Номер 12.25, страница 341 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

12.2. Свойства вероятностей событий. § 12. Вероятность события. Глава III. Элементы теории вероятностей - номер 12.25, страница 341.

12.25* В некотором царстве, в некотором государстве живут правдолюбцы, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые могут лгать или говорить правду, но не любят признаваться в этом. Для получения правдивой информации о количестве лжецов было проведено такое исследование. Каждого испытуемого спрашивали: «Вы лжец?» Прежде чем ответить, испытуемый подбрасывал монету так, чтобы результат этого опыта был виден только ему одному. Если выпадал герб, то он должен был сказать «да» (независимо от того, кем он является на самом деле). Если же выпадала решка, то он должен был правдиво ответить на вопрос (в этом случае исследователи не могли знать, кем на самом деле является испытуемый, так как они не знали результата опыта с монетой). В результате исследования выяснилось, что 61% граждан царства-государства ответили «да», остальные — «нет». Сколько процентов граждан этого царства-государства являются лжецами, если были опрошены все граждане?

Для решения этой задачи давайте разберем, кто и в каких случаях отвечает «да» на вопрос «Вы лжец?». Введем переменные:

• Пусть $L$ — это доля лжецов в общем количестве граждан.
• Пусть $P$ — это доля правдолюбцев.

Мы знаем, что все граждане принадлежат к одной из этих двух групп, поэтому $L + P = 1$. Наша цель — найти значение $L$.

Теперь проанализируем ответы. Каждый испытуемый подбрасывает монету. Вероятность выпадения герба равна 0.5, и вероятность выпадения решки также равна 0.5.

Ответ «да» можно получить в двух случаях:

1. Выпал герб.
По условию, если выпадает герб, испытуемый обязан сказать «да», независимо от того, лжец он или правдолюбец. Это относится ко всем гражданам. Таким образом, половина всех граждан ($0.5$ или $50\%$) скажет «да» по этой причине.
Доля таких ответов от общего числа граждан: $0.5 \times (L + P) = 0.5 \times 1 = 0.5$.

2. Выпала решка.
Если выпадает решка, испытуемый должен ответить на вопрос «Вы лжец?» правдиво.
- Если правдолюбец ($P$) правдиво отвечает на этот вопрос, он скажет «нет».
- Если лжец ($L$) правдиво отвечает на этот вопрос, он скажет «да».
Следовательно, в случае выпадения решки «да» скажут только лжецы. Вероятность такого события для любого случайно взятого гражданина равна произведению вероятности выпадения решки и вероятности того, что этот гражданин — лжец.
Доля таких ответов от общего числа граждан: $0.5 \times L$.

Теперь мы можем составить уравнение. Общая доля граждан, ответивших «да», равна сумме долей из первого и второго случаев. По условию, эта общая доля составляет 61%, или $0.61$.

$(\text{доля ответивших «да» из-за герба}) + (\text{доля ответивших «да» из-за решки}) = \text{общая доля ответивших «да»}$

$0.5 + 0.5 \times L = 0.61$

Теперь решим это уравнение относительно $L$:

$0.5 \times L = 0.61 - 0.5$

$0.5 \times L = 0.11$

$L = \frac{0.11}{0.5}$

$L = 0.22$

Таким образом, доля лжецов составляет $0.22$, что равно $22\%$.

Для проверки можно рассмотреть долю ответивших «нет». «Нет» отвечали те, кому выпала решка (вероятность $0.5$) и кто является правдолюбцем (доля $P = 1 - L$).

Доля правдолюбцев: $P = 1 - 0.22 = 0.78$.

Доля ответов «нет»: $0.5 \times P = 0.5 \times 0.78 = 0.39$.

Это соответствует данным из условия: $100\% - 61\% = 39\%$, или $0.39$ от общего числа граждан. Расчеты верны.

Ответ: 22% граждан этого царства-государства являются лжецами.