Страница 347 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

13.4 Что называют условной вероятностью события B при условии, что произошло событие A? Как обозначают эту условную вероятность?

Что называют условной вероятностью события B при условии, что произошло событие A?

Условной вероятностью события $B$ при условии, что произошло событие $A$, называют вероятность наступления события $B$, вычисленную в предположении, что событие $A$ уже наступило. Иными словами, это переоценка вероятности события $B$ с учетом новой информации о том, что событие $A$ произошло.

Пространство элементарных исходов при вычислении условной вероятности сужается до множества исходов, благоприятствующих событию $A$. В этом новом пространстве мы ищем долю исходов, которые также благоприятствуют событию $B$. Эти исходы составляют пересечение событий $A$ и $B$ (обозначается $A \cap B$).

Математически условная вероятность определяется формулой: $$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$ где $P(A \cap B)$ — это вероятность совместного наступления (пересечения) событий $A$ и $B$, а $P(A)$ — вероятность события $A$. Формула применима только при условии, что вероятность события $A$ строго больше нуля, то есть $P(A) > 0$.

Ответ: Условной вероятностью события $B$ при условии, что произошло событие $A$, называют вероятность события $B$, вычисленную исходя из предположения, что событие $A$ уже наступило. Она вычисляется по формуле $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$, где $P(A)>0$.

Как обозначают эту условную вероятность?

Для обозначения условной вероятности события $B$ при условии, что произошло событие $A$, используется стандартная запись $P(B|A)$. Вертикальная черта «|» в этой записи заменяет слова «при условии». Таким образом, запись $P(B|A)$ читается как «вероятность события $B$ при условии $A$».

Ответ: Условную вероятность события $B$ при условии, что произошло событие $A$, обозначают как $P(B|A)$.

13.5 Пусть бросают игральную кость. Событие A заключается в выпадании не более 4 очков, событие B — в выпадании нечётного числа очков. Вычислите вероятность:

а) $P(A)$;

б) $P(B)$;

в) $P_B(A)$;

г) $P_A(B)$.

При броске игральной кости возможно 6 равновероятных исходов. Пространство элементарных исходов $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, общее число исходов $n = |\Omega| = 6$.

Событие A — «выпало не более 4 очков». Этому событию благоприятствуют исходы $A = \{1, 2, 3, 4\}$. Число благоприятствующих исходов $m_A = |A| = 4$.

Событие B — «выпало нечётное число очков». Этому событию благоприятствуют исходы $B = \{1, 3, 5\}$. Число благоприятствующих исходов $m_B = |B| = 3$.

а) P(A)

Вероятность события A вычисляется по классической формуле вероятности $P(A) = \frac{m_A}{n}$, где $m_A$ — число исходов, благоприятствующих событию A, а $n$ — общее число исходов.
$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $P(A) = \frac{2}{3}$

б) P(B)

Вероятность события B вычисляется аналогично: $P(B) = \frac{m_B}{n}$, где $m_B$ — число исходов, благоприятствующих событию B.
$P(B) = \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $P(B) = \frac{1}{2}$

в) P_B(A)

$P_B(A)$, или $P(A|B)$, — это условная вероятность события A при условии, что событие B уже произошло. Это означает, что мы ищем вероятность выпадения не более 4 очков, зная, что выпало нечётное число очков.
Формула условной вероятности: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
Сначала найдём пересечение событий A и B. $A \cap B$ — это событие, при котором выпадает не более 4 очков и это число нечётное.
$A = \{1, 2, 3, 4\}$
$B = \{1, 3, 5\}$
$A \cap B = \{1, 3\}$. Число исходов, благоприятствующих этому пересечению, $|A \cap B| = 2$.
Вероятность пересечения: $P(A \cap B) = \frac{|A \cap B|}{|\Omega|} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Теперь можем вычислить условную вероятность:
$P_B(A) = P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}$.
Альтернативный способ: если событие B произошло, то новое пространство исходов — это $B = \{1, 3, 5\}$, и его размер $|B|=3$. Из этих исходов событию A (не более 4) благоприятствуют исходы $\{1, 3\}$, их число равно 2. Тогда $P_B(A) = \frac{2}{3}$.
Ответ: $P_B(A) = \frac{2}{3}$

г) P_A(B)

$P_A(B)$, или $P(B|A)$, — это условная вероятность события B при условии, что событие A уже произошло. Это означает, что мы ищем вероятность выпадения нечётного числа очков, зная, что выпало не более 4 очков.
Формула условной вероятности: $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
Мы уже нашли $P(A \cap B) = \frac{1}{3}$ и $P(A) = \frac{2}{3}$.
Теперь можем вычислить условную вероятность:
$P_A(B) = P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.
Альтернативный способ: если событие A произошло, то новое пространство исходов — это $A = \{1, 2, 3, 4\}$, и его размер $|A|=4$. Из этих исходов событию B (нечётное число) благоприятствуют исходы $\{1, 3\}$, их число равно 2. Тогда $P_A(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $P_A(B) = \frac{1}{2}$