Номер 14.4, страница 352 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава III. Элементы теории вероятностей. § 14*. Математическое ожидание. Закон больших чисел. 14.1*. Математическое ожидание - номер 14.4, страница 352.

Условие.

14.4 Подбрасываются две монеты. Игрок А получает 2 очка, если выпадают два герба, 0 очков в других случаях. Игрок В получает 1 очко, если выпадают герб и решка, 0 очков в других случаях.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи сначала определим все возможные исходы при подбрасывании двух монет и их вероятности. Пусть "Г" обозначает выпадение герба, а "Р" - выпадение решки.

При подбрасывании двух монет существует 4 равновероятных элементарных исхода:

• ГГ (выпали два герба)
• ГР (на первой монете герб, на второй - решка)
• РГ (на первой монете решка, на второй - герб)
• РР (выпали две решки)

Вероятность каждого из этих исходов равна $1/4$.

Так как в условии задачи не сформулированы конкретные вопросы, проанализируем игру для каждого игрока, найдем законы распределения их очков и математические ожидания, а затем сравним их шансы.

а) Анализ очков игрока А

Пусть $X_A$ - случайная величина, равная количеству очков, полученных игроком А. Согласно условию:

• $X_A = 2$, если выпадает два герба (исход ГГ).
• $X_A = 0$ в остальных случаях (исходы ГР, РГ, РР).

Найдем вероятности возможных значений $X_A$:

Вероятность того, что игрок А получит 2 очка, равна вероятности исхода ГГ: $P(X_A = 2) = P(ГГ) = \frac{1}{4}$.

Вероятность того, что игрок А получит 0 очков, равна сумме вероятностей остальных исходов: $P(X_A = 0) = P(ГР) + P(РГ) + P(РР) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Таким образом, закон распределения очков игрока А можно представить в виде таблицы:

Значение $X_A$ (очки)	2	0
Вероятность $P$	$1/4$	$3/4$

Математическое ожидание (среднее количество очков за одну игру) для игрока А равно:

$M(X_A) = 2 \cdot P(X_A = 2) + 0 \cdot P(X_A = 0) = 2 \cdot \frac{1}{4} + 0 \cdot \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.

Ответ: Закон распределения очков игрока А: $P(X_A=2) = 1/4$, $P(X_A=0) = 3/4$. Математическое ожидание очков игрока А равно $0.5$.

б) Анализ очков игрока В

Пусть $X_B$ - случайная величина, равная количеству очков, полученных игроком В. Согласно условию:

• $X_B = 1$, если выпадают герб и решка (исходы ГР и РГ).
• $X_B = 0$ в остальных случаях (исходы ГГ и РР).

Найдем вероятности возможных значений $X_B$:

Вероятность того, что игрок В получит 1 очко, равна сумме вероятностей исходов ГР и РГ: $P(X_B = 1) = P(ГР) + P(РГ) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Вероятность того, что игрок В получит 0 очков, равна сумме вероятностей остальных исходов: $P(X_B = 0) = P(ГГ) + P(РР) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, закон распределения очков игрока В:

Значение $X_B$ (очки)	1	0
Вероятность $P$	$1/2$	$1/2$

Математическое ожидание для игрока В равно:

$M(X_B) = 1 \cdot P(X_B = 1) + 0 \cdot P(X_B = 0) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: Закон распределения очков игрока В: $P(X_B=1) = 1/2$, $P(X_B=0) = 1/2$. Математическое ожидание очков игрока В равно $0.5$.

в) Сравнение игроков и вывод о справедливости игры

Для того чтобы определить, является ли игра справедливой, сравним математические ожидания очков каждого игрока. Математическое ожидание показывает среднее количество очков, которое игрок будет получать за одну игру при большом количестве повторений.

Математическое ожидание очков игрока А: $M(X_A) = 0.5$.

Математическое ожидание очков игрока В: $M(X_B) = 0.5$.

Поскольку $M(X_A) = M(X_B)$, средние ожидаемые "выигрыши" (в очках) у игроков одинаковы. Это означает, что в долгосрочной перспективе ни один из игроков не имеет преимущества. Следовательно, игра является справедливой.

Несмотря на равенство средних ожиданий, стратегии игроков различаются. Игрок А выигрывает реже (вероятность $1/4$), но получает больше очков (2). Игрок В выигрывает чаще (вероятность $1/2$), но получает меньше очков (1). Тем не менее, с точки зрения среднего результата игра сбалансирована.

Ответ: Так как математические ожидания очков у обоих игроков равны ($0.5$), игра является справедливой.