Номер 8, страница 363 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Число и вычисления. Задания для повторения - номер 8, страница 363.

8 Сравните числа:

а) $\frac{3}{11}$ и $0.\overline{27}$;

б) $\frac{5}{7}$ и $0.\overline{7}$;

в) $-\frac{4}{15}$ и $-0.2\overline{8}$;

г) $-\frac{11}{30}$ и $-0.3\overline{4}$.

а) Для сравнения чисел $\frac{3}{11}$ и $0,(27)$ представим периодическую десятичную дробь $0,(27)$ в виде обыкновенной дроби.
Пусть $x = 0,(27) = 0,2727...$.
Поскольку в периоде две цифры, умножим $x$ на $100$: $100x = 27,2727...$.
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = 27,2727... - 0,2727...$
$99x = 27$
$x = \frac{27}{99}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 9:
$x = \frac{27 \div 9}{99 \div 9} = \frac{3}{11}$.
Таким образом, $0,(27) = \frac{3}{11}$.
Следовательно, числа равны.
Ответ: $\frac{3}{11} = 0,(27)$.

б) Для сравнения чисел $\frac{5}{7}$ и $0,(7)$ представим периодическую дробь $0,(7)$ в виде обыкновенной дроби.
Пусть $x = 0,(7) = 0,777...$.
Умножим на 10: $10x = 7,777...$.
Вычтем $x$ из $10x$:
$10x - x = 7,777... - 0,777...$
$9x = 7$
$x = \frac{7}{9}$.
Теперь сравним дроби $\frac{5}{7}$ и $\frac{7}{9}$. Приведем их к общему знаменателю $7 \times 9 = 63$:
$\frac{5}{7} = \frac{5 \times 9}{7 \times 9} = \frac{45}{63}$
$\frac{7}{9} = \frac{7 \times 7}{9 \times 7} = \frac{49}{63}$
Поскольку $45 < 49$, то $\frac{45}{63} < \frac{49}{63}$, а значит $\frac{5}{7} < \frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{5}{7} < 0,(7)$.

в) Для сравнения отрицательных чисел $-\frac{4}{15}$ и $-0,2(8)$ сначала сравним их модули (абсолютные значения): $\frac{4}{15}$ и $0,2(8)$.
Представим смешанную периодическую дробь $0,2(8)$ в виде обыкновенной дроби.
Пусть $x = 0,2(8) = 0,2888...$.
Умножим на 10: $10x = 2,888...$.
Умножим на 100: $100x = 28,888...$.
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - 10x = 28,888... - 2,888...$
$90x = 26$
$x = \frac{26}{90} = \frac{13}{45}$.
Теперь сравним дроби $\frac{4}{15}$ и $\frac{13}{45}$. Приведем дробь $\frac{4}{15}$ к знаменателю 45:
$\frac{4}{15} = \frac{4 \times 3}{15 \times 3} = \frac{12}{45}$.
Сравниваем $\frac{12}{45}$ и $\frac{13}{45}$. Поскольку $12 < 13$, то $\frac{12}{45} < \frac{13}{45}$, а значит $\frac{4}{15} < 0,2(8)$.
Так как мы сравниваем отрицательные числа, то знак неравенства меняется на противоположный: из $\frac{4}{15} < 0,2(8)$ следует, что $-\frac{4}{15} > -0,2(8)$.
Ответ: $-\frac{4}{15} > -0,2(8)$.

г) Для сравнения отрицательных чисел $-\frac{11}{30}$ и $-0,3(4)$ сравним их модули: $\frac{11}{30}$ и $0,3(4)$.
Представим смешанную периодическую дробь $0,3(4)$ в виде обыкновенной дроби.
Пусть $x = 0,3(4) = 0,3444...$.
Умножим на 10: $10x = 3,444...$.
Умножим на 100: $100x = 34,444...$.
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - 10x = 34,444... - 3,444...$
$90x = 31$
$x = \frac{31}{90}$.
Теперь сравним дроби $\frac{11}{30}$ и $\frac{31}{90}$. Приведем дробь $\frac{11}{30}$ к знаменателю 90:
$\frac{11}{30} = \frac{11 \times 3}{30 \times 3} = \frac{33}{90}$.
Сравниваем $\frac{33}{90}$ и $\frac{31}{90}$. Поскольку $33 > 31$, то $\frac{33}{90} > \frac{31}{90}$, а значит $\frac{11}{30} > 0,3(4)$.
При сравнении отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: из $\frac{11}{30} > 0,3(4)$ следует, что $-\frac{11}{30} < -0,3(4)$.
Ответ: $-\frac{11}{30} < -0,3(4)$.