Номер 31, страница 366 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Упрощение выражений. Задания для повторения - номер 31, страница 366.

31 Упростите выражение и вычислите его значение:

а) $\left(\frac{3+2a}{3-2a}\right)\left(\frac{a-1}{a+1}\right)^4$, если $a = \sqrt[4]{5}$;

б) $\sqrt{(1+x)^2} + \sqrt{(x-1)^2}$, если $|x| < 1$;

в) $\frac{a^2+1}{a\sqrt{\left(\frac{a^2-1}{2a}\right)^2} + 1}$, если $a < 0$;

г) $\left(\frac{\frac{1}{a}-a}{\left(\sqrt[3]{a}+a^{-\frac{1}{3}}+1\right)\left(a^{\frac{1}{3}}+a^{-\frac{1}{3}}-1\right)} + a^{\frac{1}{3}}\right)^{-3}$, если $a = 1,75$.

а) Сначала упростим данное выражение. Обозначим его через $E$.
$E = \left(\frac{3+2a}{3-2a}\right) \left(\frac{a-1}{a+1}\right)^4$
Введем замену: $y = \frac{a-1}{a+1}$. Выразим $a$ через $y$:
$y(a+1) = a-1$
$ya + y = a - 1$
$y + 1 = a(1-y)$
$a = \frac{1+y}{1-y}$
Теперь подставим это выражение для $a$ в первую дробь:
$\frac{3+2a}{3-2a} = \frac{3+2\frac{1+y}{1-y}}{3-2\frac{1+y}{1-y}} = \frac{3(1-y)+2(1+y)}{3(1-y)-2(1+y)} = \frac{3-3y+2+2y}{3-3y-2-2y} = \frac{5-y}{1-5y}$
Таким образом, исходное выражение $E$ можно записать в виде:
$E = \frac{5-y}{1-5y} \cdot y^4$
Теперь используем условие $a = \sqrt[4]{5}$, что эквивалентно $a^4=5$. Подставим сюда выражение для $a$:
$\left(\frac{1+y}{1-y}\right)^4 = 5$
$(1+y)^4 = 5(1-y)^4$
$1+4y+6y^2+4y^3+y^4 = 5(1-4y+6y^2-4y^3+y^4)$
$1+4y+6y^2+4y^3+y^4 = 5-20y+30y^2-20y^3+5y^4$
Перенесем все члены в одну сторону:
$4y^4 - 24y^3 + 24y^2 - 24y + 4 = 0$
Разделим обе части на 4:
$y^4 - 6y^3 + 6y^2 - 6y + 1 = 0$
Мы получили тождество, связывающее степени $y$. Докажем, что из этого тождества следует, что $E=1$.
Для того, чтобы $E=1$, должно выполняться равенство $\frac{5-y}{1-5y} \cdot y^4 = 1$, или $(5-y)y^4 = 1-5y$ (при $y \ne 1/5$).
Из полученного нами полиномиального уравнения выразим $y^4$: $y^4 = 6y^3-6y^2+6y-1$.
Подставим это в левую часть доказываемого равенства:
$(5-y)(6y^3-6y^2+6y-1) = 30y^3-30y^2+30y-5 - (6y^4-6y^3+6y^2-y) = -6y^4+36y^3-36y^2+31y-5$.
Мы хотим показать, что это равно $1-5y$.
$-6y^4+36y^3-36y^2+31y-5 = 1-5y$
$-6y^4+36y^3-36y^2+36y-6 = 0$
Разделив на -6, получаем:
$y^4 - 6y^3 + 6y^2 - 6y + 1 = 0$
Это в точности тождество, которое мы вывели из условия $a=\sqrt[4]{5}$. Следовательно, исходное выражение равно 1.
Ответ: 1

б) Упростим выражение $\sqrt{(1+x)^2} + \sqrt{(x-1)^2}$.
Используем свойство $\sqrt{A^2} = |A|$. Выражение принимает вид: $|1+x| + |x-1|$.
Дано условие $|x| < 1$, что означает $-1 < x < 1$.
При таком условии:
1. $1+x > 0$, следовательно, $|1+x| = 1+x$.
2. $x-1 < 0$, следовательно, $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.
Подставляем раскрытые модули в выражение:
$(1+x) + (1-x) = 1+x+1-x = 2$.
Ответ: 2

в) Упростим выражение $\frac{a^2+1}{a\sqrt{\left(\frac{a^2-1}{2a}\right)^2+1}}$ при условии $a < 0$.
Сначала преобразуем подкоренное выражение:
$\left(\frac{a^2-1}{2a}\right)^2+1 = \frac{(a^2-1)^2}{(2a)^2}+1 = \frac{a^4-2a^2+1}{4a^2}+\frac{4a^2}{4a^2} = \frac{a^4+2a^2+1}{4a^2} = \frac{(a^2+1)^2}{(2a)^2} = \left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^2$.
Теперь знаменатель исходной дроби принимает вид:
$a\sqrt{\left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^2} = a\left|\frac{a^2+1}{2a}\right|$.
Проанализируем знак выражения под модулем. Так как $a^2+1$ всегда положительно, а $a<0$ по условию, то $2a$ отрицательно. Значит, вся дробь $\frac{a^2+1}{2a}$ отрицательна.
Следовательно, $\left|\frac{a^2+1}{2a}\right| = -\frac{a^2+1}{2a}$.
Подставляем это в знаменатель:
$a \cdot \left(-\frac{a^2+1}{2a}\right) = -\frac{a(a^2+1)}{2a} = -\frac{a^2+1}{2}$ (так как $a \ne 0$).
Теперь всё выражение равно:
$\frac{a^2+1}{-\frac{a^2+1}{2}} = 1 \cdot \left(-\frac{2}{1}\right) = -2$.
Ответ: -2

г) Упростим выражение $\left\{\frac{\frac{1}{a}-a}{(\sqrt[3]{a}+a^{-\frac{1}{3}}+1)(a^{\frac{1}{3}}+a^{-\frac{1}{3}}-1)} + a^{\frac{1}{3}}\right\}^{-3}$.
Рассмотрим знаменатель дроби внутри скобок. Пусть $b=a^{1/3}$, тогда $a^{-1/3}=b^{-1}$. Знаменатель имеет вид:
$(b+b^{-1}+1)(b+b^{-1}-1)$. Это формула разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, где $x=b+b^{-1}$ и $y=1$.
$(b+b^{-1})^2 - 1^2 = b^2+2\cdot b \cdot b^{-1} + b^{-2} - 1 = b^2+2+b^{-2}-1 = b^2+b^{-2}+1$.
В терминах $a$: $a^{2/3}+a^{-2/3}+1$.
Теперь рассмотрим числитель дроби: $\frac{1}{a}-a = a^{-1}-a$.
Применим формулу разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.
Пусть $x = a^{-1/3}$ и $y = a^{1/3}$. Тогда $x^3 = a^{-1}$ и $y^3=a$.
$a^{-1}-a = (a^{-1/3}-a^{1/3})( (a^{-1/3})^2 + a^{-1/3}a^{1/3} + (a^{1/3})^2 ) = (a^{-1/3}-a^{1/3})(a^{-2/3}+1+a^{2/3})$.
Теперь вся дробь равна:
$\frac{(a^{-1/3}-a^{1/3})(a^{-2/3}+a^{2/3}+1)}{a^{2/3}+a^{-2/3}+1} = a^{-1/3}-a^{1/3}$.
Выражение в фигурных скобках становится:
$\{ (a^{-1/3}-a^{1/3}) + a^{1/3} \} = a^{-1/3}$.
Возводим результат в степень -3:
$(a^{-1/3})^{-3} = a^{(-1/3) \cdot (-3)} = a^1 = a$.
Выражение упрощается до $a$. Теперь вычислим его значение при $a = 1,75$.
$a = 1,75 = \frac{7}{4}$.
Ответ: 1,75