Номер 27, страница 365 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Упрощение выражений. Задания для повторения - номер 27, страница 365.

27 a) 2. $\frac{(a^2+a-2)(a+2)}{(a^2+4a+4)(a-1)};$

б) 5. $\frac{(a^2+5a+6)(a^2-2a+4)}{(a+3)(a^3+8)};$

в) $\frac{(a^3+27)(a+4)}{(a^2-3a+9)(a^2+7a+12)};$

г) $\frac{(\sqrt{a}+1)^2(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(a-b)(a+2\sqrt{a}+1)}.$

а) Упростим выражение $2 \cdot \frac{(a^2 + a - 2)(a + 2)}{(a^2 + 4a + 4)(a - 1)}$.
Для этого разложим на множители квадратные трехчлены в числителе и знаменателе.
В числителе: $a^2 + a - 2$. Корни уравнения $a^2 + a - 2 = 0$ по теореме Виета равны $a_1 = 1$ и $a_2 = -2$. Следовательно, $a^2 + a - 2 = (a - 1)(a + 2)$.
В знаменателе: $a^2 + 4a + 4$. Это формула квадрата суммы: $a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2$.
Подставим разложенные многочлены в исходное выражение:
$2 \cdot \frac{(a - 1)(a + 2)(a + 2)}{(a + 2)^2(a - 1)} = 2 \cdot \frac{(a - 1)(a + 2)^2}{(a + 2)^2(a - 1)}$.
Сократим общие множители $(a - 1)$ и $(a + 2)^2$ при условии, что $a \neq 1$ и $a \neq -2$.
После сокращения получаем: $2$.
Ответ: 2.

б) Упростим выражение $5 \cdot \frac{(a^2 + 5a + 6)(a^2 - 2a + 4)}{(a + 3)(a^3 + 8)}$.
Разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе.
В числителе: $a^2 + 5a + 6$. Корни уравнения $a^2 + 5a + 6 = 0$ по теореме Виета равны $a_1 = -2$ и $a_2 = -3$. Следовательно, $a^2 + 5a + 6 = (a + 2)(a + 3)$.
В знаменателе: $a^3 + 8$. Это формула суммы кубов: $a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)$.
Подставим разложенные многочлены в исходное выражение:
$5 \cdot \frac{(a + 2)(a + 3)(a^2 - 2a + 4)}{(a + 3)(a + 2)(a^2 - 2a + 4)}$.
Сократим общие множители $(a + 2)$, $(a + 3)$ и $(a^2 - 2a + 4)$ при условии, что $a \neq -2$ и $a \neq -3$.
После сокращения получаем: $5$.
Ответ: 5.

в) Упростим выражение $\frac{(a^3 + 27)(a + 4)}{(a^2 - 3a + 9)(a^2 + 7a + 12)}$.
Разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе.
В числителе: $a^3 + 27$. Это формула суммы кубов: $a^3 + 3^3 = (a + 3)(a^2 - 3a + 9)$.
В знаменателе: $a^2 + 7a + 12$. Корни уравнения $a^2 + 7a + 12 = 0$ по теореме Виета равны $a_1 = -3$ и $a_2 = -4$. Следовательно, $a^2 + 7a + 12 = (a + 3)(a + 4)$.
Подставим разложенные многочлены в исходное выражение:
$\frac{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)(a + 4)}{(a^2 - 3a + 9)(a + 3)(a + 4)}$.
Сократим общие множители $(a + 3)$, $(a + 4)$ и $(a^2 - 3a + 9)$ при условии, что $a \neq -3$ и $a \neq -4$.
После сокращения получаем: $1$.
Ответ: 1.

г) Упростим выражение $\frac{(\sqrt{a} + 1)^2(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(a - b)(a + 2\sqrt{a} + 1)}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $a \ge 0$, $b \ge 0$, $a \neq b$.
Преобразуем числитель и знаменатель, используя формулы сокращенного умножения.
В числителе множители $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ образуют разность квадратов: $(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b$.
В знаменателе выражение $a + 2\sqrt{a} + 1$ является полным квадратом: $(\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a} + 1)^2$.
Подставим преобразованные части в исходное выражение:
$\frac{(\sqrt{a} + 1)^2(a - b)}{(a - b)(\sqrt{a} + 1)^2}$.
Сократим общие множители $(a - b)$ и $(\sqrt{a} + 1)^2$. Выражение $(\sqrt{a} + 1)^2$ не равно нулю при $a \ge 0$.
После сокращения получаем: $1$.
Ответ: 1.