Номер 21, страница 365 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Упрощение выражений. Задания для повторения - номер 21, страница 365.

21 $\frac{x+1}{x^3+x^2+x} : \frac{1}{x^4-x} - x^2.$

Для упрощения данного выражения необходимо выполнить действия в соответствии с их приоритетом: сначала деление, а затем вычитание.

1. Выполним деление дробей.

Деление $ \frac{x+1}{x^3 + x^2 + x} : \frac{1}{x^4 - x} $ заменяется умножением на обратную дробь:$$ \frac{x+1}{x^3 + x^2 + x} \cdot \frac{x^4 - x}{1} $$

Чтобы упростить это выражение, разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй.

Знаменатель первой дроби:
$ x^3 + x^2 + x = x(x^2 + x + 1) $

Числитель второй дроби:
$ x^4 - x = x(x^3 - 1) $
Используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, получаем:
$ x(x^3 - 1) = x(x-1)(x^2+x+1) $

Теперь подставим разложенные многочлены обратно в выражение:$$ \frac{x+1}{x(x^2 + x + 1)} \cdot \frac{x(x-1)(x^2+x+1)}{1} $$

Сократим общие множители $x$ и $(x^2+x+1)$ в числителе и знаменателе:$$ \frac{x+1}{\cancel{x}(\cancel{x^2 + x + 1})} \cdot \frac{\cancel{x}(x-1)(\cancel{x^2+x+1})}{1} = (x+1)(x-1) $$

Полученное произведение является формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:$$ (x+1)(x-1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1 $$

2. Выполним вычитание.

Подставим результат первого действия в исходное выражение:$$ (x^2 - 1) - x^2 $$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:$$ x^2 - 1 - x^2 = -1 $$

При решении необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ), при которых исходное выражение имеет смысл. Знаменатели дробей не должны равняться нулю.
1) $ x^3 + x^2 + x \neq 0 \implies x(x^2 + x + 1) \neq 0 $. Так как дискриминант квадратного трехчлена $x^2 + x + 1$ отрицателен ($D=1-4=-3$), он не имеет действительных корней и всегда положителен. Следовательно, $x \neq 0$.
2) $ x^4 - x \neq 0 \implies x(x^3 - 1) \neq 0 \implies x(x-1)(x^2+x+1) \neq 0 $. Отсюда получаем, что $x \neq 0$ и $x \neq 1$.
Таким образом, выражение упрощается до $-1$ при всех $x$, кроме $x=0$ и $x=1$.

Ответ: $-1$