Номер 12.24, страница 341 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава III. Элементы теории вероятностей. Параграф 12. Вероятность события. 12.2. Свойства вероятностей событий - номер 12.24, страница 341.

Условие.

12.24 Однажды к Галилео Галилею явился солдат и спросил о том, какая сумма выпадает чаще при бросании трёх игральных костей — 9 или 10? Галилей правильно решил эту задачу. Что ответил Галилей?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи необходимо посчитать количество всех возможных комбинаций выпадения очков на трёх игральных костях, которые в сумме дают 9 и 10. Общее число всех возможных исходов при бросании трёх костей равно $6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$. Какая сумма имеет больше благоприятных исходов, та и выпадает чаще.

Количество комбинаций для суммы 9

Перечислим все уникальные наборы чисел (от 1 до 6), которые в сумме дают 9, и посчитаем количество перестановок для каждого набора. Перестановки важны, так как кости различимы (например, по цвету, или бросаются последовательно).

• Набор {1, 2, 6}: Все числа разные. Количество перестановок: $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
• Набор {1, 3, 5}: Все числа разные. Количество перестановок: $3! = 6$.
• Набор {1, 4, 4}: Два числа одинаковые. Количество перестановок: $3!/2! = 3$.
• Набор {2, 2, 5}: Два числа одинаковые. Количество перестановок: $3!/2! = 3$.
• Набор {2, 3, 4}: Все числа разные. Количество перестановок: $3! = 6$.
• Набор {3, 3, 3}: Все числа одинаковые. Количество перестановок: $3!/3! = 1$.

Сложим все найденные исходы: $6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25$.

Таким образом, существует 25 способов получить сумму 9. Вероятность этого события равна $P(9) = 25/216$.

Ответ: Сумму 9 можно получить 25 способами.

Количество комбинаций для суммы 10

Аналогично посчитаем для суммы 10.

• Набор {1, 3, 6}: Все числа разные. Количество перестановок: $3! = 6$.
• Набор {1, 4, 5}: Все числа разные. Количество перестановок: $3! = 6$.
• Набор {2, 2, 6}: Два числа одинаковые. Количество перестановок: $3!/2! = 3$.
• Набор {2, 3, 5}: Все числа разные. Количество перестановок: $3! = 6$.
• Набор {2, 4, 4}: Два числа одинаковые. Количество перестановок: $3!/2! = 3$.
• Набор {3, 3, 4}: Два числа одинаковые. Количество перестановок: $3!/2! = 3$.

Сложим все найденные исходы: $6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27$.

Таким образом, существует 27 способов получить сумму 10. Вероятность этого события равна $P(10) = 27/216$.

Ответ: Сумму 10 можно получить 27 способами.

Сравнение и итоговый ответ

Сравнивая количество способов получения каждой суммы, мы видим, что для суммы 9 существует 25 благоприятных исходов, а для суммы 10 — 27 благоприятных исходов.

Поскольку $27 > 25$, сумма 10 выпадает чаще, чем сумма 9.

Следовательно, Галилей ответил солдату, что сумма 10 будет выпадать чаще.

Ответ: Галилей ответил, что чаще выпадает сумма 10.