Номер 13.9, страница 348 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

13.2*. Условная вероятность. Независимые события. § 13*. Частота. Условная вероятность. Глава III. Элементы теории вероятностей - номер 13.9, страница 348.

13.9 На предприятии имеются два устройства, подающие сигнал в случае аварии оборудования. Вероятность того, что в случае аварии подаст сигнал первая сигнализация, равна 0,95, а вероятность того, что вторая, — 0,90. Считая, что подача сигнала первым и вторым устройствами — независимые события, найдите вероятность того, что при аварии подаст сигнал хотя бы одна из сигнализаций.

Пусть событие $A$ заключается в том, что при аварии подаст сигнал первая сигнализация, а событие $B$ — в том, что подаст сигнал вторая сигнализация. Согласно условию задачи, вероятности этих событий равны:
$P(A) = 0,95$
$P(B) = 0,90$

Необходимо найти вероятность того, что при аварии подаст сигнал хотя бы одна из сигнализаций. Это событие соответствует объединению событий $A$ и $B$, то есть $A \cup B$.

Для решения этой задачи удобнее всего использовать метод вычисления через противоположное событие. Событие, противоположное событию «хотя бы одна сигнализация подаст сигнал», — это событие «ни одна из сигнализаций не подаст сигнал».

Найдем вероятности событий, противоположных $A$ и $B$:
Событие $\bar{A}$ — первая сигнализация не подаст сигнал. Его вероятность:
$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,95 = 0,05$
Событие $\bar{B}$ — вторая сигнализация не подаст сигнал. Его вероятность:
$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,90 = 0,10$

По условию, подача сигнала первым и вторым устройствами — независимые события. Следовательно, противоположные им события ($\bar{A}$ и $\bar{B}$) также являются независимыми. Вероятность того, что не сработает ни одна из сигнализаций (то есть одновременно произойдут события $\bar{A}$ и $\bar{B}$), равна произведению их вероятностей:
$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = 0,05 \cdot 0,10 = 0,005$

Искомая вероятность того, что сработает хотя бы одна сигнализация, равна разности между единицей и вероятностью противоположного события (что ни одна не сработает):
$P(A \cup B) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0,005 = 0,995$

Ответ: 0,995