Номер 7, страница 363 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Число и вычисления. Задания для повторения - номер 7, страница 363.

7 Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь:

а) $2.\overline{4}$;

б) $3.\overline{5}$;

в) $2.\overline{17}$;

г) $2.1\overline{7}$;

д) $2.17\overline{1}$.

а) Чтобы представить бесконечную периодическую дробь $2,(4)$ в виде обыкновенной, обозначим эту дробь через $x$.
$x = 2,444...$
Так как в периоде одна цифра, умножим обе части уравнения на 10, чтобы сдвинуть запятую на один знак вправо и получить новое число с такой же дробной частью:
$10x = 24,444...$
Теперь вычтем из второго уравнения первое. Это действие позволяет избавиться от бесконечного "хвоста" из четверок.
$10x - x = 24,444... - 2,444...$
$9x = 22$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{22}{9}$
Можно также представить ответ в виде смешанного числа: $2\frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{22}{9}$

б) Представим дробь $3,(5)$ в виде обыкновенной. Пусть $x = 3,(5)$.
$x = 3,555...$
Период состоит из одной цифры, поэтому умножаем на 10:
$10x = 35,555...$
Вычтем исходное уравнение из полученного:
$10x - x = 35,555... - 3,555...$
$9x = 32$
$x = \frac{32}{9}$
В виде смешанного числа это $3\frac{5}{9}$.
Ответ: $\frac{32}{9}$

в) Рассмотрим дробь $2,(17)$. Обозначим $x = 2,(17)$.
$x = 2,171717...$
В периоде две цифры, поэтому умножим обе части на 100, чтобы сдвинуть запятую на два знака вправо:
$100x = 217,171717...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = 217,171717... - 2,171717...$
$99x = 215$
$x = \frac{215}{99}$
В виде смешанного числа это $2\frac{17}{99}$.
Ответ: $\frac{215}{99}$

г) Представим смешанную периодическую дробь $2,1(7)$ в виде обыкновенной. Смешанная она потому, что между запятой и периодом есть цифра, не входящая в него. Пусть $x = 2,1(7)$.
$x = 2,1777...$
Сначала умножим обе части на 10, чтобы после запятой остался только чистый период.
$10x = 21,777...$
Теперь, так как в периоде одна цифра, умножим обе части этого нового уравнения еще на 10:
$100x = 217,777...$
Вычтем предпоследнее уравнение из последнего, чтобы убрать периодическую часть:
$100x - 10x = 217,777... - 21,777...$
$90x = 196$
$x = \frac{196}{90}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2:
$x = \frac{98}{45}$
Ответ: $\frac{98}{45}$

д) Представим смешанную периодическую дробь $2,17(1)$ в виде обыкновенной. Пусть $x = 2,17(1)$.
$x = 2,17111...$
В дробной части до периода стоят две цифры (17), поэтому сначала умножим обе части на 100, чтобы "продвинуть" непериодическую часть влево от запятой:
$100x = 217,111...$
Период состоит из одной цифры (1), поэтому умножим это уравнение еще на 10:
$1000x = 2171,111...$
Теперь вычтем из последнего уравнения предпоследнее, чтобы избавиться от периодической части:
$1000x - 100x = 2171,111... - 217,111...$
$900x = 1954$
$x = \frac{1954}{900}$
Сократим дробь на 2:
$x = \frac{977}{450}$
Ответ: $\frac{977}{450}$