Номер 32, страница 366 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Упрощение выражений. Задания для повторения - номер 32, страница 366.

32 a) $ \frac{7\sqrt{3}\cdot\sqrt{a} - 7\sqrt{5}\cdot\sqrt{b}}{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{a} + 6\sqrt{5}\cdot\sqrt{b}} : \frac{3a - 5b}{9a + 15b + 6\sqrt{15ab}} $;

б) $ \left(\frac{a\sqrt{a} + 27b\sqrt{b}}{3\sqrt{a} + 9\sqrt{b}} - \sqrt{ab}\right) \cdot \left(\frac{3\sqrt{a} + 9\sqrt{b}}{a - 9b}\right)^2 $.

а) Для решения данного примера упростим каждую из дробей и выполним деление.
1. Преобразуем первую дробь $\frac{7\sqrt{3}\cdot\sqrt{a} - 7\sqrt{5}\cdot\sqrt{b}}{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{a} + 6\sqrt{5}\cdot\sqrt{b}}$.
В числителе вынесем за скобки 7, а в знаменателе 6:
$\frac{7(\sqrt{3a} - \sqrt{5b})}{6(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})}$.
2. Преобразуем вторую дробь $\frac{3a - 5b}{9a + 15b + 6\sqrt{15ab}}$.
Числитель $3a - 5b$ является разностью квадратов: $(\sqrt{3a})^2 - (\sqrt{5b})^2 = (\sqrt{3a} - \sqrt{5b})(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})$.
Знаменатель $9a + 15b + 6\sqrt{15ab}$ преобразуем, вынеся за скобки общий множитель 3: $3(3a + 5b + 2\sqrt{15ab})$. Выражение в скобках представляет собой полный квадрат суммы: $3a + 2\sqrt{15ab} + 5b = (\sqrt{3a})^2 + 2\cdot\sqrt{3a}\cdot\sqrt{5b} + (\sqrt{5b})^2 = (\sqrt{3a} + \sqrt{5b})^2$.
Таким образом, вторая дробь равна $\frac{(\sqrt{3a} - \sqrt{5b})(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})}{3(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})^2}$.
3. Выполним деление. Заменим деление на умножение на обратную (перевернутую) дробь:
$\frac{7(\sqrt{3a} - \sqrt{5b})}{6(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})} \cdot \frac{3(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})^2}{(\sqrt{3a} - \sqrt{5b})(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})}$.
4. Сократим полученное выражение.
Сокращаем множители $(\sqrt{3a} - \sqrt{5b})$ и $(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})$:
$\frac{7 \cdot 3 \cdot (\sqrt{3a} + \sqrt{5b})^2}{6 \cdot (\sqrt{3a} + \sqrt{5b}) \cdot (\sqrt{3a} + \sqrt{5b})} = \frac{21(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})^2}{6(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})^2}$.
После сокращения на $(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})^2$ получаем:
$\frac{21}{6} = \frac{7}{2}$.
Ответ: $\frac{7}{2}$.

б) Решим выражение по действиям.
Исходное выражение: $\left( \frac{a\sqrt{a} + 27b\sqrt{b}}{3\sqrt{a} + 9\sqrt{b}} - \sqrt{ab} \right) \cdot \left( \frac{3\sqrt{a} + 9\sqrt{b}}{a - 9b} \right)^2$.
1. Упростим выражение в первых скобках.
Числитель первой дроби $a\sqrt{a} + 27b\sqrt{b}$ — это сумма кубов: $(\sqrt{a})^3 + (3\sqrt{b})^3$.
Применяем формулу $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$:
$(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})(a - 3\sqrt{ab} + 9b)$.
Знаменатель $3\sqrt{a} + 9\sqrt{b}$ можно упростить, вынеся 3 за скобки: $3(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})$.
Дробь принимает вид: $\frac{(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})(a - 3\sqrt{ab} + 9b)}{3(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})} = \frac{a - 3\sqrt{ab} + 9b}{3}$.
Теперь выполним вычитание:
$\frac{a - 3\sqrt{ab} + 9b}{3} - \sqrt{ab} = \frac{a - 3\sqrt{ab} + 9b - 3\sqrt{ab}}{3} = \frac{a - 6\sqrt{ab} + 9b}{3}$.
Числитель $a - 6\sqrt{ab} + 9b$ является полным квадратом разности $(\sqrt{a} - 3\sqrt{b})^2$.
Таким образом, результат первого действия: $\frac{(\sqrt{a} - 3\sqrt{b})^2}{3}$.
2. Упростим выражение во вторых скобках и возведем в квадрат.
Дробь: $\frac{3\sqrt{a} + 9\sqrt{b}}{a - 9b}$.
Числитель: $3(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})$.
Знаменатель $a - 9b$ — это разность квадратов: $(\sqrt{a})^2 - (3\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - 3\sqrt{b})(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})$.
Дробь равна: $\frac{3(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})}{(\sqrt{a} - 3\sqrt{b})(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})} = \frac{3}{\sqrt{a} - 3\sqrt{b}}$.
Возводим в квадрат: $\left(\frac{3}{\sqrt{a} - 3\sqrt{b}}\right)^2 = \frac{9}{(\sqrt{a} - 3\sqrt{b})^2}$.
3. Перемножим результаты двух действий:
$\frac{(\sqrt{a} - 3\sqrt{b})^2}{3} \cdot \frac{9}{(\sqrt{a} - 3\sqrt{b})^2}$.
Сокращаем общий множитель $(\sqrt{a} - 3\sqrt{b})^2$:
$\frac{9}{3} = 3$.
Ответ: 3.