Номер 12.24, страница 341 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

12.2. Свойства вероятностей событий. § 12. Вероятность события. Глава III. Элементы теории вероятностей - номер 12.24, страница 341.

12.24 Однажды к Галилео Галилею явился солдат и спросил о том, какая сумма выпадает чаще при бросании трёх игральных костей — 9 или 10? Галилей правильно решил эту задачу. Что ответил Галилей?

Для решения этой задачи необходимо посчитать количество всех возможных комбинаций выпадения очков на трёх игральных костях, которые в сумме дают 9 и 10. Общее число всех возможных исходов при бросании трёх костей равно $6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$. Какая сумма имеет больше благоприятных исходов, та и выпадает чаще.

Количество комбинаций для суммы 9

Перечислим все уникальные наборы чисел (от 1 до 6), которые в сумме дают 9, и посчитаем количество перестановок для каждого набора. Перестановки важны, так как кости различимы (например, по цвету, или бросаются последовательно).

• Набор {1, 2, 6}: Все числа разные. Количество перестановок: $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
• Набор {1, 3, 5}: Все числа разные. Количество перестановок: $3! = 6$.
• Набор {1, 4, 4}: Два числа одинаковые. Количество перестановок: $3!/2! = 3$.
• Набор {2, 2, 5}: Два числа одинаковые. Количество перестановок: $3!/2! = 3$.
• Набор {2, 3, 4}: Все числа разные. Количество перестановок: $3! = 6$.
• Набор {3, 3, 3}: Все числа одинаковые. Количество перестановок: $3!/3! = 1$.

Сложим все найденные исходы: $6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25$.

Таким образом, существует 25 способов получить сумму 9. Вероятность этого события равна $P(9) = 25/216$.

Ответ: Сумму 9 можно получить 25 способами.

Количество комбинаций для суммы 10

Аналогично посчитаем для суммы 10.

• Набор {1, 3, 6}: Все числа разные. Количество перестановок: $3! = 6$.
• Набор {1, 4, 5}: Все числа разные. Количество перестановок: $3! = 6$.
• Набор {2, 2, 6}: Два числа одинаковые. Количество перестановок: $3!/2! = 3$.
• Набор {2, 3, 5}: Все числа разные. Количество перестановок: $3! = 6$.
• Набор {2, 4, 4}: Два числа одинаковые. Количество перестановок: $3!/2! = 3$.
• Набор {3, 3, 4}: Два числа одинаковые. Количество перестановок: $3!/2! = 3$.

Сложим все найденные исходы: $6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27$.

Таким образом, существует 27 способов получить сумму 10. Вероятность этого события равна $P(10) = 27/216$.

Ответ: Сумму 10 можно получить 27 способами.

Сравнение и итоговый ответ

Сравнивая количество способов получения каждой суммы, мы видим, что для суммы 9 существует 25 благоприятных исходов, а для суммы 10 — 27 благоприятных исходов.

Поскольку $27 > 25$, сумма 10 выпадает чаще, чем сумма 9.

Следовательно, Галилей ответил солдату, что сумма 10 будет выпадать чаще.

Ответ: Галилей ответил, что чаще выпадает сумма 10.