Номер 14.15, страница 358 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

14.3*. Формула Бернулли. Закон больших чисел. § 14*. Математическое ожидание. Закон больших чисел. Глава III. Элементы теории вероятностей - номер 14.15, страница 358.

14.15 Монета подбрасывается 20 раз. Вычислите $P_{20}(k)$, если $k = 0, 1, 2, 3$.

Эта задача описывает серию из $n=20$ независимых испытаний (подбрасываний монеты) с двумя возможными исходами. Вероятность выпадения "орла" (успех) $p = 0.5$, а "решки" (неудача) $q = 1-p = 0.5$. Для нахождения вероятности $P_n(k)$ ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях используется формула Бернулли:$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент (число сочетаний).

В данном случае, $n=20$ и $p=q=0.5$, поэтому формула упрощается:$P_{20}(k) = C_{20}^k \cdot (0.5)^k \cdot (0.5)^{20-k} = C_{20}^k \cdot (0.5)^{20}$.

Вычислим общую часть $(0.5)^{20}$:$(0.5)^{20} = (\frac{1}{2})^{20} = \frac{1}{2^{20}} = \frac{1}{1048576}$.

Теперь рассчитаем вероятности для каждого значения $k$.

k = 0
Число сочетаний: $C_{20}^0 = \frac{20!}{0!(20-0)!} = 1$.
Вероятность: $P_{20}(0) = C_{20}^0 \cdot (0.5)^{20} = 1 \cdot \frac{1}{1048576} = \frac{1}{1048576}$.
Ответ: $P_{20}(0) = \frac{1}{1048576}$.

k = 1
Число сочетаний: $C_{20}^1 = \frac{20!}{1!(20-1)!} = 20$.
Вероятность: $P_{20}(1) = C_{20}^1 \cdot (0.5)^{20} = 20 \cdot \frac{1}{1048576} = \frac{20}{1048576}$.
Ответ: $P_{20}(1) = \frac{20}{1048576}$.

k = 2
Число сочетаний: $C_{20}^2 = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190$.
Вероятность: $P_{20}(2) = C_{20}^2 \cdot (0.5)^{20} = 190 \cdot \frac{1}{1048576} = \frac{190}{1048576}$.
Ответ: $P_{20}(2) = \frac{190}{1048576}$.

k = 3
Число сочетаний: $C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1140$.
Вероятность: $P_{20}(3) = C_{20}^3 \cdot (0.5)^{20} = 1140 \cdot \frac{1}{1048576} = \frac{1140}{1048576}$.
Ответ: $P_{20}(3) = \frac{1140}{1048576}$.