Номер 29, страница 366 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Упрощение выражений. Задания для повторения - номер 29, страница 366.

29. а) $( \frac{16}{c} )^{\frac{1}{3}} \cdot ( 0.5c^{-2} )^{\frac{2}{15}} : \sqrt[5]{2c^7};$

б) $( 3d^{\frac{3}{4}} : \sqrt[3]{\frac{1}{d^4}} \cdot 81 \cdot d^{-\frac{3}{2}} )^{-6}.$

а) Упростим выражение по шагам, используя свойства степеней.
Исходное выражение: $(\frac{16}{c})^{\frac{1}{3}} \cdot (0,5c^{-2})^{\frac{2}{15}} : \sqrt[5]{2c^7}$
Сначала представим все числовые коэффициенты и корни в виде степеней.
$16 = 2^4$; $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$; $\sqrt[5]{2c^7} = (2c^7)^{\frac{1}{5}}$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$(\frac{2^4}{c})^{\frac{1}{3}} \cdot (2^{-1}c^{-2})^{\frac{2}{15}} : (2c^7)^{\frac{1}{5}}$
Применим свойство степени частного $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:
$\frac{(2^4)^{\frac{1}{3}}}{c^{\frac{1}{3}}} \cdot (2^{-1})^{\frac{2}{15}}(c^{-2})^{\frac{2}{15}} : (2^{\frac{1}{5}}c^{\frac{7}{5}})$
Теперь применим свойство степени степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$\frac{2^{\frac{4}{3}}}{c^{\frac{1}{3}}} \cdot 2^{-\frac{2}{15}}c^{-\frac{4}{15}} : (2^{\frac{1}{5}}c^{\frac{7}{5}})$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями (2 и $c$). При умножении степеней их показатели складываются, а при делении – вычитаются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$; $a^m : a^n = a^{m-n}$):
$(2^{\frac{4}{3}} \cdot 2^{-\frac{2}{15}} : 2^{\frac{1}{5}}) \cdot (c^{-\frac{1}{3}} \cdot c^{-\frac{4}{15}} : c^{\frac{7}{5}})$
$2^{\frac{4}{3} - \frac{2}{15} - \frac{1}{5}} \cdot c^{-\frac{1}{3} - \frac{4}{15} - \frac{7}{5}}$
Вычислим показатель степени для основания 2, приведя дроби к общему знаменателю 15:
$\frac{4}{3} - \frac{2}{15} - \frac{1}{5} = \frac{4 \cdot 5}{15} - \frac{2}{15} - \frac{1 \cdot 3}{15} = \frac{20 - 2 - 3}{15} = \frac{15}{15} = 1$
Вычислим показатель степени для основания $c$, приведя дроби к общему знаменателю 15:
$-\frac{1}{3} - \frac{4}{15} - \frac{7}{5} = \frac{-1 \cdot 5}{15} - \frac{4}{15} - \frac{7 \cdot 3}{15} = \frac{-5 - 4 - 21}{15} = \frac{-30}{15} = -2$
Таким образом, выражение упрощается до:
$2^1 \cdot c^{-2} = \frac{2}{c^2}$
Ответ: $\frac{2}{c^2}$

б) Упростим данное выражение.
Исходное выражение: $(3d^{\frac{3}{4}} : \sqrt[3]{\frac{1}{d^4}} \cdot 81 \cdot d^{-\frac{3}{2}})^{-6}$
Сначала преобразуем выражение внутри скобок. Представим корень и число 81 в виде степеней:
$\sqrt[3]{\frac{1}{d^4}} = \sqrt[3]{d^{-4}} = (d^{-4})^{\frac{1}{3}} = d^{-\frac{4}{3}}$
$81 = 3^4$
Подставим эти значения в выражение в скобках:
$3d^{\frac{3}{4}} : d^{-\frac{4}{3}} \cdot 3^4 \cdot d^{-\frac{3}{2}}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями 3 и $d$:
$(3^1 \cdot 3^4) \cdot (d^{\frac{3}{4}} : d^{-\frac{4}{3}} \cdot d^{-\frac{3}{2}})$
Упростим каждую группу, используя правила действий со степенями:
Для основания 3: $3^{1+4} = 3^5$
Для основания $d$: $d^{\frac{3}{4} - (-\frac{4}{3}) + (-\frac{3}{2})} = d^{\frac{3}{4} + \frac{4}{3} - \frac{3}{2}}$
Приведем дроби в показателе степени $d$ к общему знаменателю 12:
$\frac{3 \cdot 3}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} - \frac{3 \cdot 6}{12} = \frac{9 + 16 - 18}{12} = \frac{7}{12}$
Таким образом, выражение в скобках равно:
$3^5 d^{\frac{7}{12}}$
Теперь возведем полученное выражение в степень -6:
$(3^5 d^{\frac{7}{12}})^{-6}$
Применим свойство $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(3^5)^{-6} \cdot (d^{\frac{7}{12}})^{-6} = 3^{5 \cdot (-6)} \cdot d^{\frac{7}{12} \cdot (-6)} = 3^{-30} \cdot d^{-\frac{42}{12}} = 3^{-30}d^{-\frac{7}{2}}$
Этот результат можно также записать в виде дроби: $\frac{1}{3^{30}d^{\frac{7}{2}}}$.
Ответ: $3^{-30}d^{-\frac{7}{2}}$