Страница 354 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

14.10 Какие опыты называют независимыми? Приведите примеры.

Какие опыты называют независимыми?

В теории вероятностей два или несколько опытов (или испытаний) называют независимыми, если результат одного опыта никак не влияет на вероятность возможных результатов другого. Иными словами, проведение одного испытания не изменяет условия проведения другого.
Например, если мы проводим серию одинаковых испытаний, в которых условия не меняются от одного испытания к другому, то такие испытания являются независимыми.
С математической точки зрения, если событие $A$ является исходом одного опыта, а событие $B$ — исходом другого, то опыты независимы, если вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Ответ: Опыты называют независимыми, если исход одного из них не влияет на вероятность исходов других опытов.

Приведите примеры.

1. Подбрасывание монеты. Если подбросить монету несколько раз подряд, каждый бросок является независимым испытанием. Результат предыдущего броска (выпал «орёл» или «решка») никак не влияет на то, что выпадет в следующий раз. Вероятность выпадения «орла» всегда остаётся $1/2$.
2. Бросание игрального кубика. Аналогично монете, результат одного броска кубика не влияет на результат следующего. Вероятность выпадения любого числа от 1 до 6 при каждом броске остаётся $1/6$.
3. Извлечение карты из колоды с возвращением. Из колоды достают карту, записывают её значение и возвращают обратно в колоду. После этого колоду перемешивают. Так как состав колоды перед каждым извлечением восстанавливается, все извлечения карт являются независимыми опытами.

Важно отличать независимые опыты от зависимых. Примером зависимых опытов является извлечение карт из колоды без возвращения. В этом случае извлечение первой карты изменяет состав колоды, а значит, и вероятности исходов для второго извлечения. Например, если первой картой вытащили туза, то вероятность вытащить туза вторым ходом уменьшается.

Ответ: Примеры независимых опытов: многократное подбрасывание монеты; бросание игрального кубика несколько раз; извлечение карт из колоды с возвращением.

14.11 Что более правдоподобно — выпадение, по крайней мере, одной шестёрки при 4-кратном бросании игральной кости или выпадение, по крайней мере, пары шестёрок при 24-кратном одновременном бросании двух костей?

Чтобы определить, какое из двух событий более правдоподобно, необходимо рассчитать и сравнить их вероятности. Для обоих случаев будем вычислять вероятность через противоположное событие, используя формулу $P(A) = 1 - P(\bar{A})$, где $P(A)$ — вероятность того, что событие произойдет хотя бы один раз, а $P(\bar{A})$ — вероятность того, что оно не произойдет ни разу.

Выпадение, по крайней мере, одной шестёрки при 4-кратном бросании игральной кости

Обозначим это событие как $A$. Противоположное ему событие $\bar{A}$ заключается в том, что шестёрка не выпадет ни разу за 4 броска.
Вероятность выпадения шестёрки при одном броске стандартной игральной кости равна $\frac{1}{6}$.
Следовательно, вероятность того, что шестёрка не выпадет при одном броске, составляет $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
Поскольку все 4 броска являются независимыми событиями, вероятность того, что шестёрка не выпадет 4 раза подряд, равна:
$P(\bar{A}) = \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{5^4}{6^4} = \frac{625}{1296}$.
Таким образом, вероятность выпадения хотя бы одной шестёрки за 4 броска составляет:
$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{1296 - 625}{1296} = \frac{671}{1296}$.
Приблизительное значение вероятности: $P(A) \approx 0,5177$.

Выпадение, по крайней мере, пары шестёрок при 24-кратном одновременном бросании двух костей

Обозначим это событие как $B$. Противоположное событие $\bar{B}$ — ни разу не выпала пара шестёрок за 24 броска.
При одновременном броске двух костей общее число равновозможных исходов равно $6 \times 6 = 36$.
Среди них только один исход является парой шестёрок (6, 6). Значит, вероятность выпадения пары шестёрок при одном таком броске равна $\frac{1}{36}$.
Вероятность того, что пара шестёрок не выпадет, равна $1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$.
Вероятность того, что за 24 независимых броска пара шестёрок не выпадет ни разу, составляет:
$P(\bar{B}) = \left(\frac{35}{36}\right)^{24}$.
Следовательно, вероятность выпадения хотя бы одной пары шестёрок за 24 броска равна:
$P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24}$.
Вычислим приближённое значение этой вероятности: $P(B) \approx 1 - 0,508596 \approx 0,491404$.

Сравним полученные вероятности:
$P(A) = \frac{671}{1296} \approx 0,5177$
$P(B) \approx 0,4914$
Так как $0,5177 > 0,4914$, то $P(A) > P(B)$. Это означает, что первое событие является более правдоподобным.

Ответ: Более правдоподобно выпадение, по крайней мере, одной шестёрки при 4-кратном бросании игральной кости.