Номер 14.16, страница 358 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

14.3*. Формула Бернулли. Закон больших чисел. § 14*. Математическое ожидание. Закон больших чисел. Глава III. Элементы теории вероятностей - номер 14.16, страница 358.

14.16 Имеется тест из четырёх заданий. К каждому из заданий даны 5 ответов для выбора. Контролирующее устройство проверяет работу ученика по номерам выбранных ответов и выставляет отметку:

5 — за выбор верных ответов во всех четырёх заданиях;

4 — за выбор верных ответов в любых трёх заданиях;

3 — за выбор верных ответов в любых двух заданиях;

2 — за выбор верного ответа лишь в одном задании;

1 — за выбор неверных ответов во всех четырёх заданиях.

Ученик, не выполняя заданий, решил случайным образом указать номера верных ответов в каждом из них. Какова вероятность таким способом получить отметку:

а) 5;

б) 4;

в) 3;

г) 2;

д) 1?

Данная задача решается с помощью формулы Бернулли для последовательности независимых испытаний. У нас есть $n=4$ испытания (вопроса). В каждом испытании есть два исхода: "успех" (выбран верный ответ) или "неудача" (выбран неверный ответ).

Вероятность "успеха" в одном испытании (выбрать верный ответ из 5 вариантов наугад) равна $p = \frac{1}{5}$.

Вероятность "неудачи" (выбрать неверный ответ) равна $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

Формула Бернулли для нахождения вероятности $k$ успехов в $n$ испытаниях: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

а) 5

Для получения отметки "5" необходимо правильно ответить на все 4 вопроса. Это означает $k=4$ успеха в $n=4$ испытаниях.
$P_4(4) = C_4^4 \cdot (\frac{1}{5})^4 \cdot (\frac{4}{5})^{4-4} = 1 \cdot \frac{1}{625} \cdot (\frac{4}{5})^0 = 1 \cdot \frac{1}{625} \cdot 1 = \frac{1}{625}$.
Ответ: $\frac{1}{625}$.

б) 4

Для получения отметки "4" необходимо правильно ответить на любые 3 вопроса из 4. Это означает $k=3$ успеха в $n=4$ испытаниях.
$P_4(3) = C_4^3 \cdot (\frac{1}{5})^3 \cdot (\frac{4}{5})^{4-3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} \cdot \frac{1}{125} \cdot \frac{4}{5} = 4 \cdot \frac{1}{125} \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{625}$.
Ответ: $\frac{16}{625}$.

в) 3

Для получения отметки "3" необходимо правильно ответить на любые 2 вопроса из 4. Это означает $k=2$ успеха в $n=4$ испытаниях.
$P_4(2) = C_4^2 \cdot (\frac{1}{5})^2 \cdot (\frac{4}{5})^{4-2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} \cdot \frac{1}{25} \cdot \frac{16}{25} = 6 \cdot \frac{1}{25} \cdot \frac{16}{25} = \frac{96}{625}$.
Ответ: $\frac{96}{625}$.

г) 2

Для получения отметки "2" необходимо правильно ответить лишь на 1 вопрос из 4. Это означает $k=1$ успех в $n=4$ испытаниях.
$P_4(1) = C_4^1 \cdot (\frac{1}{5})^1 \cdot (\frac{4}{5})^{4-1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{64}{125} = 4 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{64}{125} = \frac{256}{625}$.
Ответ: $\frac{256}{625}$.

д) 1

Для получения отметки "1" необходимо неверно ответить на все 4 вопроса. Это означает $k=0$ успехов в $n=4$ испытаниях.
$P_4(0) = C_4^0 \cdot (\frac{1}{5})^0 \cdot (\frac{4}{5})^{4-0} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{256}{625} = \frac{256}{625}$.
Ответ: $\frac{256}{625}$.