Номер 9, страница 363 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Число и вычисления. Задания для повторения - номер 9, страница 363.

9 a) Какое из чисел меньше: $2\sqrt{10}$ или $6,(32)$?

б) Какое из чисел больше: $2\sqrt{17}$ или $8,(24)$?

в) Какое из чисел меньше: $\sqrt[3]{47}$ или $\sqrt{13}$?

а) Чтобы сравнить числа $2\sqrt{10}$ и $6,(32)$, возведем оба числа в квадрат. Так как оба числа положительные, то знак неравенства между ними будет таким же, как и между их квадратами.

Найдем квадрат первого числа:
$(2\sqrt{10})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40$.

Теперь представим второе число $6,(32)$ в виде обыкновенной дроби.
Пусть $x = 6,3232...$
Тогда $100x = 632,3232...$
$100x - x = 632,3232... - 6,3232...$
$99x = 626$
$x = \frac{626}{99}$.

Найдем квадрат второго числа:
$( \frac{626}{99} )^2 = \frac{626^2}{99^2} = \frac{391876}{9801}$.

Сравним $40$ и $\frac{391876}{9801}$. Для этого приведем $40$ к дроби со знаменателем $9801$:
$40 = \frac{40 \cdot 9801}{9801} = \frac{392040}{9801}$.

Сравниваем дроби $\frac{392040}{9801}$ и $\frac{391876}{9801}$.
Так как $392040 > 391876$, то $\frac{392040}{9801} > \frac{391876}{9801}$.
Следовательно, $40 > (\frac{626}{99})^2$, а значит $(2\sqrt{10})^2 > (6,(32))^2$.
Поскольку оба числа положительны, то $2\sqrt{10} > 6,(32)$.
Таким образом, меньшее из чисел — $6,(32)$.

Ответ: $6,(32)$.

б) Чтобы сравнить числа $2\sqrt{17}$ и $8,(24)$, возведем их в квадрат, так как оба числа положительны.

Найдем квадрат первого числа:
$(2\sqrt{17})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{17})^2 = 4 \cdot 17 = 68$.

Представим второе число $8,(24)$ в виде обыкновенной дроби.
Пусть $x = 8,2424...$
Тогда $100x = 824,2424...$
$100x - x = 824,2424... - 8,2424...$
$99x = 816$
$x = \frac{816}{99}$.

Найдем квадрат второго числа:
$( \frac{816}{99} )^2 = \frac{816^2}{99^2} = \frac{665856}{9801}$.

Сравним $68$ и $\frac{665856}{9801}$. Для этого приведем $68$ к дроби со знаменателем $9801$:
$68 = \frac{68 \cdot 9801}{9801} = \frac{666468}{9801}$.

Сравниваем дроби $\frac{666468}{9801}$ и $\frac{665856}{9801}$.
Так как $666468 > 665856$, то $\frac{666468}{9801} > \frac{665856}{9801}$.
Следовательно, $68 > (\frac{816}{99})^2$, а значит $(2\sqrt{17})^2 > (8,(24))^2$.
Поскольку оба числа положительны, то $2\sqrt{17} > 8,(24)$.
Таким образом, большее из чисел — $2\sqrt{17}$.

Ответ: $2\sqrt{17}$.

в) Чтобы сравнить числа $\sqrt[3]{47}$ и $\sqrt{13}$, нужно привести их к корням с одинаковым показателем. Наименьшее общее кратное для показателей корней $3$ и $2$ равно $6$.

Возведем оба числа в шестую степень. Так как оба числа положительные, знак неравенства сохранится.

Для первого числа:
$(\sqrt[3]{47})^6 = 47^{(1/3) \cdot 6} = 47^2 = 2209$.

Для второго числа:
$(\sqrt{13})^6 = 13^{(1/2) \cdot 6} = 13^3 = 169 \cdot 13 = 2197$.

Сравним полученные результаты: $2209$ и $2197$.
Так как $2209 > 2197$, то $(\sqrt[3]{47})^6 > (\sqrt{13})^6$.
Поскольку функция $y=x^6$ возрастающая для положительных чисел, то $\sqrt[3]{47} > \sqrt{13}$.
Таким образом, меньшее из чисел — $\sqrt{13}$.

Ответ: $\sqrt{13}$.