Номер 13.7, страница 348 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

13.2*. Условная вероятность. Независимые события. § 13*. Частота. Условная вероятность. Глава III. Элементы теории вероятностей - номер 13.7, страница 348.

13.7 В условиях предыдущей задачи определите, являются ли независимыми события:

а) $A$ и $B$;

б) $A$ и $C$;

в) $B$ и $C$.

Для решения задачи воспользуемся условиями из предыдущей задачи (13.6), в которой рассматривается эксперимент с бросанием двух игральных костей. Общее число равновозможных исходов в этом эксперименте составляет $N = 6 \times 6 = 36$.

События, о которых идет речь в задаче, определены следующим образом:
Событие A: на первой кости выпала шестерка.
Событие B: на второй кости выпала шестерка.
Событие C: сумма выпавших очков равна 7.

По определению, два события $X$ и $Y$ являются независимыми, если вероятность их совместного появления равна произведению их индивидуальных вероятностей, то есть $P(X \cap Y) = P(X)P(Y)$.

Сначала найдем вероятности каждого из событий A, B и C.

Событию A благоприятствуют 6 исходов: $\{(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$.
Следовательно, вероятность события A: $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Событию B благоприятствуют 6 исходов: $\{(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)\}$.
Следовательно, вероятность события B: $P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Событию C благоприятствуют 6 исходов: $\{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)\}$.
Следовательно, вероятность события C: $P(C) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Теперь проверим на независимость каждую пару событий.

а) А и В

Найдем вероятность совместного наступления событий A и B, то есть $P(A \cap B)$. Событие $A \cap B$ означает, что на первой кости выпала шестерка и на второй кости выпала шестерка. Этому событию благоприятствует только один исход: $(6, 6)$.
Вероятность этого события: $P(A \cap B) = \frac{1}{36}$.

Теперь вычислим произведение вероятностей $P(A)$ и $P(B)$: $P(A)P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $P(A \cap B) = P(A)P(B)$, так как $\frac{1}{36} = \frac{1}{36}$. Это означает, что события A и B являются независимыми.

Ответ: события A и B независимы.

б) А и С

Найдем вероятность совместного наступления событий A и C, то есть $P(A \cap C)$. Событие $A \cap C$ означает, что на первой кости выпала шестерка и сумма очков на двух костях равна 7. Этому событию благоприятствует только один исход: $(6, 1)$.
Вероятность этого события: $P(A \cap C) = \frac{1}{36}$.

Теперь вычислим произведение вероятностей $P(A)$ и $P(C)$: $P(A)P(C) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $P(A \cap C) = P(A)P(C)$, так как $\frac{1}{36} = \frac{1}{36}$. Это означает, что события A и C являются независимыми.

Ответ: события A и C независимы.

в) В и С

Найдем вероятность совместного наступления событий B и C, то есть $P(B \cap C)$. Событие $B \cap C$ означает, что на второй кости выпала шестерка и сумма очков на двух костях равна 7. Этому событию благоприятствует только один исход: $(1, 6)$.
Вероятность этого события: $P(B \cap C) = \frac{1}{36}$.

Теперь вычислим произведение вероятностей $P(B)$ и $P(C)$: $P(B)P(C) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $P(B \cap C) = P(B)P(C)$, так как $\frac{1}{36} = \frac{1}{36}$. Это означает, что события B и C являются независимыми.

Ответ: события B и C независимы.