Номер 13.10, страница 348 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава III. Элементы теории вероятностей. § 13*. Частота. Условная вероятность. 13.2*. Условная вероятность. Независимые события - номер 13.10, страница 348.

Условие.

13.10 Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,7, вторым — 0,8. Считая, что поражения мишени каждым из стрелков являются независимыми событиями, найдите вероятность такого события:

а) мишень поразят оба стрелка;

б) мишень поразит первый стрелок, но не поразит второй;

в) мишень поразит второй стрелок, но не поразит первый;

г) мишень не поразит ни один из стрелков;

д) мишень поразит хотя бы один из стрелков.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Обозначим события:

• $A$ – мишень поразит первый стрелок.
• $B$ – мишень поразит второй стрелок.

По условию задачи вероятности этих событий равны:

$P(A) = 0,7$

$P(B) = 0,8$

События $A$ и $B$ по условию являются независимыми. Это означает, что исход стрельбы одного стрелка не влияет на исход стрельбы другого.

Для решения некоторых пунктов нам также понадобятся вероятности противоположных событий:

• $\bar{A}$ – первый стрелок не поразит мишень.
• $\bar{B}$ – второй стрелок не поразит мишень.

Вероятность того, что первый стрелок не поразит мишень, равна:

$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,7 = 0,3$

Вероятность того, что второй стрелок не поразит мишень, равна:

$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$

а) мишень поразят оба стрелка

Это событие означает, что произойдут и событие $A$, и событие $B$. Так как события независимы, вероятность их совместного наступления (пересечения) равна произведению их вероятностей.

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0,7 \times 0,8 = 0,56$

Ответ: $0,56$

б) мишень поразит первый стрелок, но не поразит второй

Это событие означает, что произойдет событие $A$ и противоположное событию $B$ (то есть $\bar{B}$). Поскольку события $A$ и $B$ независимы, то события $A$ и $\bar{B}$ также независимы. Их вероятность равна произведению вероятностей.

$P(A \cap \bar{B}) = P(A) \times P(\bar{B}) = 0,7 \times 0,2 = 0,14$

Ответ: $0,14$

в) мишень поразит второй стрелок, но не поразит первый

Это событие означает, что произойдет событие $B$ и противоположное событию $A$ (то есть $\bar{A}$). Вероятность этого события также находится как произведение вероятностей независимых событий $\bar{A}$ и $B$.

$P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) \times P(B) = 0,3 \times 0,8 = 0,24$

Ответ: $0,24$

г) мишень не поразит ни один из стрелков

Это событие означает, что произойдут оба противоположных события: $\bar{A}$ и $\bar{B}$. Вероятность этого события равна произведению их вероятностей.

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0,3 \times 0,2 = 0,06$

Ответ: $0,06$

д) мишень поразит хотя бы один из стрелков

Это событие означает, что мишень поразит либо первый стрелок, либо второй, либо оба вместе. Это объединение событий $A$ и $B$. Вероятность этого события можно найти двумя способами.

Способ 1: По формуле сложения вероятностей.
Вероятность объединения двух событий равна сумме их вероятностей минус вероятность их пересечения.
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Вероятность пересечения $P(A \cap B)$ была найдена в пункте а): $0,56$.
$P(A \cup B) = 0,7 + 0,8 - 0,56 = 1,5 - 0,56 = 0,94$

Способ 2: Через противоположное событие.
Событие "хотя бы один поразит" является противоположным событию "ни один не поразит". Вероятность события "ни один не поразит" мы нашли в пункте г): $0,06$. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, следовательно, искомая вероятность равна:
$1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0,06 = 0,94$

Ответ: $0,94$