Номер 14.8, страница 352 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

14.1*. Математическое ожидание. § 14*. Математическое ожидание. Закон больших чисел. Глава III. Элементы теории вероятностей - номер 14.8, страница 352.

14.8* Задача Луки Пачоли (1494 г.). Двое игроков играют до трёх выигрышей. После того как первый игрок выиграл две партии, а второй — одну, игра прервалась. Спрашивается, в каком отношении разделить ставку 210 ливров (ливр — серебряная монета).

Это классическая «задача о разделе ставки», решение которой, предложенное в переписке Блеза Паскаля и Пьера де Ферма, положило начало теории вероятностей. Справедливый раздел ставки должен основываться не на текущем счете, а на вероятностях выигрыша каждого игрока, если бы игра была продолжена.

По условию, игра идет до трех побед. На момент ее прерывания счет 2:1 в пользу первого игрока. Это означает, что первому игроку для итоговой победы не хватает одной выигранной партии, а второму игроку — двух партий. Общая ставка составляет 210 ливров.

Предположим, что игроки равны по силе, следовательно, вероятность выигрыша каждой следующей партии для любого из них равна $1/2$.

Рассмотрим все возможные сценарии завершения игры. Для определения победителя понадобится сыграть не более двух партий. Пусть «П1» означает выигрыш первого игрока в одной партии, а «П2» — выигрыш второго.

Возможные последовательности партий, приводящие к завершению игры, и их вероятности:

1. Первый игрок выигрывает следующую же партию (исход П1). Он сразу достигает трех побед и выигрывает всю игру. Вероятность этого исхода: $1/2$.

2. Второй игрок выигрывает следующую партию, а первый — партию после нее (исход П2, П1). Счет становится 2:2, а затем 3:2. Побеждает первый игрок. Вероятность этой последовательности: $1/2 \times 1/2 = 1/4$.

3. Второй игрок выигрывает обе следующие партии (исход П2, П2). Счет становится 2:2, а затем 2:3. Побеждает второй игрок. Вероятность этой последовательности: $1/2 \times 1/2 = 1/4$.

Теперь вычислим общую вероятность победы для каждого игрока, суммируя вероятности благоприятных для него исходов.

Вероятность победы первого игрока — это сумма вероятностей исходов 1 и 2:
$P(\text{Первый}) = 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4$.

Вероятность победы второго игрока соответствует исходу 3:
$P(\text{Второй}) = 1/4$.

Таким образом, шансы игроков на победу соотносятся как $3/4$ к $1/4$, то есть $3:1$ в пользу первого игрока. В этой же пропорции следует разделить ставку в 210 ливров.

Разделим общую сумму на $3+1=4$ равные части. Одна часть составляет $210 / 4 = 52.5$ ливра.

Доля первого игрока: $3 \times 52.5 = 157.5$ ливров.
Доля второго игрока: $1 \times 52.5 = 52.5$ ливров.

Ответ: Ставку следует разделить в отношении 3:1 в пользу первого игрока. Первый игрок должен получить 157.5 ливров, а второй — 52.5 ливров.