Страница 341 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

12.19 a) Что называют произведением (пересечением) событий $A$ и $B$? Как обозначают произведение событий $A$ и $B$?

б) Бросают игральный кубик. Событие $A$ заключается в выпадании или 3, или 4 очков, событие $B$ — в выпадании или 4, или 5 очков. В чём заключается событие $A \cap B$?

в) Бросают игральный кубик. Событие $A$ заключается в выпадании или 3, или 4 очков, событие $B$ — в выпадании или 5, или 6 очков. В чём заключается событие $A \cap B$?

а)

Произведением (или пересечением) двух событий $A$ и $B$ называют событие, которое состоит в одновременном наступлении обоих этих событий. То есть, новое событие происходит тогда и только тогда, когда происходят и событие $A$, и событие $B$.

Для обозначения произведения (пересечения) событий используют знак $A \cap B$ или просто $AB$.

Ответ: Произведением (пересечением) событий $A$ и $B$ является событие, которое наступает, если и только если наступают оба события $A$ и $B$. Обозначается как $A \cap B$ или $AB$.

б)

В данном эксперименте рассматривается бросок игрального кубика.

Событие $A$ заключается в выпадении 3 или 4 очков. Этому событию соответствуют исходы {3, 4}.

Событие $B$ заключается в выпадении 4 или 5 очков. Этому событию соответствуют исходы {4, 5}.

Событие $A \cap B$ (пересечение $A$ и $B$) заключается в том, что наступают оба события. Это значит, что должен выпасть результат, который удовлетворяет и условию события $A$, и условию события $B$. Мы ищем общие исходы для этих двух событий.

Единственным общим исходом для множеств {3, 4} и {4, 5} является 4.

Следовательно, событие $A \cap B$ заключается в выпадении 4 очков.

Ответ: Событие $A \cap B$ заключается в выпадении 4 очков.

в)

В данном эксперименте также рассматривается бросок игрального кубика.

Событие $A$ заключается в выпадении 3 или 4 очков. Этому событию соответствуют исходы {3, 4}.

Событие $B$ заключается в выпадении 5 или 6 очков. Этому событию соответствуют исходы {5, 6}.

Событие $A \cap B$ (пересечение $A$ и $B$) заключается в одновременном наступлении этих событий. Для этого необходимо найти общие исходы для множеств, соответствующих событиям $A$ и $B$.

Множества исходов {3, 4} и {5, 6} не имеют общих элементов. Их пересечение является пустым множеством ($A \cap B = \emptyset$).

Это означает, что события $A$ и $B$ не могут произойти одновременно. Такое событие называется невозможным. События $A$ и $B$ в данном случае являются несовместными.

Ответ: Событие $A \cap B$ является невозможным событием, так как нет такого исхода, при котором оно бы наступило.

12.20 a) Какое событие называют противоположным данному событию А?

б) Как обозначают событие, противоположное событию А?

в) Какими свойствами обладают вероятности событий?

г) Каким неравенствам удовлетворяет вероятность любого события?

а) Какое событие называют противоположным данному событию A?

Противоположным событию А называют событие, которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А. Другими словами, это событие, которое заключается в том, что событие А не произошло. Противоположное событие состоит из всех тех элементарных исходов испытания, которые не входят в число исходов, благоприятствующих событию А.

Например, если событие А — «при броске монеты выпал орёл», то противоположное ему событие — «при броске монеты орёл не выпал», что равносильно событию «выпала решка».

Ответ: Событие, которое происходит в том и только в том случае, когда не происходит событие А.

б) Как обозначают событие, противоположное событию A?

Событие, противоположное событию A, принято обозначать символом $\bar{A}$. Это обозначение читается как «А с чертой» или «не А». В некоторых источниках также могут встречаться обозначения $A'$ или $A^c$.

Ответ: $\bar{A}$.

в) Какими свойствами обладают вероятности событий?

В контексте предыдущих вопросов, речь идет о свойствах вероятностей противоположных событий. Основное свойство, связывающее вероятность события A и вероятность противоположного ему события $\bar{A}$, заключается в том, что их сумма всегда равна единице. Это следует из того, что в результате любого испытания обязательно произойдет либо событие А, либо событие $\bar{A}$ (они исчерпывают все возможные исходы), и они не могут произойти одновременно (являются несовместными).

Это свойство выражается формулой: $P(A) + P(\bar{A}) = 1$

Из этой формулы можно выразить вероятность одного события через другое: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ и $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.

Ответ: Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, то есть $P(A) + P(\bar{A}) = 1$.

г) Каким неравенствам удовлетворяет вероятность любого события?

Вероятность любого случайного события A является числом, заключенным в диапазоне от 0 до 1 включительно. Это означает, что вероятность не может быть отрицательной или больше единицы. Данное свойство выражается в виде двойного неравенства: $0 \le P(A) \le 1$

Крайние значения имеют особый смысл: • Если $P(A) = 0$, то событие A называется невозможным (оно никогда не произойдет). • Если $P(A) = 1$, то событие A называется достоверным (оно обязательно произойдет).

Ответ: $0 \le P(A) \le 1$.

12.21 В чём заключается событие $A$, если событие $A$ есть:

а) выпадание герба при бросании монеты;

б) выпадание шести очков при бросании игральной кости?

Событие, противоположное событию $A$, обозначается $\bar{A}$. Противоположное событие (или дополнение) — это событие, которое наступает в том и только в том случае, когда не наступает событие $A$. Оно включает в себя все элементарные исходы, которые не благоприятствуют событию $A$.

а) выпадение герба при бросании монеты;

Пусть событие $A$ — это «выпадение герба при бросании монеты». При бросании монеты есть всего два возможных исхода: «выпал герб» или «выпала решка».

Противоположное событие $\bar{A}$ состоит в том, что событие $A$ не произошло, то есть герб не выпал. Если не выпал герб, значит, выпала решка.

Ответ: Противоположное событие $\bar{A}$ — это выпадение решки при бросании монеты.

б) выпадение шести очков при бросании игральной кости?

Пусть событие $A$ — это «выпадение шести очков при бросании игральной кости». Стандартная игральная кость имеет шесть граней с числами очков от 1 до 6. Таким образом, возможные исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Противоположное событие $\bar{A}$ состоит в том, что событие $A$ не произошло, то есть не выпало шесть очков. Это означает, что могло выпасть любое другое возможное количество очков, а именно: 1, 2, 3, 4 или 5.

Ответ: Противоположное событие $\bar{A}$ — это выпадение числа очков, не равного шести (то есть выпадение 1, 2, 3, 4 или 5 очков) при бросании игральной кости.

12.22 Бросают игральный кубик. Событие A заключается в выпадании или 5, или 6 очков; событие B заключается в выпадании чётного числа очков. В чём заключаются события $A \setminus B$ и $B \setminus A$? Вычислите вероятности $P(A \setminus B)$ и $P(B \setminus A)$.

Сначала определим множества исходов для каждого события. Пространство элементарных исходов при броске игрального кубика (кости с шестью гранями) содержит 6 равновозможных исходов: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Событие A заключается в выпадении 5 или 6 очков. В виде множества это записывается как $A = \{5, 6\}$.

Событие B заключается в выпадении чётного числа очков. В виде множества это записывается как $B = \{2, 4, 6\}$.

В чём заключаются события $A \setminus B$ и $B \setminus A$?

Событие $A \setminus B$ (разность событий A и B) означает, что событие A произошло, а событие B не произошло. Оно состоит из элементарных исходов, которые входят в A, но не входят в B.

Из множества $A = \{5, 6\}$ нужно исключить элементы, которые также содержатся в множестве $B = \{2, 4, 6\}$. Общим элементом является число 6. После его исключения из A остаётся:
$A \setminus B = \{5\}$.
Таким образом, событие $A \setminus B$ заключается в выпадении 5 очков.

Аналогично, событие $B \setminus A$ означает, что событие B произошло, а событие A не произошло. Оно состоит из исходов, которые входят в B, но не входят в A.

Из множества $B = \{2, 4, 6\}$ нужно исключить элементы, которые также содержатся в множестве $A = \{5, 6\}$. Общим элементом является число 6. После его исключения из B остаётся:
$B \setminus A = \{2, 4\}$.
Таким образом, событие $B \setminus A$ заключается в выпадении 2 или 4 очков.

Ответ: Событие $A \setminus B$ заключается в выпадении 5 очков. Событие $B \setminus A$ заключается в выпадении 2 или 4 очков.

Вычислите вероятности $P(A \setminus B)$ и $P(B \setminus A)$.

Вероятность события вычисляется по классической формуле $P(E) = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятствующих исходов, а $n$ — общее число равновозможных исходов.

Общее число исходов при броске кубика $n = |\Omega| = 6$.

Для события $A \setminus B$ благоприятствующим является один исход — выпадение 5. То есть $m = |A \setminus B| = 1$.
Вероятность этого события равна:
$P(A \setminus B) = \frac{1}{6}$.

Для события $B \setminus A$ благоприятствующими являются два исхода — выпадение 2 или 4. То есть $m = |B \setminus A| = 2$.
Вероятность этого события равна:
$P(B \setminus A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $P(A \setminus B) = \frac{1}{6}$, $P(B \setminus A) = \frac{1}{3}$.

12.23 Бросают игральный кубик. События $A$, $B$, $C$, $D$ заключаются в выпадении числа очков: чётного (событие $A$); кратного 3 (событие $B$); не равно 5 (событие $C$); не равно или 5, или 1 (событие $D$). Верно ли, что:

а) $A \cup B = C$

б) $A \cup B = D$

в) $C \cap D = D$

г) $C \cap A = A$

Для решения задачи сначала определим множество всех возможных исходов при бросании игрального кубика, а затем определим множества, соответствующие каждому событию.

Множество всех элементарных исходов (выпавших очков): $ \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} $.

Определим события как подмножества $ \Omega $:

• Событие A (выпало чётное число очков): $ A = \{2, 4, 6\} $.
• Событие B (выпало число очков, кратное 3): $ B = \{3, 6\} $.
• Событие C (выпало число очков, не равное 5): $ C = \{1, 2, 3, 4, 6\} $.
• Событие D (выпало число очков, не равное 5 или 1): $ D = \{2, 3, 4, 6\} $.

Теперь проверим истинность каждого утверждения.

а) $ A \cup B = C $

Объединение событий A и B ($ A \cup B $) — это событие, которое происходит, когда происходит хотя бы одно из событий A или B. Множество исходов для $ A \cup B $ — это объединение множеств A и B.

$ A \cup B = \{2, 4, 6\} \cup \{3, 6\} = \{2, 3, 4, 6\} $.

Сравним полученное множество с множеством C:

$ A \cup B = \{2, 3, 4, 6\} $

$ C = \{1, 2, 3, 4, 6\} $

Множества не равны, так как исход "1" принадлежит множеству C, но не принадлежит множеству $ A \cup B $. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: нет.

б) $ A \cup B = D $

Мы уже нашли объединение событий A и B в предыдущем пункте:

$ A \cup B = \{2, 3, 4, 6\} $.

Сравним это множество с множеством D:

$ D = \{2, 3, 4, 6\} $.

Множества $ A \cup B $ и D полностью совпадают. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: да.

в) $ C \cap D = D $

Пересечение событий C и D ($ C \cap D $) — это событие, которое происходит, когда происходят оба события C и D одновременно. Множество исходов для $ C \cap D $ — это пересечение множеств C и D (элементы, принадлежащие обоим множествам).

$ C = \{1, 2, 3, 4, 6\} $

$ D = \{2, 3, 4, 6\} $

$ C \cap D = \{1, 2, 3, 4, 6\} \cap \{2, 3, 4, 6\} = \{2, 3, 4, 6\} $.

Сравним полученное множество $ C \cap D $ с множеством D:

$ \{2, 3, 4, 6\} = \{2, 3, 4, 6\} $.

Множества равны. Утверждение верно. Это также следует из того, что D является подмножеством C ($ D \subset C $), а пересечение множества с его подмножеством равно этому подмножеству.

Ответ: да.

г) $ C \cap A = A $

Найдем пересечение множеств C и A.

$ C = \{1, 2, 3, 4, 6\} $

$ A = \{2, 4, 6\} $

$ C \cap A = \{1, 2, 3, 4, 6\} \cap \{2, 4, 6\} = \{2, 4, 6\} $.

Сравним полученное множество $ C \cap A $ с множеством A:

$ \{2, 4, 6\} = \{2, 4, 6\} $.

Множества равны. Утверждение верно. Это также следует из того, что A является подмножеством C ($ A \subset C $), так как все четные числа на кубике (2, 4, 6) не равны 5.

Ответ: да.

12.24 Однажды к Галилео Галилею явился солдат и спросил о том, какая сумма выпадает чаще при бросании трёх игральных костей — 9 или 10? Галилей правильно решил эту задачу. Что ответил Галилей?

Для решения этой задачи необходимо посчитать количество всех возможных комбинаций выпадения очков на трёх игральных костях, которые в сумме дают 9 и 10. Общее число всех возможных исходов при бросании трёх костей равно $6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$. Какая сумма имеет больше благоприятных исходов, та и выпадает чаще.

Количество комбинаций для суммы 9

Перечислим все уникальные наборы чисел (от 1 до 6), которые в сумме дают 9, и посчитаем количество перестановок для каждого набора. Перестановки важны, так как кости различимы (например, по цвету, или бросаются последовательно).

• Набор {1, 2, 6}: Все числа разные. Количество перестановок: $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
• Набор {1, 3, 5}: Все числа разные. Количество перестановок: $3! = 6$.
• Набор {1, 4, 4}: Два числа одинаковые. Количество перестановок: $3!/2! = 3$.
• Набор {2, 2, 5}: Два числа одинаковые. Количество перестановок: $3!/2! = 3$.
• Набор {2, 3, 4}: Все числа разные. Количество перестановок: $3! = 6$.
• Набор {3, 3, 3}: Все числа одинаковые. Количество перестановок: $3!/3! = 1$.

Сложим все найденные исходы: $6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25$.

Таким образом, существует 25 способов получить сумму 9. Вероятность этого события равна $P(9) = 25/216$.

Ответ: Сумму 9 можно получить 25 способами.

Количество комбинаций для суммы 10

Аналогично посчитаем для суммы 10.

• Набор {1, 3, 6}: Все числа разные. Количество перестановок: $3! = 6$.
• Набор {1, 4, 5}: Все числа разные. Количество перестановок: $3! = 6$.
• Набор {2, 2, 6}: Два числа одинаковые. Количество перестановок: $3!/2! = 3$.
• Набор {2, 3, 5}: Все числа разные. Количество перестановок: $3! = 6$.
• Набор {2, 4, 4}: Два числа одинаковые. Количество перестановок: $3!/2! = 3$.
• Набор {3, 3, 4}: Два числа одинаковые. Количество перестановок: $3!/2! = 3$.

Сложим все найденные исходы: $6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27$.

Таким образом, существует 27 способов получить сумму 10. Вероятность этого события равна $P(10) = 27/216$.

Ответ: Сумму 10 можно получить 27 способами.

Сравнение и итоговый ответ

Сравнивая количество способов получения каждой суммы, мы видим, что для суммы 9 существует 25 благоприятных исходов, а для суммы 10 — 27 благоприятных исходов.

Поскольку $27 > 25$, сумма 10 выпадает чаще, чем сумма 9.

Следовательно, Галилей ответил солдату, что сумма 10 будет выпадать чаще.

Ответ: Галилей ответил, что чаще выпадает сумма 10.

12.25* В некотором царстве, в некотором государстве живут правдолюбцы, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые могут лгать или говорить правду, но не любят признаваться в этом. Для получения правдивой информации о количестве лжецов было проведено такое исследование. Каждого испытуемого спрашивали: «Вы лжец?» Прежде чем ответить, испытуемый подбрасывал монету так, чтобы результат этого опыта был виден только ему одному. Если выпадал герб, то он должен был сказать «да» (независимо от того, кем он является на самом деле). Если же выпадала решка, то он должен был правдиво ответить на вопрос (в этом случае исследователи не могли знать, кем на самом деле является испытуемый, так как они не знали результата опыта с монетой). В результате исследования выяснилось, что 61% граждан царства-государства ответили «да», остальные — «нет». Сколько процентов граждан этого царства-государства являются лжецами, если были опрошены все граждане?

Для решения этой задачи давайте разберем, кто и в каких случаях отвечает «да» на вопрос «Вы лжец?». Введем переменные:

• Пусть $L$ — это доля лжецов в общем количестве граждан.
• Пусть $P$ — это доля правдолюбцев.

Мы знаем, что все граждане принадлежат к одной из этих двух групп, поэтому $L + P = 1$. Наша цель — найти значение $L$.

Теперь проанализируем ответы. Каждый испытуемый подбрасывает монету. Вероятность выпадения герба равна 0.5, и вероятность выпадения решки также равна 0.5.

Ответ «да» можно получить в двух случаях:

1. Выпал герб.
По условию, если выпадает герб, испытуемый обязан сказать «да», независимо от того, лжец он или правдолюбец. Это относится ко всем гражданам. Таким образом, половина всех граждан ($0.5$ или $50\%$) скажет «да» по этой причине.
Доля таких ответов от общего числа граждан: $0.5 \times (L + P) = 0.5 \times 1 = 0.5$.

2. Выпала решка.
Если выпадает решка, испытуемый должен ответить на вопрос «Вы лжец?» правдиво.
- Если правдолюбец ($P$) правдиво отвечает на этот вопрос, он скажет «нет».
- Если лжец ($L$) правдиво отвечает на этот вопрос, он скажет «да».
Следовательно, в случае выпадения решки «да» скажут только лжецы. Вероятность такого события для любого случайно взятого гражданина равна произведению вероятности выпадения решки и вероятности того, что этот гражданин — лжец.
Доля таких ответов от общего числа граждан: $0.5 \times L$.

Теперь мы можем составить уравнение. Общая доля граждан, ответивших «да», равна сумме долей из первого и второго случаев. По условию, эта общая доля составляет 61%, или $0.61$.

$(\text{доля ответивших «да» из-за герба}) + (\text{доля ответивших «да» из-за решки}) = \text{общая доля ответивших «да»}$

$0.5 + 0.5 \times L = 0.61$

Теперь решим это уравнение относительно $L$:

$0.5 \times L = 0.61 - 0.5$

$0.5 \times L = 0.11$

$L = \frac{0.11}{0.5}$

$L = 0.22$

Таким образом, доля лжецов составляет $0.22$, что равно $22\%$.

Для проверки можно рассмотреть долю ответивших «нет». «Нет» отвечали те, кому выпала решка (вероятность $0.5$) и кто является правдолюбцем (доля $P = 1 - L$).

Доля правдолюбцев: $P = 1 - 0.22 = 0.78$.

Доля ответов «нет»: $0.5 \times P = 0.5 \times 0.78 = 0.39$.

Это соответствует данным из условия: $100\% - 61\% = 39\%$, или $0.39$ от общего числа граждан. Расчеты верны.

Ответ: 22% граждан этого царства-государства являются лжецами.