Номер 11, страница 363 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Число и вычисления. Задания для повторения - номер 11, страница 363.

11 Вычислите:

a) $\frac{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{\frac{1}{7} + \frac{1}{49} - 2\frac{8}{49}}$;

б) $\frac{(\sqrt{3} - 2\sqrt{2})(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})}{\frac{7}{8} - 0,125 + \frac{1}{20}}$;

в) $\frac{2^0 + (\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) \cdot (\sqrt{3})^0}{\frac{1}{16} + \frac{1}{4} - 0,375}$;

г) $\frac{0,625 + \frac{1}{8} + 2^0 - 2^{-1}}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}$;

д) $\left(\frac{(2 + 2\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)^2}{(0,05)^0 + 0,75 - \frac{1}{4}}\right)^{-1}$;

e) $\frac{1}{16} \cdot \frac{(4 + 2\sqrt{3})^3}{26 + 15\sqrt{3}}$;

а) Вычислим числитель и знаменатель дроби по отдельности.
Числитель: $(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})$. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$(\sqrt{3})^2 + ((\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2) = 3 + (7 - 3) = 3 + 4 = 7$.
Знаменатель: $\frac{1}{7} + \frac{1}{49} - 2\frac{8}{49}$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{8}{49} = \frac{2 \cdot 49 + 8}{49} = \frac{98 + 8}{49} = \frac{106}{49}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 49: $\frac{1 \cdot 7}{7 \cdot 7} + \frac{1}{49} - \frac{106}{49} = \frac{7 + 1 - 106}{49} = \frac{8 - 106}{49} = \frac{-98}{49} = -2$.
Найдем значение выражения: $\frac{7}{-2} = -3,5$.
Ответ: -3,5.

б) Вычислим числитель и знаменатель дроби по отдельности.
Числитель: $(\sqrt{3} - 2\sqrt{2})(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})$. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$(\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{2})^2 = 3 - (4 \cdot 2) = 3 - 8 = -5$.
Знаменатель: $\frac{7}{8} - 0,125 + \frac{1}{20}$. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,125 = \frac{1}{8}$.
$\frac{7}{8} - \frac{1}{8} + \frac{1}{20} = \frac{6}{8} + \frac{1}{20} = \frac{3}{4} + \frac{1}{20}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 20: $\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{1}{20} = \frac{15}{20} + \frac{1}{20} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$.
Найдем значение выражения: $\frac{-5}{\frac{4}{5}} = -5 \cdot \frac{5}{4} = -\frac{25}{4} = -6,25$.
Ответ: -6,25.

в) Вычислим числитель и знаменатель дроби по отдельности.
Числитель: $2^0 + (\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) \cdot (\sqrt{3})^0$. Любое ненулевое число в степени 0 равно 1, поэтому $2^0 = 1$ и $(\sqrt{3})^0 = 1$.
Используем формулу разности квадратов: $(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$.
Числитель равен: $1 + 1 \cdot 1 = 2$.
Знаменатель: $\frac{1}{16} + \frac{1}{4} - 0,375$. Преобразуем десятичную дробь: $0,375 = \frac{375}{1000} = \frac{3}{8}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 16: $\frac{1}{16} + \frac{1 \cdot 4}{4 \cdot 4} - \frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{1}{16} + \frac{4}{16} - \frac{6}{16} = \frac{1 + 4 - 6}{16} = \frac{-1}{16}$.
Найдем значение выражения: $\frac{2}{-\frac{1}{16}} = 2 \cdot (-16) = -32$.
Ответ: -32.

г) Вычислим числитель и знаменатель дроби по отдельности.
Числитель: $0,625 + \frac{1}{8} + 2^0 - 2^{-1}$.
Преобразуем числа: $0,625 = \frac{5}{8}$, $2^0 = 1$, $2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Числитель равен: $\frac{5}{8} + \frac{1}{8} + 1 - \frac{1}{2} = \frac{6}{8} + 1 - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + 1 - \frac{2}{4} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
Знаменатель: $(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)$. Используем формулу разности квадратов: $(\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$.
Найдем значение выражения: $\frac{\frac{5}{4}}{1} = \frac{5}{4} = 1,25$.
Ответ: 1,25.

д) Сначала упростим выражение в скобках.
Рассмотрим числитель дроби в скобках: $(2 + 2\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)^2$.
Заметим, что $2 + 2\sqrt{2} + 1 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2} + 1)^2$.
Тогда числитель равен $(\sqrt{2} + 1)^2(\sqrt{2} - 1)^2 = ((\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1))^2$.
Используем формулу разности квадратов: $((\sqrt{2})^2 - 1^2)^2 = (2 - 1)^2 = 1^2 = 1$.
Рассмотрим знаменатель дроби в скобках: $(0,05)^0 + 0,75 - \frac{1}{4}$.
$(0,05)^0 = 1$, $0,75 = \frac{3}{4}$.
Знаменатель равен $1 + \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = 1 + \frac{2}{4} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
Выражение в скобках равно $\frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$.
Возведем результат в степень -1: $(\frac{2}{3})^{-1} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Ответ: 1,5.

е) Упростим выражение $\frac{(4 + 2\sqrt{3})^3}{26 + 15\sqrt{3}}$.
Вынесем общий множитель в числителе: $(4 + 2\sqrt{3})^3 = (2(2 + \sqrt{3}))^3 = 2^3(2 + \sqrt{3})^3 = 8(2 + \sqrt{3})^3$.
Раскроем куб суммы по формуле $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$:
$(2 + \sqrt{3})^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3 = 8 + 12\sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 3\sqrt{3} = 8 + 12\sqrt{3} + 18 + 3\sqrt{3} = 26 + 15\sqrt{3}$.
Тогда дробь равна $\frac{8(26 + 15\sqrt{3})}{26 + 15\sqrt{3}} = 8$.
Найдем значение всего выражения: $\frac{1}{16} \cdot 8 = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Ответ: 0,5.