Страница 358 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

14.13 Всхожесть семян некоторого растения равна 90%. Найдите вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут:

а) $0$;

б) $1$;

в) $2$;

г) $4$;

д) $5$.

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$. В нашем случае количество испытаний (посеянных семян) $n=5$. Вероятность успеха (всхожесть семени) $p = 90\% = 0.9$. Вероятность неудачи (семя не взойдет) $q = 1 - p = 1 - 0.9 = 0.1$. Биномиальный коэффициент $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

а) 0; Вероятность того, что из 5 семян взойдут 0 ($k=0$):
$P_5(0) = C_5^0 \cdot (0.9)^0 \cdot (0.1)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.00001 = 0.00001$.
Ответ: 0.00001

б) 1; Вероятность того, что из 5 семян взойдет 1 ($k=1$):
$P_5(1) = C_5^1 \cdot (0.9)^1 \cdot (0.1)^4 = 5 \cdot 0.9 \cdot 0.0001 = 0.00045$.
Ответ: 0.00045

в) 2; Вероятность того, что из 5 семян взойдут 2 ($k=2$):
$P_5(2) = C_5^2 \cdot (0.9)^2 \cdot (0.1)^3 = \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot 0.81 \cdot 0.001 = 10 \cdot 0.81 \cdot 0.001 = 0.0081$.
Ответ: 0.0081

г) 4; Вероятность того, что из 5 семян взойдут 4 ($k=4$):
$P_5(4) = C_5^4 \cdot (0.9)^4 \cdot (0.1)^1 = 5 \cdot 0.6561 \cdot 0.1 = 0.32805$.
Ответ: 0.32805

д) 5. Вероятность того, что из 5 семян взойдут все 5 ($k=5$):
$P_5(5) = C_5^5 \cdot (0.9)^5 \cdot (0.1)^0 = 1 \cdot 0.59049 \cdot 1 = 0.59049$.
Ответ: 0.59049

14.14 Монета подбрасывается 10 раз. Вычислите вероятность выпадения герба:

а) не более чем 2 раза;

б) не более чем 3 раза.

Для решения этой задачи используется схема независимых испытаний Бернулли. Вероятность выпадения герба при одном подбрасывании монеты равна $p = 0.5$, а вероятность невыпадения (выпадения решки) — $q = 1-p = 0.5$. Общее число испытаний (подбрасываний) $n=10$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

В нашем случае, поскольку $p=q=0.5$, формула упрощается:

$P_{10}(k) = C_{10}^k (0.5)^k (0.5)^{10-k} = C_{10}^k (0.5)^{10} = \frac{C_{10}^k}{2^{10}} = \frac{C_{10}^k}{1024}$

Здесь $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент (число сочетаний из $n$ по $k$).

а) не более чем 2 раза

Событие "герб выпадет не более чем 2 раза" означает, что герб выпадет 0, 1 или 2 раза. Вероятность этого события равна сумме вероятностей трех несовместных событий: выпадения 0 гербов, 1 герба и 2 гербов.

$P(k \le 2) = P_{10}(0) + P_{10}(1) + P_{10}(2)$

Рассчитаем каждую вероятность отдельно:

• Вероятность выпадения 0 гербов ($k=0$):
  $C_{10}^0 = \frac{10!}{0! \cdot 10!} = 1$
  $P_{10}(0) = \frac{1}{1024}$
• Вероятность выпадения 1 герба ($k=1$):
  $C_{10}^1 = \frac{10!}{1! \cdot 9!} = 10$
  $P_{10}(1) = \frac{10}{1024}$
• Вероятность выпадения 2 гербов ($k=2$):
  $C_{10}^2 = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$
  $P_{10}(2) = \frac{45}{1024}$

Теперь сложим полученные вероятности:

$P(k \le 2) = \frac{1}{1024} + \frac{10}{1024} + \frac{45}{1024} = \frac{1+10+45}{1024} = \frac{56}{1024}$

Сократим дробь:

$\frac{56}{1024} = \frac{28}{512} = \frac{14}{256} = \frac{7}{128}$

Ответ: $\frac{7}{128}$

б) не более чем 3 раза

Событие "герб выпадет не более чем 3 раза" означает, что герб выпадет 0, 1, 2 или 3 раза. Вероятность этого события можно найти, прибавив к результату пункта а) вероятность выпадения герба ровно 3 раза.

$P(k \le 3) = P(k \le 2) + P_{10}(3)$

Мы уже знаем, что $P(k \le 2) = \frac{56}{1024}$. Найдем $P_{10}(3)$:

Вероятность выпадения 3 гербов ($k=3$):
$C_{10}^3 = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$
$P_{10}(3) = \frac{120}{1024}$

Теперь найдем итоговую вероятность:

$P(k \le 3) = \frac{56}{1024} + \frac{120}{1024} = \frac{176}{1024}$

Сократим дробь:

$\frac{176}{1024} = \frac{88}{512} = \frac{44}{256} = \frac{22}{128} = \frac{11}{64}$

Ответ: $\frac{11}{64}$

14.15 Монета подбрасывается 20 раз. Вычислите $P_{20}(k)$, если $k = 0, 1, 2, 3$.

Эта задача описывает серию из $n=20$ независимых испытаний (подбрасываний монеты) с двумя возможными исходами. Вероятность выпадения "орла" (успех) $p = 0.5$, а "решки" (неудача) $q = 1-p = 0.5$. Для нахождения вероятности $P_n(k)$ ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях используется формула Бернулли:$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент (число сочетаний).

В данном случае, $n=20$ и $p=q=0.5$, поэтому формула упрощается:$P_{20}(k) = C_{20}^k \cdot (0.5)^k \cdot (0.5)^{20-k} = C_{20}^k \cdot (0.5)^{20}$.

Вычислим общую часть $(0.5)^{20}$:$(0.5)^{20} = (\frac{1}{2})^{20} = \frac{1}{2^{20}} = \frac{1}{1048576}$.

Теперь рассчитаем вероятности для каждого значения $k$.

k = 0
Число сочетаний: $C_{20}^0 = \frac{20!}{0!(20-0)!} = 1$.
Вероятность: $P_{20}(0) = C_{20}^0 \cdot (0.5)^{20} = 1 \cdot \frac{1}{1048576} = \frac{1}{1048576}$.
Ответ: $P_{20}(0) = \frac{1}{1048576}$.

k = 1
Число сочетаний: $C_{20}^1 = \frac{20!}{1!(20-1)!} = 20$.
Вероятность: $P_{20}(1) = C_{20}^1 \cdot (0.5)^{20} = 20 \cdot \frac{1}{1048576} = \frac{20}{1048576}$.
Ответ: $P_{20}(1) = \frac{20}{1048576}$.

k = 2
Число сочетаний: $C_{20}^2 = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190$.
Вероятность: $P_{20}(2) = C_{20}^2 \cdot (0.5)^{20} = 190 \cdot \frac{1}{1048576} = \frac{190}{1048576}$.
Ответ: $P_{20}(2) = \frac{190}{1048576}$.

k = 3
Число сочетаний: $C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1140$.
Вероятность: $P_{20}(3) = C_{20}^3 \cdot (0.5)^{20} = 1140 \cdot \frac{1}{1048576} = \frac{1140}{1048576}$.
Ответ: $P_{20}(3) = \frac{1140}{1048576}$.

14.16 Имеется тест из четырёх заданий. К каждому из заданий даны 5 ответов для выбора. Контролирующее устройство проверяет работу ученика по номерам выбранных ответов и выставляет отметку:

5 — за выбор верных ответов во всех четырёх заданиях;

4 — за выбор верных ответов в любых трёх заданиях;

3 — за выбор верных ответов в любых двух заданиях;

2 — за выбор верного ответа лишь в одном задании;

1 — за выбор неверных ответов во всех четырёх заданиях.

Ученик, не выполняя заданий, решил случайным образом указать номера верных ответов в каждом из них. Какова вероятность таким способом получить отметку:

а) 5;

б) 4;

в) 3;

г) 2;

д) 1?

Данная задача решается с помощью формулы Бернулли для последовательности независимых испытаний. У нас есть $n=4$ испытания (вопроса). В каждом испытании есть два исхода: "успех" (выбран верный ответ) или "неудача" (выбран неверный ответ).

Вероятность "успеха" в одном испытании (выбрать верный ответ из 5 вариантов наугад) равна $p = \frac{1}{5}$.

Вероятность "неудачи" (выбрать неверный ответ) равна $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

Формула Бернулли для нахождения вероятности $k$ успехов в $n$ испытаниях: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

а) 5

Для получения отметки "5" необходимо правильно ответить на все 4 вопроса. Это означает $k=4$ успеха в $n=4$ испытаниях.
$P_4(4) = C_4^4 \cdot (\frac{1}{5})^4 \cdot (\frac{4}{5})^{4-4} = 1 \cdot \frac{1}{625} \cdot (\frac{4}{5})^0 = 1 \cdot \frac{1}{625} \cdot 1 = \frac{1}{625}$.
Ответ: $\frac{1}{625}$.

б) 4

Для получения отметки "4" необходимо правильно ответить на любые 3 вопроса из 4. Это означает $k=3$ успеха в $n=4$ испытаниях.
$P_4(3) = C_4^3 \cdot (\frac{1}{5})^3 \cdot (\frac{4}{5})^{4-3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} \cdot \frac{1}{125} \cdot \frac{4}{5} = 4 \cdot \frac{1}{125} \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{625}$.
Ответ: $\frac{16}{625}$.

в) 3

Для получения отметки "3" необходимо правильно ответить на любые 2 вопроса из 4. Это означает $k=2$ успеха в $n=4$ испытаниях.
$P_4(2) = C_4^2 \cdot (\frac{1}{5})^2 \cdot (\frac{4}{5})^{4-2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} \cdot \frac{1}{25} \cdot \frac{16}{25} = 6 \cdot \frac{1}{25} \cdot \frac{16}{25} = \frac{96}{625}$.
Ответ: $\frac{96}{625}$.

г) 2

Для получения отметки "2" необходимо правильно ответить лишь на 1 вопрос из 4. Это означает $k=1$ успех в $n=4$ испытаниях.
$P_4(1) = C_4^1 \cdot (\frac{1}{5})^1 \cdot (\frac{4}{5})^{4-1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{64}{125} = 4 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{64}{125} = \frac{256}{625}$.
Ответ: $\frac{256}{625}$.

д) 1

Для получения отметки "1" необходимо неверно ответить на все 4 вопроса. Это означает $k=0$ успехов в $n=4$ испытаниях.
$P_4(0) = C_4^0 \cdot (\frac{1}{5})^0 \cdot (\frac{4}{5})^{4-0} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{256}{625} = \frac{256}{625}$.
Ответ: $\frac{256}{625}$.