Номер 14.3, страница 352 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава III. Элементы теории вероятностей. § 14*. Математическое ожидание. Закон больших чисел. 14.1*. Математическое ожидание - номер 14.3, страница 352.

Условие.

Будем называть игру «справедливой», если в среднем будет одинаковым число очков или денег, получаемых каждым игроком. Определите, является ли «справедливой» игра, описанная в следующей задаче (14.3—14.6):

14.3 Подбрасываются две монеты.

Игрок А получает 3 очка, если выпадают два герба, 0 очков в других случаях. Игрок В получает 2 очка, если выпадают герб и решка, 0 очков в других случаях.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы определить, является ли игра «справедливой», необходимо рассчитать математическое ожидание (среднее количество очков) для каждого игрока. Игра будет считаться справедливой, если эти значения равны.

При подбрасывании двух монет существует четыре равновероятных исхода:
1. Герб, Герб (ГГ)
2. Герб, Решка (ГР)
3. Решка, Герб (РГ)
4. Решка, Решка (РР)
Вероятность каждого из этих исходов составляет $1/4$.

14.3
Теперь рассчитаем математическое ожидание выигрыша для каждого игрока.

Для игрока А:
Игрок А получает 3 очка при выпадении двух гербов (исход ГГ). Вероятность этого события $P(A) = P(ГГ) = 1/4$. В остальных трех случаях, вероятность которых составляет $3/4$, игрок А получает 0 очков.
Математическое ожидание для игрока А ($E_A$) равно:
$E_A = 3 \times \frac{1}{4} + 0 \times \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$

Для игрока B:
Игрок В получает 2 очка при выпадении герба и решки. Это соответствует двум исходам: ГР и РГ. Суммарная вероятность этих событий $P(B) = P(ГР) + P(РГ) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. В остальных двух случаях (ГГ и РР), вероятность которых также равна $1/2$, игрок В получает 0 очков.
Математическое ожидание для игрока B ($E_B$) равно:
$E_B = 2 \times \frac{1}{2} + 0 \times \frac{1}{2} = 1$

Сравниваем математические ожидания обоих игроков: $E_A = \frac{3}{4}$ и $E_B = 1$.
Поскольку $E_A \neq E_B$ ($\frac{3}{4} \neq 1$), среднее число очков, получаемых каждым игроком, не одинаково. Следовательно, игра не является справедливой.

Ответ: нет, игра не является справедливой.