Страница 342 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

12.26 Имеется 16 игральных карт: 4 валета, 4 дамы, 4 короля и 4 туза. Из колоды наудачу вынимают одну карту. Какова вероятность, что будет вынута или козырная карта, или дама?

Для решения задачи определим общее число возможных исходов и число благоприятных исходов.

Общее число возможных исходов равно общему количеству карт в колоде. $n = 16$

Событие, вероятность которого нужно найти, — «будет вынута или козырная карта, или дама». Это объединение двух событий:

• Событие A: «вынута козырная карта».
• Событие B: «вынута дама».

Нам нужно найти вероятность $P(A \cup B)$.

Поскольку в колоде 4 валета, 4 дамы, 4 короля и 4 туза, это означает, что карты имеют 4 разные масти. Одна из мастей назначается козырной. Следовательно, козырных карт в колоде 4 (козырный валет, козырная дама, козырный король и козырный туз).

Количество дам в колоде также равно 4.

События A и B являются совместными, так как существует карта, которая является одновременно и дамой, и козырной — это козырная дама. Поэтому для расчета вероятности их объединения нужно использовать формулу сложения вероятностей для совместных событий: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Найдем каждую из вероятностей:

• Вероятность вынуть козырную карту $P(A) = \frac{\text{число козырных карт}}{\text{общее число карт}} = \frac{4}{16}$
• Вероятность вынуть даму $P(B) = \frac{\text{число дам}}{\text{общее число карт}} = \frac{4}{16}$
• Вероятность вынуть карту, которая является и козырем, и дамой (козырную даму), $P(A \cap B) = \frac{\text{число козырных дам}}{\text{общее число карт}} = \frac{1}{16}$

Теперь подставим эти значения в формулу: $P(A \cup B) = \frac{4}{16} + \frac{4}{16} - \frac{1}{16} = \frac{4 + 4 - 1}{16} = \frac{7}{16}$

Альтернативный способ решения
Можно напрямую подсчитать число благоприятных исходов. Благоприятный исход — это карта, которая является либо козырем, либо дамой.
Количество козырных карт = 4.
Количество дам = 4.
При простом сложении $4+4=8$ мы дважды посчитали одну карту — козырную даму. Поэтому, чтобы найти общее количество уникальных карт, удовлетворяющих условию, нужно вычесть это дублирование.
Число благоприятных исходов $m = 4 (\text{козыри}) + 4 (\text{дамы}) - 1 (\text{козырная дама}) = 7$.
Вероятность вынуть одну из этих карт равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P = \frac{m}{n} = \frac{7}{16}$

Ответ: $\frac{7}{16}$

12.27 Имеется колода из 52 игральных карт. Из колоды наудачу вынимают одну карту. Какова вероятность, что будет вынута или козырная карта, или дама?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности и теоремой сложения вероятностей.

Общее число возможных исходов равно количеству карт в колоде, то есть $n = 52$.

Введем два события:
Событие $A$ – «вынута козырная карта».
Событие $B$ – «вынута дама».

Нам нужно найти вероятность того, что произойдет или событие $A$, или событие $B$. Эти события являются совместными, так как существует карта, которая одновременно является и козырной, и дамой (дама козырной масти).

Вероятность суммы двух совместных событий вычисляется по формуле:
$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)$
где $P(A)$ – вероятность вынуть козырную карту, $P(B)$ – вероятность вынуть даму, а $P(AB)$ – вероятность вынуть карту, которая является и козырем, и дамой (то есть козырную даму).

1. Найдем вероятность события $A$.
В стандартной колоде 4 масти. Одна из них назначается козырной. Количество карт одной масти: $52 / 4 = 13$.
Следовательно, количество козырных карт (благоприятных исходов для события $A$) равно $m_A = 13$.
Вероятность вынуть козырную карту: $P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{13}{52}$.

2. Найдем вероятность события $B$.
В колоде 4 дамы (по одной каждой масти).
Количество благоприятных исходов для события $B$ равно $m_B = 4$.
Вероятность вынуть даму: $P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{4}{52}$.

3. Найдем вероятность события $AB$.
Событие $AB$ заключается в том, что вынутая карта является одновременно и козырем, и дамой. В колоде есть только одна такая карта – дама козырной масти.
Количество благоприятных исходов для события $AB$ равно $m_{AB} = 1$.
Вероятность вынуть козырную даму: $P(AB) = \frac{m_{AB}}{n} = \frac{1}{52}$.

4. Теперь подставим найденные значения в формулу сложения вероятностей:
$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{13 + 4 - 1}{52} = \frac{16}{52}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
$\frac{16}{52} = \frac{16 \div 4}{52 \div 4} = \frac{4}{13}$.

Ответ: $\frac{4}{13}$