - номер 12.26, страница 342.

Условие.

12.26 Имеется 16 игральных карт: 4 валета, 4 дамы, 4 короля и 4 туза. Из колоды наудачу вынимают одну карту. Какова вероятность, что будет вынута или козырная карта, или дама?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи определим общее число возможных исходов и число благоприятных исходов.

Общее число возможных исходов равно общему количеству карт в колоде. $n = 16$

Событие, вероятность которого нужно найти, — «будет вынута или козырная карта, или дама». Это объединение двух событий:

• Событие A: «вынута козырная карта».
• Событие B: «вынута дама».

Нам нужно найти вероятность $P(A \cup B)$.

Поскольку в колоде 4 валета, 4 дамы, 4 короля и 4 туза, это означает, что карты имеют 4 разные масти. Одна из мастей назначается козырной. Следовательно, козырных карт в колоде 4 (козырный валет, козырная дама, козырный король и козырный туз).

Количество дам в колоде также равно 4.

События A и B являются совместными, так как существует карта, которая является одновременно и дамой, и козырной — это козырная дама. Поэтому для расчета вероятности их объединения нужно использовать формулу сложения вероятностей для совместных событий: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Найдем каждую из вероятностей:

• Вероятность вынуть козырную карту $P(A) = \frac{\text{число козырных карт}}{\text{общее число карт}} = \frac{4}{16}$
• Вероятность вынуть даму $P(B) = \frac{\text{число дам}}{\text{общее число карт}} = \frac{4}{16}$
• Вероятность вынуть карту, которая является и козырем, и дамой (козырную даму), $P(A \cap B) = \frac{\text{число козырных дам}}{\text{общее число карт}} = \frac{1}{16}$

Теперь подставим эти значения в формулу: $P(A \cup B) = \frac{4}{16} + \frac{4}{16} - \frac{1}{16} = \frac{4 + 4 - 1}{16} = \frac{7}{16}$

Альтернативный способ решения
Можно напрямую подсчитать число благоприятных исходов. Благоприятный исход — это карта, которая является либо козырем, либо дамой.
Количество козырных карт = 4.
Количество дам = 4.
При простом сложении $4+4=8$ мы дважды посчитали одну карту — козырную даму. Поэтому, чтобы найти общее количество уникальных карт, удовлетворяющих условию, нужно вычесть это дублирование.
Число благоприятных исходов $m = 4 (\text{козыри}) + 4 (\text{дамы}) - 1 (\text{козырная дама}) = 7$.
Вероятность вынуть одну из этих карт равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P = \frac{m}{n} = \frac{7}{16}$

Ответ: $\frac{7}{16}$