Номер 14.11, страница 354 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

14.2*. Сложный опыт. § 14*. Математическое ожидание. Закон больших чисел. Глава III. Элементы теории вероятностей - номер 14.11, страница 354.

14.11 Что более правдоподобно — выпадение, по крайней мере, одной шестёрки при 4-кратном бросании игральной кости или выпадение, по крайней мере, пары шестёрок при 24-кратном одновременном бросании двух костей?

Чтобы определить, какое из двух событий более правдоподобно, необходимо рассчитать и сравнить их вероятности. Для обоих случаев будем вычислять вероятность через противоположное событие, используя формулу $P(A) = 1 - P(\bar{A})$, где $P(A)$ — вероятность того, что событие произойдет хотя бы один раз, а $P(\bar{A})$ — вероятность того, что оно не произойдет ни разу.

Выпадение, по крайней мере, одной шестёрки при 4-кратном бросании игральной кости

Обозначим это событие как $A$. Противоположное ему событие $\bar{A}$ заключается в том, что шестёрка не выпадет ни разу за 4 броска.
Вероятность выпадения шестёрки при одном броске стандартной игральной кости равна $\frac{1}{6}$.
Следовательно, вероятность того, что шестёрка не выпадет при одном броске, составляет $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
Поскольку все 4 броска являются независимыми событиями, вероятность того, что шестёрка не выпадет 4 раза подряд, равна:
$P(\bar{A}) = \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{5^4}{6^4} = \frac{625}{1296}$.
Таким образом, вероятность выпадения хотя бы одной шестёрки за 4 броска составляет:
$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{1296 - 625}{1296} = \frac{671}{1296}$.
Приблизительное значение вероятности: $P(A) \approx 0,5177$.

Выпадение, по крайней мере, пары шестёрок при 24-кратном одновременном бросании двух костей

Обозначим это событие как $B$. Противоположное событие $\bar{B}$ — ни разу не выпала пара шестёрок за 24 броска.
При одновременном броске двух костей общее число равновозможных исходов равно $6 \times 6 = 36$.
Среди них только один исход является парой шестёрок (6, 6). Значит, вероятность выпадения пары шестёрок при одном таком броске равна $\frac{1}{36}$.
Вероятность того, что пара шестёрок не выпадет, равна $1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$.
Вероятность того, что за 24 независимых броска пара шестёрок не выпадет ни разу, составляет:
$P(\bar{B}) = \left(\frac{35}{36}\right)^{24}$.
Следовательно, вероятность выпадения хотя бы одной пары шестёрок за 24 броска равна:
$P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24}$.
Вычислим приближённое значение этой вероятности: $P(B) \approx 1 - 0,508596 \approx 0,491404$.

Сравним полученные вероятности:
$P(A) = \frac{671}{1296} \approx 0,5177$
$P(B) \approx 0,4914$
Так как $0,5177 > 0,4914$, то $P(A) > P(B)$. Это означает, что первое событие является более правдоподобным.

Ответ: Более правдоподобно выпадение, по крайней мере, одной шестёрки при 4-кратном бросании игральной кости.