Номер 14.2, страница 352 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

14.1*. Математическое ожидание. § 14*. Математическое ожидание. Закон больших чисел. Глава III. Элементы теории вероятностей - номер 14.2, страница 352.

14.2 Два стрелка стреляют по мишени, состоящей из трёх областей. Попадание в первую область даёт стрелку 5 очков, во вторую — 10 очков, в третью — 20 очков. Законы распределения числа выбитых очков для каждого из них заданы таблицами 8 и 9, где $x$ — число очков, выбитых первым стрелком, $y$ — вторым. Определите, какой стрелок лучше в среднем стреляет по этой мишени.

Таблица 8

$x_i$: 5, 10, 20

$p_i$: 0,3, 0,4, 0,3

Таблица 9

$y_i$: 5, 10, 20

$p_i$: 0,2, 0,6, 0,2

Чтобы определить, какой стрелок в среднем стреляет лучше, необходимо найти математическое ожидание (среднее значение) числа выбитых очков для каждого стрелка. Математическое ожидание $M(X)$ для дискретной случайной величины $X$ вычисляется по формуле:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$, где $x_i$ — возможные значения случайной величины, а $p_i$ — соответствующие им вероятности.

Математическое ожидание для первого стрелка

Для первого стрелка (случайная величина $x$) закон распределения задан Таблицей 8. Возможные значения очков и их вероятности: $x_1 = 5$ с вероятностью $p_1 = 0,3$; $x_2 = 10$ с вероятностью $p_2 = 0,4$; $x_3 = 20$ с вероятностью $p_3 = 0,3$.

Вычислим математическое ожидание $M(X)$ для первого стрелка:

$M(X) = 5 \cdot 0,3 + 10 \cdot 0,4 + 20 \cdot 0,3 = 1,5 + 4,0 + 6,0 = 11,5$ очков.

Математическое ожидание для второго стрелка

Для второго стрелка (случайная величина $y$) закон распределения задан Таблицей 9. Возможные значения очков и их вероятности: $y_1 = 5$ с вероятностью $p_1 = 0,2$; $y_2 = 10$ с вероятностью $p_2 = 0,6$; $y_3 = 20$ с вероятностью $p_3 = 0,2$.

Вычислим математическое ожидание $M(Y)$ для второго стрелка:

$M(Y) = 5 \cdot 0,2 + 10 \cdot 0,6 + 20 \cdot 0,2 = 1,0 + 6,0 + 4,0 = 11,0$ очков.

Сравнение и вывод

Среднее количество очков, которое набирает первый стрелок, равно $M(X) = 11,5$.

Среднее количество очков, которое набирает второй стрелок, равно $M(Y) = 11,0$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $11,5 > 11,0$. Следовательно, в среднем первый стрелок стреляет лучше.

Ответ: В среднем лучше стреляет первый стрелок.