Номер 12.23, страница 341 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

12.2. Свойства вероятностей событий. § 12. Вероятность события. Глава III. Элементы теории вероятностей - номер 12.23, страница 341.

12.23 Бросают игральный кубик. События $A$, $B$, $C$, $D$ заключаются в выпадении числа очков: чётного (событие $A$); кратного 3 (событие $B$); не равно 5 (событие $C$); не равно или 5, или 1 (событие $D$). Верно ли, что:

а) $A \cup B = C$

б) $A \cup B = D$

в) $C \cap D = D$

г) $C \cap A = A$

Для решения задачи сначала определим множество всех возможных исходов при бросании игрального кубика, а затем определим множества, соответствующие каждому событию.

Множество всех элементарных исходов (выпавших очков): $ \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $.

Определим события как подмножества $ \Omega $:

• Событие A (выпало чётное число очков): $ A = \{2, 4, 6\} $.
• Событие B (выпало число очков, кратное 3): $ B = \{3, 6\} $.
• Событие C (выпало число очков, не равное 5): $ C = \{1, 2, 3, 4, 6\} $.
• Событие D (выпало число очков, не равное 5 или 1): $ D = \{2, 3, 4, 6\} $.

Теперь проверим истинность каждого утверждения.

а) $ A \cup B = C $

Объединение событий A и B ($ A \cup B $) — это событие, которое происходит, когда происходит хотя бы одно из событий A или B. Множество исходов для $ A \cup B $ — это объединение множеств A и B.

$ A \cup B = \{2, 4, 6\} \cup \{3, 6\} = \{2, 3, 4, 6\} $.

Сравним полученное множество с множеством C:

$ A \cup B = \{2, 3, 4, 6\} $

$ C = \{1, 2, 3, 4, 6\} $

Множества не равны, так как исход "1" принадлежит множеству C, но не принадлежит множеству $ A \cup B $. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: нет.

б) $ A \cup B = D $

Мы уже нашли объединение событий A и B в предыдущем пункте:

$ A \cup B = \{2, 3, 4, 6\} $.

Сравним это множество с множеством D:

$ D = \{2, 3, 4, 6\} $.

Множества $ A \cup B $ и D полностью совпадают. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: да.

в) $ C \cap D = D $

Пересечение событий C и D ($ C \cap D $) — это событие, которое происходит, когда происходят оба события C и D одновременно. Множество исходов для $ C \cap D $ — это пересечение множеств C и D (элементы, принадлежащие обоим множествам).

$ C = \{1, 2, 3, 4, 6\} $

$ D = \{2, 3, 4, 6\} $

$ C \cap D = \{1, 2, 3, 4, 6\} \cap \{2, 3, 4, 6\} = \{2, 3, 4, 6\} $.

Сравним полученное множество $ C \cap D $ с множеством D:

$ \{2, 3, 4, 6\} = \{2, 3, 4, 6\} $.

Множества равны. Утверждение верно. Это также следует из того, что D является подмножеством C ($ D \subset C $), а пересечение множества с его подмножеством равно этому подмножеству.

Ответ: да.

г) $ C \cap A = A $

Найдем пересечение множеств C и A.

$ C = \{1, 2, 3, 4, 6\} $

$ A = \{2, 4, 6\} $

$ C \cap A = \{1, 2, 3, 4, 6\} \cap \{2, 4, 6\} = \{2, 4, 6\} $.

Сравним полученное множество $ C \cap A $ с множеством A:

$ \{2, 4, 6\} = \{2, 4, 6\} $.

Множества равны. Утверждение верно. Это также следует из того, что A является подмножеством C ($ A \subset C $), так как все четные числа на кубике (2, 4, 6) не равны 5.

Ответ: да.