Страница 366 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

28 $\left(1 + 2a^{\frac{2}{3}} - \frac{a + \sqrt[3]{a^2}}{1 + a^{\frac{1}{3}}}\right) : \frac{1 - a\sqrt[3]{a}}{1 - a^{\frac{2}{3}}}.$

Для решения данной задачи упростим заданное выражение по действиям. Сначала преобразуем все иррациональные выражения в степени с дробными показателями для удобства вычислений.

Исходное выражение:

$$ \left( 1 + 2a^{\frac{2}{3}} - \frac{a + \sqrt[3]{a^2}}{1 + a^{\frac{1}{3}}} \right) : \frac{1 - a\sqrt[3]{a}}{1 - a^{\frac{2}{3}}} $$

Преобразуем корни в степени: $ \sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}} $, $ \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}} $, $ a\sqrt[3]{a} = a^1 \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{1+\frac{1}{3}} = a^{\frac{4}{3}} $.

Выражение принимает вид:

$$ \left( 1 + 2a^{\frac{2}{3}} - \frac{a + a^{\frac{2}{3}}}{1 + a^{\frac{1}{3}}} \right) : \frac{1 - a^{\frac{4}{3}}}{1 - a^{\frac{2}{3}}} $$

Теперь решим по действиям.

1. Упрощение выражения в скобках

Рассмотрим выражение в скобках: $ 1 + 2a^{\frac{2}{3}} - \frac{a + a^{\frac{2}{3}}}{1 + a^{\frac{1}{3}}} $.

Сначала упростим дробную часть. Вынесем в числителе дроби общий множитель $ a^{\frac{2}{3}} $ за скобки:

$$ a + a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}} \cdot 1 = a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + 1) $$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь и сократим ее:

$$ \frac{a^{\frac{2}{3}}(1 + a^{\frac{1}{3}})}{1 + a^{\frac{1}{3}}} = a^{\frac{2}{3}} $$

Данное сокращение возможно при условии, что знаменатель $ 1 + a^{\frac{1}{3}} \neq 0 $, то есть $ a \neq -1 $.

Теперь подставим упрощенный результат в выражение в скобках:

$$ 1 + 2a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{2}{3}} = 1 + a^{\frac{2}{3}} $$

2. Упрощение делителя

Рассмотрим делитель: $ \frac{1 - a^{\frac{4}{3}}}{1 - a^{\frac{2}{3}}} $.

Числитель $ 1 - a^{\frac{4}{3}} $ можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $, где $ x=1 $ и $ y=a^{\frac{2}{3}} $, так как $ a^{\frac{4}{3}} = (a^{\frac{2}{3}})^2 $.

$$ 1 - a^{\frac{4}{3}} = 1^2 - (a^{\frac{2}{3}})^2 = (1 - a^{\frac{2}{3}})(1 + a^{\frac{2}{3}}) $$

Подставим разложенный числитель в дробь и выполним сокращение:

$$ \frac{(1 - a^{\frac{2}{3}})(1 + a^{\frac{2}{3}})}{1 - a^{\frac{2}{3}}} = 1 + a^{\frac{2}{3}} $$

Сокращение возможно при условии, что $ 1 - a^{\frac{2}{3}} \neq 0 $, то есть $ a^{\frac{2}{3}} \neq 1 $, что справедливо при $ a \neq 1 $ и $ a \neq -1 $.

3. Выполнение деления

Теперь разделим результат, полученный в первом действии, на результат второго действия:

$$ (1 + a^{\frac{2}{3}}) : (1 + a^{\frac{2}{3}}) $$

Поскольку делимое и делитель равны и не могут быть равны нулю (так как для любого действительного $ a $, $ a^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{a})^2 \ge 0 $, следовательно $ 1 + a^{\frac{2}{3}} \ge 1 $), результат их деления равен 1.

Все преобразования верны при области допустимых значений $ a \neq \pm 1 $.

Ответ: 1

29. а) $( \frac{16}{c} )^{\frac{1}{3}} \cdot ( 0.5c^{-2} )^{\frac{2}{15}} : \sqrt[5]{2c^7};$

б) $( 3d^{\frac{3}{4}} : \sqrt[3]{\frac{1}{d^4}} \cdot 81 \cdot d^{-\frac{3}{2}} )^{-6}.$

а) Упростим выражение по шагам, используя свойства степеней.
Исходное выражение: $(\frac{16}{c})^{\frac{1}{3}} \cdot (0,5c^{-2})^{\frac{2}{15}} : \sqrt[5]{2c^7}$
Сначала представим все числовые коэффициенты и корни в виде степеней.
$16 = 2^4$; $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$; $\sqrt[5]{2c^7} = (2c^7)^{\frac{1}{5}}$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$(\frac{2^4}{c})^{\frac{1}{3}} \cdot (2^{-1}c^{-2})^{\frac{2}{15}} : (2c^7)^{\frac{1}{5}}$
Применим свойство степени частного $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:
$\frac{(2^4)^{\frac{1}{3}}}{c^{\frac{1}{3}}} \cdot (2^{-1})^{\frac{2}{15}}(c^{-2})^{\frac{2}{15}} : (2^{\frac{1}{5}}c^{\frac{7}{5}})$
Теперь применим свойство степени степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$\frac{2^{\frac{4}{3}}}{c^{\frac{1}{3}}} \cdot 2^{-\frac{2}{15}}c^{-\frac{4}{15}} : (2^{\frac{1}{5}}c^{\frac{7}{5}})$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями (2 и $c$). При умножении степеней их показатели складываются, а при делении – вычитаются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$; $a^m : a^n = a^{m-n}$):
$(2^{\frac{4}{3}} \cdot 2^{-\frac{2}{15}} : 2^{\frac{1}{5}}) \cdot (c^{-\frac{1}{3}} \cdot c^{-\frac{4}{15}} : c^{\frac{7}{5}})$
$2^{\frac{4}{3} - \frac{2}{15} - \frac{1}{5}} \cdot c^{-\frac{1}{3} - \frac{4}{15} - \frac{7}{5}}$
Вычислим показатель степени для основания 2, приведя дроби к общему знаменателю 15:
$\frac{4}{3} - \frac{2}{15} - \frac{1}{5} = \frac{4 \cdot 5}{15} - \frac{2}{15} - \frac{1 \cdot 3}{15} = \frac{20 - 2 - 3}{15} = \frac{15}{15} = 1$
Вычислим показатель степени для основания $c$, приведя дроби к общему знаменателю 15:
$-\frac{1}{3} - \frac{4}{15} - \frac{7}{5} = \frac{-1 \cdot 5}{15} - \frac{4}{15} - \frac{7 \cdot 3}{15} = \frac{-5 - 4 - 21}{15} = \frac{-30}{15} = -2$
Таким образом, выражение упрощается до:
$2^1 \cdot c^{-2} = \frac{2}{c^2}$
Ответ: $\frac{2}{c^2}$

б) Упростим данное выражение.
Исходное выражение: $(3d^{\frac{3}{4}} : \sqrt[3]{\frac{1}{d^4}} \cdot 81 \cdot d^{-\frac{3}{2}})^{-6}$
Сначала преобразуем выражение внутри скобок. Представим корень и число 81 в виде степеней:
$\sqrt[3]{\frac{1}{d^4}} = \sqrt[3]{d^{-4}} = (d^{-4})^{\frac{1}{3}} = d^{-\frac{4}{3}}$
$81 = 3^4$
Подставим эти значения в выражение в скобках:
$3d^{\frac{3}{4}} : d^{-\frac{4}{3}} \cdot 3^4 \cdot d^{-\frac{3}{2}}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями 3 и $d$:
$(3^1 \cdot 3^4) \cdot (d^{\frac{3}{4}} : d^{-\frac{4}{3}} \cdot d^{-\frac{3}{2}})$
Упростим каждую группу, используя правила действий со степенями:
Для основания 3: $3^{1+4} = 3^5$
Для основания $d$: $d^{\frac{3}{4} - (-\frac{4}{3}) + (-\frac{3}{2})} = d^{\frac{3}{4} + \frac{4}{3} - \frac{3}{2}}$
Приведем дроби в показателе степени $d$ к общему знаменателю 12:
$\frac{3 \cdot 3}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} - \frac{3 \cdot 6}{12} = \frac{9 + 16 - 18}{12} = \frac{7}{12}$
Таким образом, выражение в скобках равно:
$3^5 d^{\frac{7}{12}}$
Теперь возведем полученное выражение в степень -6:
$(3^5 d^{\frac{7}{12}})^{-6}$
Применим свойство $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(3^5)^{-6} \cdot (d^{\frac{7}{12}})^{-6} = 3^{5 \cdot (-6)} \cdot d^{\frac{7}{12} \cdot (-6)} = 3^{-30} \cdot d^{-\frac{42}{12}} = 3^{-30}d^{-\frac{7}{2}}$
Этот результат можно также записать в виде дроби: $\frac{1}{3^{30}d^{\frac{7}{2}}}$.
Ответ: $3^{-30}d^{-\frac{7}{2}}$

30 a) $\left(\frac{8a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}{4\sqrt{a} + 2\sqrt{b}} - \sqrt{ab}\right) \cdot \left(\frac{4\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}{4a - b}\right)^2;$

б) $\left(\frac{\sqrt{2a} - \sqrt{b}}{\sqrt{2a} + \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{2a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2a} - \sqrt{b}}\right) \cdot \left(\sqrt{\frac{b}{4a}} - \sqrt{\frac{a}{b}}\right);$

в) $\left(\sqrt{\frac{9y}{x}} - \sqrt{\frac{x}{y}}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{x} + \sqrt{3y}}{\sqrt{x} - \sqrt{3y}} - \frac{\sqrt{x} - \sqrt{3y}}{\sqrt{x} + \sqrt{3y}}\right);$

г) $\frac{\sqrt{x} + 1}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x}} : \frac{1}{\sqrt{x} - x^2} + x;$

д) $\frac{0,001 - 64b^3}{0,01 + 0,4b + 16b^2} + 4b.$

а)

Рассмотрим выражение: $ \left( \frac{8a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}{4\sqrt{a} + 2\sqrt{b}} - \sqrt{ab} \right) \cdot \left( \frac{4\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}{4a - b} \right)^2 $.

1. Упростим выражение в первых скобках. Числитель $8a\sqrt{a} + b\sqrt{b}$ является суммой кубов, так как $8a\sqrt{a} = (2\sqrt{a})^3$ и $b\sqrt{b} = (\sqrt{b})^3$. Используем формулу суммы кубов $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$:
$8a\sqrt{a} + b\sqrt{b} = (2\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 = (2\sqrt{a} + \sqrt{b})( (2\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 ) = (2\sqrt{a} + \sqrt{b})(4a - 2\sqrt{ab} + b)$.

Знаменатель первой дроби: $4\sqrt{a} + 2\sqrt{b} = 2(2\sqrt{a} + \sqrt{b})$.
Теперь упростим первую дробь:
$ \frac{8a\sqrt{a} + b\sqrt{b}}{4\sqrt{a} + 2\sqrt{b}} = \frac{(2\sqrt{a} + \sqrt{b})(4a - 2\sqrt{ab} + b)}{2(2\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{4a - 2\sqrt{ab} + b}{2} $.

Вычтем $\sqrt{ab}$ из полученного выражения:
$ \frac{4a - 2\sqrt{ab} + b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{4a - 2\sqrt{ab} + b - 2\sqrt{ab}}{2} = \frac{4a - 4\sqrt{ab} + b}{2} $.

2. Упростим выражение во вторых скобках. Знаменатель $4a-b$ является разностью квадратов: $4a - b = (2\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = (2\sqrt{a}-\sqrt{b})(2\sqrt{a}+\sqrt{b})$.
Дробь во вторых скобках:
$ \frac{4\sqrt{a} + 2\sqrt{b}}{4a - b} = \frac{2(2\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(2\sqrt{a}-\sqrt{b})(2\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{2}{2\sqrt{a}-\sqrt{b}} $.

Возведем в квадрат:
$ \left( \frac{2}{2\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right)^2 = \frac{4}{(2\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = \frac{4}{4a-4\sqrt{ab}+b} $.

3. Перемножим результаты шагов 1 и 2:
$ \left( \frac{4a - 4\sqrt{ab} + b}{2} \right) \cdot \left( \frac{4}{4a-4\sqrt{ab}+b} \right) = \frac{4}{2} = 2 $.

Ответ: $2$

б)

Рассмотрим выражение: $ \left( \frac{\sqrt{2a}-\sqrt{b}}{\sqrt{2a}+\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{2a}+\sqrt{b}}{\sqrt{2a}-\sqrt{b}} \right) \cdot \left( \sqrt{\frac{b}{4a}} - \sqrt{\frac{a}{b}} \right) $.

1. Упростим выражение в первых скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{2a}+\sqrt{b})(\sqrt{2a}-\sqrt{b}) = (2a-b)$:
$ \frac{(\sqrt{2a}-\sqrt{b})^2 - (\sqrt{2a}+\sqrt{b})^2}{2a-b} $.

Используем формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ для числителя:
$ (\sqrt{2a}-\sqrt{b} - (\sqrt{2a}+\sqrt{b}))(\sqrt{2a}-\sqrt{b} + \sqrt{2a}+\sqrt{b}) = (-2\sqrt{b})(2\sqrt{2a}) = -4\sqrt{2ab} $.
Таким образом, выражение в первых скобках равно $ \frac{-4\sqrt{2ab}}{2a-b} $.

2. Упростим выражение во вторых скобках:
$ \sqrt{\frac{b}{4a}} - \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{4a}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}}{2\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $.
Приведем к общему знаменателю $2\sqrt{ab}$:
$ \frac{(\sqrt{b})^2 - 2(\sqrt{a})^2}{2\sqrt{ab}} = \frac{b-2a}{2\sqrt{ab}} = \frac{-(2a-b)}{2\sqrt{ab}} $.

3. Перемножим полученные выражения:
$ \left( \frac{-4\sqrt{2ab}}{2a-b} \right) \cdot \left( \frac{-(2a-b)}{2\sqrt{ab}} \right) = \frac{(-4\sqrt{2ab}) \cdot (-(2a-b))}{(2a-b) \cdot (2\sqrt{ab})} = \frac{4\sqrt{2ab}}{2\sqrt{ab}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} $.

Ответ: $2\sqrt{2}$

в)

Рассмотрим выражение: $ \left( \sqrt{\frac{9y}{x}} - \sqrt{\frac{x}{y}} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{x}+\sqrt{3y}}{\sqrt{x}-\sqrt{3y}} - \frac{\sqrt{x}-\sqrt{3y}}{\sqrt{x}+\sqrt{3y}} \right) $.

1. Упростим выражение в первых скобках:
$ \sqrt{\frac{9y}{x}} - \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{3\sqrt{y}}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} $.
Приведем к общему знаменателю $\sqrt{xy}$:
$ \frac{3(\sqrt{y})^2 - (\sqrt{x})^2}{\sqrt{xy}} = \frac{3y-x}{\sqrt{xy}} $.

2. Упростим выражение во вторых скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{x}-\sqrt{3y})(\sqrt{x}+\sqrt{3y}) = x-3y$:
$ \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{3y})^2 - (\sqrt{x}-\sqrt{3y})^2}{x-3y} $.

Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ для числителя:
$ ((\sqrt{x}+\sqrt{3y}) + (\sqrt{x}-\sqrt{3y})) \cdot ((\sqrt{x}+\sqrt{3y}) - (\sqrt{x}-\sqrt{3y})) = (2\sqrt{x})(2\sqrt{3y}) = 4\sqrt{3xy} $.
Таким образом, выражение во вторых скобках равно $ \frac{4\sqrt{3xy}}{x-3y} $.

3. Перемножим полученные выражения:
$ \left( \frac{3y-x}{\sqrt{xy}} \right) \cdot \left( \frac{4\sqrt{3xy}}{x-3y} \right) = \left( \frac{-(x-3y)}{\sqrt{xy}} \right) \cdot \left( \frac{4\sqrt{3}\sqrt{xy}}{x-3y} \right) $.
Сокращаем $(x-3y)$ и $\sqrt{xy}$:
$ -1 \cdot 4\sqrt{3} = -4\sqrt{3} $.

Ответ: $-4\sqrt{3}$

г)

Рассмотрим выражение: $ \frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}} : \frac{1}{\sqrt{x}-x^2} + x $.

1. Упростим делимое. Вынесем в знаменателе $\sqrt{x}$ за скобки:
$ \frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(x+\sqrt{x}+1)} $.

2. Упростим делитель и выполним деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь $ \frac{\sqrt{x}-x^2}{1} $.
В выражении $\sqrt{x}-x^2$ вынесем $\sqrt{x}$ за скобки:
$ \sqrt{x}-x^2 = \sqrt{x}(1-x\sqrt{x}) = \sqrt{x}(1-(\sqrt{x})^3) $.
Используем формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$ 1-(\sqrt{x})^3 = (1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x}+x) $.
Таким образом, $ \sqrt{x}-x^2 = \sqrt{x}(1-\sqrt{x})(x+\sqrt{x}+1) $.

3. Выполним деление:
$ \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(x+\sqrt{x}+1)} \cdot \frac{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})(x+\sqrt{x}+1)}{1} $.
Сокращаем одинаковые множители $\sqrt{x}$ и $(x+\sqrt{x}+1)$:
$ (\sqrt{x}+1)(1-\sqrt{x}) $.
Это разность квадратов: $(1+\sqrt{x})(1-\sqrt{x}) = 1^2 - (\sqrt{x})^2 = 1-x $.

4. Добавим оставшийся член $+x$:
$ (1-x) + x = 1 $.

Ответ: $1$

д)

Рассмотрим выражение: $ \frac{0,001 - 64b^3}{0,01 + 0,4b + 16b^2} + 4b $.

1. Упростим дробь. Числитель $0,001 - 64b^3$ является разностью кубов, так как $0,001 = (0,1)^3$ и $64b^3 = (4b)^3$.

Используем формулу разности кубов $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$ (0,1)^3 - (4b)^3 = (0,1 - 4b)((0,1)^2 + 0,1 \cdot 4b + (4b)^2) = (0,1 - 4b)(0,01 + 0,4b + 16b^2) $.

2. Подставим разложенный числитель в дробь и сократим:
$ \frac{(0,1 - 4b)(0,01 + 0,4b + 16b^2)}{0,01 + 0,4b + 16b^2} = 0,1 - 4b $.

3. Добавим оставшийся член $+4b$:
$ (0,1 - 4b) + 4b = 0,1 $.

Ответ: $0,1$

31 Упростите выражение и вычислите его значение:

а) $\left(\frac{3+2a}{3-2a}\right)\left(\frac{a-1}{a+1}\right)^4$, если $a = \sqrt[4]{5}$;

б) $\sqrt{(1+x)^2} + \sqrt{(x-1)^2}$, если $|x| < 1$;

в) $\frac{a^2+1}{a\sqrt{\left(\frac{a^2-1}{2a}\right)^2} + 1}$, если $a < 0$;

г) $\left(\frac{\frac{1}{a}-a}{\left(\sqrt[3]{a}+a^{-\frac{1}{3}}+1\right)\left(a^{\frac{1}{3}}+a^{-\frac{1}{3}}-1\right)} + a^{\frac{1}{3}}\right)^{-3}$, если $a = 1,75$.

а) Сначала упростим данное выражение. Обозначим его через $E$.
$E = \left(\frac{3+2a}{3-2a}\right) \left(\frac{a-1}{a+1}\right)^4$
Введем замену: $y = \frac{a-1}{a+1}$. Выразим $a$ через $y$:
$y(a+1) = a-1$
$ya + y = a - 1$
$y + 1 = a(1-y)$
$a = \frac{1+y}{1-y}$
Теперь подставим это выражение для $a$ в первую дробь:
$\frac{3+2a}{3-2a} = \frac{3+2\frac{1+y}{1-y}}{3-2\frac{1+y}{1-y}} = \frac{3(1-y)+2(1+y)}{3(1-y)-2(1+y)} = \frac{3-3y+2+2y}{3-3y-2-2y} = \frac{5-y}{1-5y}$
Таким образом, исходное выражение $E$ можно записать в виде:
$E = \frac{5-y}{1-5y} \cdot y^4$
Теперь используем условие $a = \sqrt[4]{5}$, что эквивалентно $a^4=5$. Подставим сюда выражение для $a$:
$\left(\frac{1+y}{1-y}\right)^4 = 5$
$(1+y)^4 = 5(1-y)^4$
$1+4y+6y^2+4y^3+y^4 = 5(1-4y+6y^2-4y^3+y^4)$
$1+4y+6y^2+4y^3+y^4 = 5-20y+30y^2-20y^3+5y^4$
Перенесем все члены в одну сторону:
$4y^4 - 24y^3 + 24y^2 - 24y + 4 = 0$
Разделим обе части на 4:
$y^4 - 6y^3 + 6y^2 - 6y + 1 = 0$
Мы получили тождество, связывающее степени $y$. Докажем, что из этого тождества следует, что $E=1$.
Для того, чтобы $E=1$, должно выполняться равенство $\frac{5-y}{1-5y} \cdot y^4 = 1$, или $(5-y)y^4 = 1-5y$ (при $y \ne 1/5$).
Из полученного нами полиномиального уравнения выразим $y^4$: $y^4 = 6y^3-6y^2+6y-1$.
Подставим это в левую часть доказываемого равенства:
$(5-y)(6y^3-6y^2+6y-1) = 30y^3-30y^2+30y-5 - (6y^4-6y^3+6y^2-y) = -6y^4+36y^3-36y^2+31y-5$.
Мы хотим показать, что это равно $1-5y$.
$-6y^4+36y^3-36y^2+31y-5 = 1-5y$
$-6y^4+36y^3-36y^2+36y-6 = 0$
Разделив на -6, получаем:
$y^4 - 6y^3 + 6y^2 - 6y + 1 = 0$
Это в точности тождество, которое мы вывели из условия $a=\sqrt[4]{5}$. Следовательно, исходное выражение равно 1.
Ответ: 1

б) Упростим выражение $\sqrt{(1+x)^2} + \sqrt{(x-1)^2}$.
Используем свойство $\sqrt{A^2} = |A|$. Выражение принимает вид: $|1+x| + |x-1|$.
Дано условие $|x| < 1$, что означает $-1 < x < 1$.
При таком условии:
1. $1+x > 0$, следовательно, $|1+x| = 1+x$.
2. $x-1 < 0$, следовательно, $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.
Подставляем раскрытые модули в выражение:
$(1+x) + (1-x) = 1+x+1-x = 2$.
Ответ: 2

в) Упростим выражение $\frac{a^2+1}{a\sqrt{\left(\frac{a^2-1}{2a}\right)^2+1}}$ при условии $a < 0$.
Сначала преобразуем подкоренное выражение:
$\left(\frac{a^2-1}{2a}\right)^2+1 = \frac{(a^2-1)^2}{(2a)^2}+1 = \frac{a^4-2a^2+1}{4a^2}+\frac{4a^2}{4a^2} = \frac{a^4+2a^2+1}{4a^2} = \frac{(a^2+1)^2}{(2a)^2} = \left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^2$.
Теперь знаменатель исходной дроби принимает вид:
$a\sqrt{\left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^2} = a\left|\frac{a^2+1}{2a}\right|$.
Проанализируем знак выражения под модулем. Так как $a^2+1$ всегда положительно, а $a<0$ по условию, то $2a$ отрицательно. Значит, вся дробь $\frac{a^2+1}{2a}$ отрицательна.
Следовательно, $\left|\frac{a^2+1}{2a}\right| = -\frac{a^2+1}{2a}$.
Подставляем это в знаменатель:
$a \cdot \left(-\frac{a^2+1}{2a}\right) = -\frac{a(a^2+1)}{2a} = -\frac{a^2+1}{2}$ (так как $a \ne 0$).
Теперь всё выражение равно:
$\frac{a^2+1}{-\frac{a^2+1}{2}} = 1 \cdot \left(-\frac{2}{1}\right) = -2$.
Ответ: -2

г) Упростим выражение $\left\{\frac{\frac{1}{a}-a}{(\sqrt[3]{a}+a^{-\frac{1}{3}}+1)(a^{\frac{1}{3}}+a^{-\frac{1}{3}}-1)} + a^{\frac{1}{3}}\right\}^{-3}$.
Рассмотрим знаменатель дроби внутри скобок. Пусть $b=a^{1/3}$, тогда $a^{-1/3}=b^{-1}$. Знаменатель имеет вид:
$(b+b^{-1}+1)(b+b^{-1}-1)$. Это формула разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, где $x=b+b^{-1}$ и $y=1$.
$(b+b^{-1})^2 - 1^2 = b^2+2\cdot b \cdot b^{-1} + b^{-2} - 1 = b^2+2+b^{-2}-1 = b^2+b^{-2}+1$.
В терминах $a$: $a^{2/3}+a^{-2/3}+1$.
Теперь рассмотрим числитель дроби: $\frac{1}{a}-a = a^{-1}-a$.
Применим формулу разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.
Пусть $x = a^{-1/3}$ и $y = a^{1/3}$. Тогда $x^3 = a^{-1}$ и $y^3=a$.
$a^{-1}-a = (a^{-1/3}-a^{1/3})( (a^{-1/3})^2 + a^{-1/3}a^{1/3} + (a^{1/3})^2 ) = (a^{-1/3}-a^{1/3})(a^{-2/3}+1+a^{2/3})$.
Теперь вся дробь равна:
$\frac{(a^{-1/3}-a^{1/3})(a^{-2/3}+a^{2/3}+1)}{a^{2/3}+a^{-2/3}+1} = a^{-1/3}-a^{1/3}$.
Выражение в фигурных скобках становится:
$\{ (a^{-1/3}-a^{1/3}) + a^{1/3} \} = a^{-1/3}$.
Возводим результат в степень -3:
$(a^{-1/3})^{-3} = a^{(-1/3) \cdot (-3)} = a^1 = a$.
Выражение упрощается до $a$. Теперь вычислим его значение при $a = 1,75$.
$a = 1,75 = \frac{7}{4}$.
Ответ: 1,75

32 a) $ \frac{7\sqrt{3}\cdot\sqrt{a} - 7\sqrt{5}\cdot\sqrt{b}}{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{a} + 6\sqrt{5}\cdot\sqrt{b}} : \frac{3a - 5b}{9a + 15b + 6\sqrt{15ab}} $;

б) $ \left(\frac{a\sqrt{a} + 27b\sqrt{b}}{3\sqrt{a} + 9\sqrt{b}} - \sqrt{ab}\right) \cdot \left(\frac{3\sqrt{a} + 9\sqrt{b}}{a - 9b}\right)^2 $.

а) Для решения данного примера упростим каждую из дробей и выполним деление.
1. Преобразуем первую дробь $\frac{7\sqrt{3}\cdot\sqrt{a} - 7\sqrt{5}\cdot\sqrt{b}}{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{a} + 6\sqrt{5}\cdot\sqrt{b}}$.
В числителе вынесем за скобки 7, а в знаменателе 6:
$\frac{7(\sqrt{3a} - \sqrt{5b})}{6(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})}$.
2. Преобразуем вторую дробь $\frac{3a - 5b}{9a + 15b + 6\sqrt{15ab}}$.
Числитель $3a - 5b$ является разностью квадратов: $(\sqrt{3a})^2 - (\sqrt{5b})^2 = (\sqrt{3a} - \sqrt{5b})(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})$.
Знаменатель $9a + 15b + 6\sqrt{15ab}$ преобразуем, вынеся за скобки общий множитель 3: $3(3a + 5b + 2\sqrt{15ab})$. Выражение в скобках представляет собой полный квадрат суммы: $3a + 2\sqrt{15ab} + 5b = (\sqrt{3a})^2 + 2\cdot\sqrt{3a}\cdot\sqrt{5b} + (\sqrt{5b})^2 = (\sqrt{3a} + \sqrt{5b})^2$.
Таким образом, вторая дробь равна $\frac{(\sqrt{3a} - \sqrt{5b})(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})}{3(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})^2}$.
3. Выполним деление. Заменим деление на умножение на обратную (перевернутую) дробь:
$\frac{7(\sqrt{3a} - \sqrt{5b})}{6(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})} \cdot \frac{3(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})^2}{(\sqrt{3a} - \sqrt{5b})(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})}$.
4. Сократим полученное выражение.
Сокращаем множители $(\sqrt{3a} - \sqrt{5b})$ и $(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})$:
$\frac{7 \cdot 3 \cdot (\sqrt{3a} + \sqrt{5b})^2}{6 \cdot (\sqrt{3a} + \sqrt{5b}) \cdot (\sqrt{3a} + \sqrt{5b})} = \frac{21(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})^2}{6(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})^2}$.
После сокращения на $(\sqrt{3a} + \sqrt{5b})^2$ получаем:
$\frac{21}{6} = \frac{7}{2}$.
Ответ: $\frac{7}{2}$.

б) Решим выражение по действиям.
Исходное выражение: $\left( \frac{a\sqrt{a} + 27b\sqrt{b}}{3\sqrt{a} + 9\sqrt{b}} - \sqrt{ab} \right) \cdot \left( \frac{3\sqrt{a} + 9\sqrt{b}}{a - 9b} \right)^2$.
1. Упростим выражение в первых скобках.
Числитель первой дроби $a\sqrt{a} + 27b\sqrt{b}$ — это сумма кубов: $(\sqrt{a})^3 + (3\sqrt{b})^3$.
Применяем формулу $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$:
$(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})(a - 3\sqrt{ab} + 9b)$.
Знаменатель $3\sqrt{a} + 9\sqrt{b}$ можно упростить, вынеся 3 за скобки: $3(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})$.
Дробь принимает вид: $\frac{(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})(a - 3\sqrt{ab} + 9b)}{3(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})} = \frac{a - 3\sqrt{ab} + 9b}{3}$.
Теперь выполним вычитание:
$\frac{a - 3\sqrt{ab} + 9b}{3} - \sqrt{ab} = \frac{a - 3\sqrt{ab} + 9b - 3\sqrt{ab}}{3} = \frac{a - 6\sqrt{ab} + 9b}{3}$.
Числитель $a - 6\sqrt{ab} + 9b$ является полным квадратом разности $(\sqrt{a} - 3\sqrt{b})^2$.
Таким образом, результат первого действия: $\frac{(\sqrt{a} - 3\sqrt{b})^2}{3}$.
2. Упростим выражение во вторых скобках и возведем в квадрат.
Дробь: $\frac{3\sqrt{a} + 9\sqrt{b}}{a - 9b}$.
Числитель: $3(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})$.
Знаменатель $a - 9b$ — это разность квадратов: $(\sqrt{a})^2 - (3\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - 3\sqrt{b})(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})$.
Дробь равна: $\frac{3(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})}{(\sqrt{a} - 3\sqrt{b})(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})} = \frac{3}{\sqrt{a} - 3\sqrt{b}}$.
Возводим в квадрат: $\left(\frac{3}{\sqrt{a} - 3\sqrt{b}}\right)^2 = \frac{9}{(\sqrt{a} - 3\sqrt{b})^2}$.
3. Перемножим результаты двух действий:
$\frac{(\sqrt{a} - 3\sqrt{b})^2}{3} \cdot \frac{9}{(\sqrt{a} - 3\sqrt{b})^2}$.
Сокращаем общий множитель $(\sqrt{a} - 3\sqrt{b})^2$:
$\frac{9}{3} = 3$.
Ответ: 3.

Линейные и квадратные уравнения

33 Решите уравнение:

a) $Ax + B = \frac{21}{40} + \frac{17}{24} + \frac{13}{15}$, если $A = \frac{1}{3}$, $B = -0,9$.

б) $Ax + B = \frac{5}{9} + 0,9 + \frac{38}{45}$, если $A = 10$, $B = -0,2$.

а)

Дано уравнение $Ax + B = \frac{21}{40} + \frac{17}{24} + \frac{13}{15}$ с параметрами $A = \frac{1}{3}$ и $B = -0,9$.

Подставим значения A и B в уравнение:

$\frac{1}{3}x + (-0,9) = \frac{21}{40} + \frac{17}{24} + \frac{13}{15}$

$\frac{1}{3}x - 0,9 = \frac{21}{40} + \frac{17}{24} + \frac{13}{15}$

Сначала вычислим сумму дробей в правой части уравнения. Для этого найдем наименьший общий знаменатель (НОК) для чисел 40, 24 и 15.

Разложим знаменатели на простые множители:

$40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$

$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

$15 = 3 \cdot 5$

НОК(40, 24, 15) = $2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120$.

Приведем дроби к общему знаменателю 120:

$\frac{21}{40} + \frac{17}{24} + \frac{13}{15} = \frac{21 \cdot 3}{120} + \frac{17 \cdot 5}{120} + \frac{13 \cdot 8}{120} = \frac{63}{120} + \frac{85}{120} + \frac{104}{120}$

Сложим числители:

$\frac{63 + 85 + 104}{120} = \frac{148 + 104}{120} = \frac{252}{120}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 12:

$\frac{252}{120} = \frac{21}{10} = 2,1$

Теперь уравнение принимает вид:

$\frac{1}{3}x - 0,9 = 2,1$

Перенесем $-0,9$ в правую часть, изменив знак:

$\frac{1}{3}x = 2,1 + 0,9$

$\frac{1}{3}x = 3$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3:

$x = 3 \cdot 3 = 9$

Ответ: $x=9$.

б)

Дано уравнение $Ax + B = \frac{5}{9} + 0,9 + \frac{38}{45}$ с параметрами $A = 10$ и $B = -0,2$.

Подставим значения A и B в уравнение:

$10x + (-0,2) = \frac{5}{9} + 0,9 + \frac{38}{45}$

$10x - 0,2 = \frac{5}{9} + 0,9 + \frac{38}{45}$

Сначала вычислим сумму в правой части. Для этого представим десятичную дробь 0,9 в виде обыкновенной дроби $\frac{9}{10}$ и найдем общий знаменатель для дробей $\frac{5}{9}$, $\frac{9}{10}$ и $\frac{38}{45}$.

Разложим знаменатели на простые множители:

$9 = 3^2$

$10 = 2 \cdot 5$

$45 = 3^2 \cdot 5$

НОК(9, 10, 45) = $2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$.

Приведем дроби к общему знаменателю 90:

$\frac{5}{9} + \frac{9}{10} + \frac{38}{45} = \frac{5 \cdot 10}{90} + \frac{9 \cdot 9}{90} + \frac{38 \cdot 2}{90} = \frac{50}{90} + \frac{81}{90} + \frac{76}{90}$

Сложим числители:

$\frac{50 + 81 + 76}{90} = \frac{131 + 76}{90} = \frac{207}{90}$

Сократим полученную дробь. Так как сумма цифр числителя ($2+0+7=9$) и знаменателя ($9+0=9$) делится на 9, дробь можно сократить на 9:

$\frac{207 \div 9}{90 \div 9} = \frac{23}{10} = 2,3$

Теперь уравнение принимает вид:

$10x - 0,2 = 2,3$

Перенесем $-0,2$ в правую часть, изменив знак:

$10x = 2,3 + 0,2$

$10x = 2,5$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 10:

$x = \frac{2,5}{10} = 0,25$

Ответ: $x=0,25$.