Номер 10, страница 363 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Число и вычисления - номер 10, страница 363.

Условие.

10 Определите, что больше:

а) $(1 - \sqrt{3})^{-1}$ или $(1 + 3^{0,5})^{-2}$

б) $(1 - \sqrt{2})^{-2}$ или $(2^{1,5} + 3)^{-1}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) Сравним числа $(1 - \sqrt{3})^{-1}$ и $(1 + 3^{0,5})^{-2}$.

Сначала преобразуем первое выражение:

$(1 - \sqrt{3})^{-1} = \frac{1}{1 - \sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(1 + \sqrt{3})$:

$\frac{1}{1 - \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 3} = \frac{1 + \sqrt{3}}{-2} = -\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Поскольку $\sqrt{3} > 0$, то $1 + \sqrt{3} > 0$, следовательно, выражение $-\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ является отрицательным числом.

Теперь преобразуем второе выражение. Учтем, что $3^{0,5} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$:

$(1 + 3^{0,5})^{-2} = (1 + \sqrt{3})^{-2} = \frac{1}{(1 + \sqrt{3})^2}$

Раскроем скобки в знаменателе:

$(1 + \sqrt{3})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}$

Таким образом, второе выражение равно $\frac{1}{4 + 2\sqrt{3}}$.

Поскольку $\sqrt{3} > 0$, то знаменатель $4 + 2\sqrt{3}$ положителен, и вся дробь является положительным числом.

Мы сравниваем отрицательное число $-\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ и положительное число $\frac{1}{4 + 2\sqrt{3}}$. Любое положительное число больше любого отрицательного.

Следовательно, $\frac{1}{4 + 2\sqrt{3}} > -\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$, а значит $(1 + 3^{0,5})^{-2} > (1 - \sqrt{3})^{-1}$.

Ответ: $(1 + 3^{0,5})^{-2} > (1 - \sqrt{3})^{-1}$.

б) Сравним числа $(1 - \sqrt{2})^{-2}$ и $(2^{1,5} + 3)^{-1}$.

Преобразуем первое выражение:

$(1 - \sqrt{2})^{-2} = \frac{1}{(1 - \sqrt{2})^2}$

Раскроем скобки в знаменателе:

$(1 - \sqrt{2})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2}$

Получаем дробь $\frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$. Избавимся от иррациональности, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 + 2\sqrt{2})$:

$\frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (3 + 2\sqrt{2})}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{9 - 8} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{1} = 3 + 2\sqrt{2}$

Теперь преобразуем второе выражение. Учтем, что $2^{1,5} = 2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$:

$(2^{1,5} + 3)^{-1} = (2\sqrt{2} + 3)^{-1} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}$

Теперь нам нужно сравнить два числа: $3 + 2\sqrt{2}$ и $\frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}$.

Обозначим $x = 3 + 2\sqrt{2}$. Тогда требуется сравнить $x$ и $\frac{1}{x}$.

Поскольку $\sqrt{2} > 1$, то $2\sqrt{2} > 2$, и $x = 3 + 2\sqrt{2} > 3 + 2 = 5$. Значит, $x > 1$.

Для любого положительного числа $x$, если $x > 1$, то $x > \frac{1}{x}$.

Следовательно, $3 + 2\sqrt{2} > \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}$.

Это означает, что $(1 - \sqrt{2})^{-2} > (2^{1,5} + 3)^{-1}$.

Ответ: $(1 - \sqrt{2})^{-2} > (2^{1,5} + 3)^{-1}$.