Номер 16, страница 364 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Число и вычисления. Задания для повторения - номер 16, страница 364.

16 Вычислите:

а) $3 \cdot \frac{\sqrt{8+2\sqrt{7}}}{\sqrt{8-2\sqrt{7}}} - \frac{\sqrt{3+\sqrt{7}}}{\sqrt{3-\sqrt{7}}} \cdot \sqrt{2};$

б) $\frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}}{\sqrt{3+2\sqrt{2}}} + 4 \cdot \frac{\sqrt{6+\sqrt{2}}}{\sqrt{6-\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{\frac{17}{2}};$

в) $(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{5})(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{25});$

г) $\sqrt[6]{4-2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{1+\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{4};$

д) $\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{3}};$

е) $\sqrt{31} \cdot \sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{5}}} \cdot \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{5}}} \cdot \sqrt{6+\sqrt{5}};$

ж) $\sqrt{\sqrt{2}-1} \cdot \sqrt[4]{3+2\sqrt{2}};$

з) $\sqrt[6]{(2+\sqrt{3})^2 + 2\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt[3]{2-\sqrt{3}}.$

а) $3 \cdot \frac{\sqrt{8+2\sqrt{7}}}{\sqrt{8-2\sqrt{7}}} - \frac{\sqrt{3+\sqrt{7}}}{\sqrt{3-\sqrt{7}}} \cdot \sqrt{2}$

1. Упростим подкоренные выражения вида $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}$, используя формулу $\sqrt{x \pm y + 2\sqrt{xy}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y}$.

Для $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$, имеем $x+y=8$ и $xy=7$. Отсюда $x=7, y=1$.

$\sqrt{8+2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}+\sqrt{1})^2} = \sqrt{7}+1$.

Аналогично, $\sqrt{8-2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{1})^2} = \sqrt{7}-1$.

2. Подставим упрощенные выражения в первую дробь и избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив на сопряженное выражение:

$3 \cdot \frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{7}-1} = 3 \cdot \frac{(\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}+1)}{(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1)} = 3 \cdot \frac{(\sqrt{7}+1)^2}{(\sqrt{7})^2 - 1^2} = 3 \cdot \frac{7+2\sqrt{7}+1}{7-1} = 3 \cdot \frac{8+2\sqrt{7}}{6} = \frac{8+2\sqrt{7}}{2} = 4+\sqrt{7}$.

3. Упростим вторую часть выражения. Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{\sqrt{3+\sqrt{7}}}{\sqrt{3-\sqrt{7}}}$:

$\frac{\sqrt{3+\sqrt{7}}}{\sqrt{3-\sqrt{7}}} = \frac{\sqrt{3+\sqrt{7}} \cdot \sqrt{3+\sqrt{7}}}{\sqrt{3-\sqrt{7}} \cdot \sqrt{3+\sqrt{7}}} = \frac{3+\sqrt{7}}{\sqrt{3^2 - (\sqrt{7})^2}} = \frac{3+\sqrt{7}}{\sqrt{9-7}} = \frac{3+\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$.

4. Теперь умножим полученный результат на $\sqrt{2}$:

$\frac{3+\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} = 3+\sqrt{7}$.

5. Вычислим разность:

$(4+\sqrt{7}) - (3+\sqrt{7}) = 4+\sqrt{7}-3-\sqrt{7} = 1$.

Ответ: 1

б) $\frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}}{\sqrt{3+2\sqrt{2}}} + 4 \cdot \frac{\sqrt{6+\sqrt{2}}}{\sqrt{6-\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{\frac{17}{2}}$

1. Упростим первую дробь. Для $\sqrt{3-2\sqrt{2}}$, имеем $x+y=3, xy=2$. Отсюда $x=2, y=1$.

$\sqrt{3-2\sqrt{2}} = \sqrt{2}-1$ и $\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{2}+1$.

$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2-2\sqrt{2}+1}{2-1} = 3-2\sqrt{2}$.

2. Упростим вторую часть выражения. Объединим корни:

$4 \cdot \sqrt{\frac{6+\sqrt{2}}{6-\sqrt{2}} \cdot \frac{17}{2}}$.

Избавимся от иррациональности в дроби под корнем:

$\frac{6+\sqrt{2}}{6-\sqrt{2}} = \frac{(6+\sqrt{2})^2}{(6-\sqrt{2})(6+\sqrt{2})} = \frac{36+12\sqrt{2}+2}{36-2} = \frac{38+12\sqrt{2}}{34} = \frac{19+6\sqrt{2}}{17}$.

3. Подставим обратно в выражение:

$4 \cdot \sqrt{\frac{19+6\sqrt{2}}{17} \cdot \frac{17}{2}} = 4 \cdot \sqrt{\frac{19+6\sqrt{2}}{2}}$.

4. Упростим $\sqrt{19+6\sqrt{2}}$. Представим $6\sqrt{2}$ как $2\sqrt{18}$.

$\sqrt{19+2\sqrt{18}}$. Ищем $x,y$ такие, что $x+y=19, xy=18$. Это 18 и 1.

$\sqrt{19+2\sqrt{18}} = \sqrt{18}+\sqrt{1} = 3\sqrt{2}+1$.

5. Выражение принимает вид:

$4 \cdot \frac{3\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}} = 4 \cdot \frac{(3\sqrt{2}+1)\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = 4 \cdot \frac{3\cdot 2 + \sqrt{2}}{2} = 2(6+\sqrt{2}) = 12+2\sqrt{2}$.

6. Сложим обе части:

$(3-2\sqrt{2}) + (12+2\sqrt{2}) = 15$.

Ответ: 15

в) $(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{5})(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{25})$

1. Воспользуемся формулой разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$.

2. Пусть $a = \sqrt[3]{2}$ и $b = \sqrt[3]{5}$.

Тогда $a^2 = (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{4}$, $b^2 = (\sqrt[3]{5})^2 = \sqrt[3]{25}$, и $ab = \sqrt[3]{2}\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{10}$.

3. Выражение в точности соответствует формуле разности кубов.

$(\sqrt[3]{2})^3 - (\sqrt[3]{5})^3 = 2 - 5 = -3$.

Ответ: -3

г) $\sqrt[6]{4-2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{1+\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{4}$

1. Упростим первый множитель. Сначала упростим выражение под корнем шестой степени:

$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$. Ищем $x,y$ такие, что $x+y=4, xy=3$. Это 3 и 1.

$\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{3}-1$.

Тогда $\sqrt[6]{4-2\sqrt{3}} = \sqrt[6]{(\sqrt{3}-1)^2} = (\sqrt{3}-1)^{2/6} = (\sqrt{3}-1)^{1/3} = \sqrt[3]{\sqrt{3}-1}$.

2. Объединим все множители под один кубический корень:

$\sqrt[3]{\sqrt{3}-1} \cdot \sqrt[3]{1+\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) \cdot 4}$.

3. Применим формулу разности квадратов $(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) = (\sqrt{3})^2-1^2 = 3-1=2$.

4. Вычислим итоговое значение:

$\sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8} = 2$.

Ответ: 2

д) $\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}$

1. Сгруппируем первые два множителя и применим формулу разности квадратов $\sqrt{a-b}\sqrt{a+b}=\sqrt{a^2-b^2}$:

$\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2} = \sqrt{4 - (2+\sqrt{3})} = \sqrt{2-\sqrt{3}}$.

2. Умножим полученный результат на третий множитель:

$\sqrt{2-\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{3}} = \sqrt{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2} = \sqrt{4-3} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: 1

е) $\sqrt{31} \cdot \sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{5}}} \cdot \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{5}}} \cdot \sqrt{6+\sqrt{5}}$

1. Сгруппируем второй и третий множители и применим формулу разности квадратов:

$\sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{5}}} \cdot \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{5}}} = \sqrt{3^2 - (\sqrt{3+\sqrt{5}})^2} = \sqrt{9 - (3+\sqrt{5})} = \sqrt{6-\sqrt{5}}$.

2. Выражение принимает вид:

$\sqrt{31} \cdot \sqrt{6-\sqrt{5}} \cdot \sqrt{6+\sqrt{5}}$.

3. Сгруппируем последние два множителя:

$\sqrt{6-\sqrt{5}} \cdot \sqrt{6+\sqrt{5}} = \sqrt{6^2 - (\sqrt{5})^2} = \sqrt{36-5} = \sqrt{31}$.

4. Вычислим итоговое значение:

$\sqrt{31} \cdot \sqrt{31} = 31$.

Ответ: 31

ж) $\sqrt{\sqrt{2}-1} \cdot \sqrt[4]{3+2\sqrt{2}}$

1. Упростим второй множитель. Сначала преобразуем выражение под корнем четвертой степени:

$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$. Ищем $x,y$ такие, что $x+y=3, xy=2$. Это 2 и 1.

$\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{2}+1$.

Тогда $\sqrt[4]{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{\sqrt{3+2\sqrt{2}}} = \sqrt{\sqrt{2}+1}$.

2. Выражение принимает вид:

$\sqrt{\sqrt{2}-1} \cdot \sqrt{\sqrt{2}+1}$.

3. Объединим корни и применим формулу разности квадратов:

$\sqrt{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \sqrt{2-1} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: 1

з) $(\sqrt[6]{(2+\sqrt{3})^2} + 2\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}) \cdot \sqrt[3]{2-\sqrt{3}}$

1. Упростим первый член в скобках:

$\sqrt[6]{(2+\sqrt{3})^2} = (2+\sqrt{3})^{2/6} = (2+\sqrt{3})^{1/3} = \sqrt[3]{2+\sqrt{3}}$.

2. Выражение в скобках становится:

$\sqrt[3]{2+\sqrt{3}} + 2\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}$.

Сложим подобные члены: $3\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}$.

3. Умножим результат на второй множитель:

$3\sqrt[3]{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{2-\sqrt{3}}$.

4. Объединим кубические корни:

$3\sqrt[3]{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$.

5. Применим формулу разности квадратов:

$3\sqrt[3]{2^2 - (\sqrt{3})^2} = 3\sqrt[3]{4-3} = 3\sqrt[3]{1} = 3 \cdot 1 = 3$.

Ответ: 3