Номер 15, страница 364 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Число и вычисления. Задания для повторения - номер 15, страница 364.

15 Докажите, что данное число целое, и найдите это число:

a) $(\sqrt[6]{2} - \sqrt[6]{7})((\sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{2})^2 - \sqrt[3]{14})(\sqrt[6]{7} + \sqrt[6]{2});$

б) $((\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{125})^2 + 9)((\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{125})^2 - 9);$

в) $((\sqrt[6]{3} - \sqrt[6]{5})^2 + \sqrt[6]{960})((\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{5})^2 - 3\sqrt[3]{15}).$

а) Упростим выражение $(\sqrt[6]{2} - \sqrt[6]{7})((\sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{2})^2 - \sqrt[3]{14})(\sqrt[6]{7} + \sqrt[6]{2})$.

Сначала сгруппируем первый и третий множители. Заметим, что $(\sqrt[6]{7} + \sqrt[6]{2}) = (\sqrt[6]{2} + \sqrt[6]{7})$. Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:

$(\sqrt[6]{2} - \sqrt[6]{7})(\sqrt[6]{2} + \sqrt[6]{7}) = (\sqrt[6]{2})^2 - (\sqrt[6]{7})^2 = 2^{2/6} - 7^{2/6} = 2^{1/3} - 7^{1/3} = \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{7}$.

Далее упростим второй множитель. Раскроем квадрат суммы по формуле $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$(\sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{2})^2 - \sqrt[3]{14} = ((\sqrt[3]{7})^2 + 2\sqrt[3]{7}\sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2) - \sqrt[3]{14}$

$= (\sqrt[3]{49} + 2\sqrt[3]{14} + \sqrt[3]{4}) - \sqrt[3]{14} = \sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{14} + \sqrt[3]{4}$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{7})(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{14} + \sqrt[3]{49})$.

Вынесем знак минус из первой скобки: $-(\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{14} + \sqrt[3]{4})$.

Пусть $a = \sqrt[3]{7}$ и $b = \sqrt[3]{2}$. Тогда выражение принимает вид $-(a-b)(a^2+ab+b^2)$, что является формулой разности кубов $a^3-b^3$ со знаком минус.

Вычисляем результат:

$-(a^3-b^3) = -((\sqrt[3]{7})^3 - (\sqrt[3]{2})^3) = -(7-2) = -5$.

Результат -5 является целым числом, что и требовалось доказать.
Ответ: -5

б) Упростим выражение $((\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{125})^2 + 9)((\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{125})^2 - 9)$.

Рассмотрим первую большую скобку. Раскроем квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{125})^2 = (\sqrt[4]{5})^2 - 2\sqrt[4]{5}\sqrt[4]{125} + (\sqrt[4]{125})^2 = \sqrt{5} - 2\sqrt[4]{5 \cdot 125} + \sqrt{125}$.

Поскольку $5 \cdot 125 = 625 = 5^4$, то $\sqrt[4]{625}=5$. Также $\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$.

Тогда квадрат разности равен $\sqrt{5} - 2(5) + 5\sqrt{5} = 6\sqrt{5} - 10$.

Значение первой большой скобки: $(6\sqrt{5} - 10) + 9 = 6\sqrt{5} - 1$.

Теперь рассмотрим вторую большую скобку. Раскроем квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{125})^2 = (\sqrt[4]{5})^2 + 2\sqrt[4]{5}\sqrt[4]{125} + (\sqrt[4]{125})^2 = \sqrt{5} + 2(5) + 5\sqrt{5} = 6\sqrt{5} + 10$.

Значение второй большой скобки: $(6\sqrt{5} + 10) - 9 = 6\sqrt{5} + 1$.

Перемножим полученные выражения:

$(6\sqrt{5} - 1)(6\sqrt{5} + 1)$.

Используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$, получаем:

$(6\sqrt{5})^2 - 1^2 = 36 \cdot 5 - 1 = 180 - 1 = 179$.

Результат 179 является целым числом, что и требовалось доказать.
Ответ: 179

в) Упростим выражение $((\sqrt[6]{3} - \sqrt[6]{5})^2 + \sqrt[6]{960})((\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{5})^2 - 3\sqrt[3]{15})$.

Рассмотрим первую скобку. Раскроем квадрат разности:

$(\sqrt[6]{3} - \sqrt[6]{5})^2 = (\sqrt[6]{3})^2 - 2\sqrt[6]{3}\sqrt[6]{5} + (\sqrt[6]{5})^2 = \sqrt[3]{3} - 2\sqrt[6]{15} + \sqrt[3]{5}$.

Упростим корень $\sqrt[6]{960}$. Разложим подкоренное выражение на множители: $960 = 96 \cdot 10 = (3 \cdot 32) \cdot (2 \cdot 5) = 3 \cdot 2^5 \cdot 2 \cdot 5 = 2^6 \cdot 15$.

Тогда $\sqrt[6]{960} = \sqrt[6]{2^6 \cdot 15} = 2\sqrt[6]{15}$.

Первая скобка примет вид: $(\sqrt[3]{3} - 2\sqrt[6]{15} + \sqrt[3]{5}) + 2\sqrt[6]{15} = \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{5}$.

Теперь рассмотрим вторую скобку. Раскроем квадрат суммы:

$(\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{5})^2 = (\sqrt[3]{3})^2 + 2\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{5} + (\sqrt[3]{5})^2 = \sqrt[3]{9} + 2\sqrt[3]{15} + \sqrt[3]{25}$.

Вторая скобка примет вид: $(\sqrt[3]{9} + 2\sqrt[3]{15} + \sqrt[3]{25}) - 3\sqrt[3]{15} = \sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{15} + \sqrt[3]{25}$.

Перемножим полученные выражения:

$(\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{5})(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{15} + \sqrt[3]{25})$.

Это выражение соответствует формуле суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a = \sqrt[3]{3}$ и $b = \sqrt[3]{5}$.

Вычисляем результат:

$(\sqrt[3]{3})^3 + (\sqrt[3]{5})^3 = 3 + 5 = 8$.

Результат 8 является целым числом, что и требовалось доказать.
Ответ: 8