Номер 14.5, страница 352 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава III. Элементы теории вероятностей. § 14*. Математическое ожидание. Закон больших чисел. 14.1*. Математическое ожидание - номер 14.5, страница 352.

Условие.

14.5 Подбрасываются две игральные кости. Игрок A получает 6 очков, если выпадает сумма, не большая 7 очков, 0 очков в других случаях. Игрок B получает 8 очков, если выпадает сумма, большая 7 очков, 0 очков в других случаях.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи определим общее количество возможных исходов при подбрасывании двух игральных костей. Каждая кость имеет 6 граней, поэтому общее число комбинаций равно $6 \times 6 = 36$. Все эти исходы равновероятны.

Сначала рассмотрим условия для Игрока А. Он получает 6 очков, если сумма очков на костях не больше 7 (то есть $\le 7$). Найдем количество исходов, удовлетворяющих этому условию, перечислив их по суммам:

• Сумма 2: (1,1) – 1 исход
• Сумма 3: (1,2), (2,1) – 2 исхода
• Сумма 4: (1,3), (2,2), (3,1) – 3 исхода
• Сумма 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) – 4 исхода
• Сумма 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) – 5 исходов
• Сумма 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) – 6 исходов

Таким образом, общее количество благоприятных исходов для Игрока А составляет $N_A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$. Вероятность того, что Игрок А получит очки, равна $P(\text{сумма} \le 7) = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}$.

Теперь рассмотрим условия для Игрока B. Он получает 8 очков, если сумма очков больше 7. Это событие является противоположным событию для Игрока А. Количество исходов, при которых сумма больше 7, равно $N_B = 36 - 21 = 15$. Вероятность этого события равна $P(\text{сумма} > 7) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

Чтобы определить, для кого игра выгоднее, необходимо вычислить математическое ожидание выигрыша для каждого игрока. Математическое ожидание ($E$) – это среднее значение выигрыша, которое можно ожидать при многократном повторении игры.

Математическое ожидание выигрыша для Игрока А ($E_A$) равно:

$E_A = 6 \times P(\text{сумма} \le 7) + 0 \times P(\text{сумма} > 7) = 6 \times \frac{21}{36} + 0 = \frac{126}{36} = \frac{7}{2} = 3.5$ очка.

Математическое ожидание выигрыша для Игрока B ($E_B$) равно:

$E_B = 8 \times P(\text{сумма} > 7) + 0 \times P(\text{сумма} \le 7) = 8 \times \frac{15}{36} + 0 = \frac{120}{36} = \frac{10}{3} \approx 3.333$ очка.

Сравнивая полученные значения, видим, что $E_A > E_B$ ($3.5 > 10/3$). Это означает, что в среднем за одну игру Игрок А будет получать больше очков, чем Игрок B. Следовательно, игра не является справедливой и более выгодна для Игрока А.

Ответ: Математическое ожидание выигрыша для Игрока А составляет 3.5 очка, а для Игрока B – $\frac{10}{3}$ (приблизительно 3.33) очка. Игра выгоднее для Игрока А.