Номер 14.14, страница 358 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

14.3*. Формула Бернулли. Закон больших чисел. § 14*. Математическое ожидание. Закон больших чисел. Глава III. Элементы теории вероятностей - номер 14.14, страница 358.

14.14 Монета подбрасывается 10 раз. Вычислите вероятность выпадения герба:

а) не более чем 2 раза;

б) не более чем 3 раза.

Для решения этой задачи используется схема независимых испытаний Бернулли. Вероятность выпадения герба при одном подбрасывании монеты равна $p = 0.5$, а вероятность невыпадения (выпадения решки) — $q = 1-p = 0.5$. Общее число испытаний (подбрасываний) $n=10$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

В нашем случае, поскольку $p=q=0.5$, формула упрощается:

$P_{10}(k) = C_{10}^k (0.5)^k (0.5)^{10-k} = C_{10}^k (0.5)^{10} = \frac{C_{10}^k}{2^{10}} = \frac{C_{10}^k}{1024}$

Здесь $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент (число сочетаний из $n$ по $k$).

а) не более чем 2 раза

Событие "герб выпадет не более чем 2 раза" означает, что герб выпадет 0, 1 или 2 раза. Вероятность этого события равна сумме вероятностей трех несовместных событий: выпадения 0 гербов, 1 герба и 2 гербов.

$P(k \le 2) = P_{10}(0) + P_{10}(1) + P_{10}(2)$

Рассчитаем каждую вероятность отдельно:

• Вероятность выпадения 0 гербов ($k=0$):
  $C_{10}^0 = \frac{10!}{0! \cdot 10!} = 1$
  $P_{10}(0) = \frac{1}{1024}$
• Вероятность выпадения 1 герба ($k=1$):
  $C_{10}^1 = \frac{10!}{1! \cdot 9!} = 10$
  $P_{10}(1) = \frac{10}{1024}$
• Вероятность выпадения 2 гербов ($k=2$):
  $C_{10}^2 = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$
  $P_{10}(2) = \frac{45}{1024}$

Теперь сложим полученные вероятности:

$P(k \le 2) = \frac{1}{1024} + \frac{10}{1024} + \frac{45}{1024} = \frac{1+10+45}{1024} = \frac{56}{1024}$

Сократим дробь:

$\frac{56}{1024} = \frac{28}{512} = \frac{14}{256} = \frac{7}{128}$

Ответ: $\frac{7}{128}$

б) не более чем 3 раза

Событие "герб выпадет не более чем 3 раза" означает, что герб выпадет 0, 1, 2 или 3 раза. Вероятность этого события можно найти, прибавив к результату пункта а) вероятность выпадения герба ровно 3 раза.

$P(k \le 3) = P(k \le 2) + P_{10}(3)$

Мы уже знаем, что $P(k \le 2) = \frac{56}{1024}$. Найдем $P_{10}(3)$:

Вероятность выпадения 3 гербов ($k=3$):
$C_{10}^3 = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$
$P_{10}(3) = \frac{120}{1024}$

Теперь найдем итоговую вероятность:

$P(k \le 3) = \frac{56}{1024} + \frac{120}{1024} = \frac{176}{1024}$

Сократим дробь:

$\frac{176}{1024} = \frac{88}{512} = \frac{44}{256} = \frac{22}{128} = \frac{11}{64}$

Ответ: $\frac{11}{64}$