Номер 10, страница 363 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Число и вычисления. Задания для повторения - номер 10, страница 363.
№10 (с. 363)
Условие. №10 (с. 363)
скриншот условия

10 Определите, что больше:
а) $(1 - \sqrt{3})^{-1}$ или $(1 + 3^{0,5})^{-2}$
б) $(1 - \sqrt{2})^{-2}$ или $(2^{1,5} + 3)^{-1}$
Решение 1. №10 (с. 363)


Решение 2. №10 (с. 363)

Решение 3. №10 (с. 363)

Решение 5. №10 (с. 363)
а) Сравним числа $(1 - \sqrt{3})^{-1}$ и $(1 + 3^{0,5})^{-2}$.
Сначала преобразуем первое выражение:
$(1 - \sqrt{3})^{-1} = \frac{1}{1 - \sqrt{3}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(1 + \sqrt{3})$:
$\frac{1}{1 - \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 3} = \frac{1 + \sqrt{3}}{-2} = -\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$
Поскольку $\sqrt{3} > 0$, то $1 + \sqrt{3} > 0$, следовательно, выражение $-\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ является отрицательным числом.
Теперь преобразуем второе выражение. Учтем, что $3^{0,5} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$:
$(1 + 3^{0,5})^{-2} = (1 + \sqrt{3})^{-2} = \frac{1}{(1 + \sqrt{3})^2}$
Раскроем скобки в знаменателе:
$(1 + \sqrt{3})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}$
Таким образом, второе выражение равно $\frac{1}{4 + 2\sqrt{3}}$.
Поскольку $\sqrt{3} > 0$, то знаменатель $4 + 2\sqrt{3}$ положителен, и вся дробь является положительным числом.
Мы сравниваем отрицательное число $-\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ и положительное число $\frac{1}{4 + 2\sqrt{3}}$. Любое положительное число больше любого отрицательного.
Следовательно, $\frac{1}{4 + 2\sqrt{3}} > -\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$, а значит $(1 + 3^{0,5})^{-2} > (1 - \sqrt{3})^{-1}$.
Ответ: $(1 + 3^{0,5})^{-2} > (1 - \sqrt{3})^{-1}$.
б) Сравним числа $(1 - \sqrt{2})^{-2}$ и $(2^{1,5} + 3)^{-1}$.
Преобразуем первое выражение:
$(1 - \sqrt{2})^{-2} = \frac{1}{(1 - \sqrt{2})^2}$
Раскроем скобки в знаменателе:
$(1 - \sqrt{2})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2}$
Получаем дробь $\frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$. Избавимся от иррациональности, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 + 2\sqrt{2})$:
$\frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (3 + 2\sqrt{2})}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{9 - 8} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{1} = 3 + 2\sqrt{2}$
Теперь преобразуем второе выражение. Учтем, что $2^{1,5} = 2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$:
$(2^{1,5} + 3)^{-1} = (2\sqrt{2} + 3)^{-1} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}$
Теперь нам нужно сравнить два числа: $3 + 2\sqrt{2}$ и $\frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}$.
Обозначим $x = 3 + 2\sqrt{2}$. Тогда требуется сравнить $x$ и $\frac{1}{x}$.
Поскольку $\sqrt{2} > 1$, то $2\sqrt{2} > 2$, и $x = 3 + 2\sqrt{2} > 3 + 2 = 5$. Значит, $x > 1$.
Для любого положительного числа $x$, если $x > 1$, то $x > \frac{1}{x}$.
Следовательно, $3 + 2\sqrt{2} > \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}$.
Это означает, что $(1 - \sqrt{2})^{-2} > (2^{1,5} + 3)^{-1}$.
Ответ: $(1 - \sqrt{2})^{-2} > (2^{1,5} + 3)^{-1}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 10 расположенного на странице 363 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10 (с. 363), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.