Страница 365 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

20 а) $\frac{a^4 + a^2b^2 + b^4}{(a^2 + b^2 + ab)(a^2 + b^2 - ab)};$

б) $\left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right) : \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} - \frac{2}{ab}\right) - \frac{2b}{b - a};$

В) $\frac{a^6 - b^6}{(a^2 + b^2 + ab)(a^2 + b^2 - ab)} - (a^2 - b^2);$

Г) $\left(\frac{9}{m^2 - 3m + 9} + \frac{2m}{3 + m} - \frac{m^3 - 15m^2}{m^3 + 27}\right)\left(m + 3 - \frac{9m}{m + 3}\right) \cdot \frac{1}{m + 3};$

Д) $\left(\frac{9}{n^2 + 3n + 9} - \frac{2n}{3 - n} - \frac{n^3 + 15n^2}{n^3 - 27}\right)\left(n - 3 + \frac{9n}{n - 3}\right) \cdot \frac{1}{n - 3}.$

Упростим выражение $ \frac{a^4 + a^2b^2 + b^4}{(a^2 + b^2 + ab)(a^2 + b^2 - ab)} $.

Сначала разложим на множители числитель $ a^4 + a^2b^2 + b^4 $. Для этого добавим и вычтем $ a^2b^2 $, чтобы выделить полный квадрат:

$ a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - a^2b^2 = (a^2 + b^2)^2 - (ab)^2 $.

Теперь применим формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $:

$ (a^2 + b^2)^2 - (ab)^2 = (a^2 + b^2 - ab)(a^2 + b^2 + ab) $.

Знаменатель дроби уже представлен в виде произведения $ (a^2 + b^2 + ab)(a^2 + b^2 - ab) $.

Подставим разложенный числитель в исходное выражение:

$ \frac{(a^2 + b^2 - ab)(a^2 + b^2 + ab)}{(a^2 + b^2 + ab)(a^2 + b^2 - ab)} $.

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (при условии, что они не равны нулю).

В результате получаем 1.

Ответ: 1

Упростим выражение $ \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right) : \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} - \frac{2}{ab}\right) - \frac{2b}{b - a} $.

Выполним действия по шагам.

1. Упростим выражение в первых скобках:

$ \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} = \frac{b^2 - a^2}{a^2b^2} = \frac{(b-a)(b+a)}{a^2b^2} $.

2. Упростим выражение во вторых скобках:

$ \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} - \frac{2}{ab} = \frac{b^2 + a^2 - 2ab}{a^2b^2} = \frac{(a-b)^2}{a^2b^2} = \frac{(b-a)^2}{a^2b^2} $.

3. Выполним деление:

$ \frac{(b-a)(b+a)}{a^2b^2} : \frac{(b-a)^2}{a^2b^2} = \frac{(b-a)(b+a)}{a^2b^2} \cdot \frac{a^2b^2}{(b-a)^2} = \frac{b+a}{b-a} $.

4. Выполним вычитание:

$ \frac{b+a}{b-a} - \frac{2b}{b-a} = \frac{b+a-2b}{b-a} = \frac{a-b}{b-a} = \frac{-(b-a)}{b-a} = -1 $.

Ответ: -1

Упростим выражение $ \frac{a^6 - b^6}{(a^2 + b^2 + ab)(a^2 + b^2 - ab)} - (a^2 - b^2) $.

1. Разложим на множители числитель $ a^6 - b^6 $. Представим его как разность кубов $ (a^2)^3 - (b^2)^3 $:

$ a^6 - b^6 = (a^2)^3 - (b^2)^3 = (a^2-b^2)((a^2)^2 + a^2b^2 + (b^2)^2) = (a^2-b^2)(a^4 + a^2b^2 + b^4) $.

2. Упростим знаменатель. Как мы видели в задании а), произведение $ (a^2 + b^2 + ab)(a^2 + b^2 - ab) $ равно $ a^4 + a^2b^2 + b^4 $.

3. Подставим полученные выражения в дробь:

$ \frac{(a^2-b^2)(a^4 + a^2b^2 + b^4)}{a^4 + a^2b^2 + b^4} $.

Сократив дробь, получим $ a^2 - b^2 $.

4. Выполним вычитание:

$ (a^2 - b^2) - (a^2 - b^2) = 0 $.

Ответ: 0

Упростим выражение $ \left(\frac{9}{m^2 - 3m + 9} + \frac{2m}{3 + m} - \frac{m^3 - 15m^2}{m^3 + 27}\right) \left(m + 3 - \frac{9m}{m+3}\right) \cdot \frac{1}{m+3} $.

1. Упростим выражение в первых больших скобках. Заметим, что $ m^3 + 27 = m^3 + 3^3 = (m+3)(m^2 - 3m + 9) $. Это общий знаменатель.

$ \frac{9(m+3)}{(m+3)(m^2-3m+9)} + \frac{2m(m^2-3m+9)}{(m+3)(m^2-3m+9)} - \frac{m^3 - 15m^2}{(m+3)(m^2-3m+9)} $

$ = \frac{9m+27 + 2m^3-6m^2+18m - (m^3-15m^2)}{m^3+27} $

$ = \frac{9m+27 + 2m^3-6m^2+18m - m^3+15m^2}{m^3+27} $

$ = \frac{m^3 + 9m^2 + 27m + 27}{m^3+27} $.

Числитель является кубом суммы: $ m^3 + 9m^2 + 27m + 27 = (m+3)^3 $.

Тогда выражение в первых скобках равно $ \frac{(m+3)^3}{m^3+27} = \frac{(m+3)^3}{(m+3)(m^2-3m+9)} = \frac{(m+3)^2}{m^2-3m+9} $.

2. Упростим выражение во вторых скобках:

$ m + 3 - \frac{9m}{m+3} = \frac{(m+3)(m+3) - 9m}{m+3} = \frac{m^2+6m+9 - 9m}{m+3} = \frac{m^2-3m+9}{m+3} $.

3. Перемножим все три части:

$ \left(\frac{(m+3)^2}{m^2-3m+9}\right) \cdot \left(\frac{m^2-3m+9}{m+3}\right) \cdot \frac{1}{m+3} $.

Сокращаем множители:

$ \frac{(m+3)^2 \cdot (m^2-3m+9)}{(m^2-3m+9) \cdot (m+3) \cdot (m+3)} = \frac{(m+3)^2(m^2-3m+9)}{(m+3)^2(m^2-3m+9)} = 1 $.

Ответ: 1

Упростим выражение $ \left(\frac{9}{n^2 + 3n + 9} - \frac{2n}{3 - n} - \frac{n^3 + 15n^2}{n^3 - 27}\right) \left(n - 3 + \frac{9n}{n-3}\right) \cdot \frac{1}{n-3} $.

1. Упростим выражение в первых больших скобках. Изменим знак во второй дроби: $ - \frac{2n}{3 - n} = + \frac{2n}{n-3} $. Заметим, что $ n^3 - 27 = n^3 - 3^3 = (n-3)(n^2 + 3n + 9) $. Это общий знаменатель.

$ \frac{9}{n^2 + 3n + 9} + \frac{2n}{n-3} - \frac{n^3 + 15n^2}{n^3 - 27} $

$ = \frac{9(n-3)}{(n-3)(n^2+3n+9)} + \frac{2n(n^2+3n+9)}{(n-3)(n^2+3n+9)} - \frac{n^3 + 15n^2}{(n-3)(n^2+3n+9)} $

$ = \frac{9n-27 + 2n^3+6n^2+18n - (n^3+15n^2)}{n^3-27} $

$ = \frac{9n-27 + 2n^3+6n^2+18n - n^3-15n^2}{n^3-27} $

$ = \frac{n^3 - 9n^2 + 27n - 27}{n^3-27} $.

Числитель является кубом разности: $ n^3 - 9n^2 + 27n - 27 = (n-3)^3 $.

Тогда выражение в первых скобках равно $ \frac{(n-3)^3}{n^3-27} = \frac{(n-3)^3}{(n-3)(n^2+3n+9)} = \frac{(n-3)^2}{n^2+3n+9} $.

2. Упростим выражение во вторых скобках:

$ n - 3 + \frac{9n}{n-3} = \frac{(n-3)(n-3) + 9n}{n-3} = \frac{n^2-6n+9+9n}{n-3} = \frac{n^2+3n+9}{n-3} $.

3. Перемножим все три части:

$ \left(\frac{(n-3)^2}{n^2+3n+9}\right) \cdot \left(\frac{n^2+3n+9}{n-3}\right) \cdot \frac{1}{n-3} $.

Сокращаем множители:

$ \frac{(n-3)^2 \cdot (n^2+3n+9)}{(n^2+3n+9) \cdot (n-3) \cdot (n-3)} = \frac{(n-3)^2(n^2+3n+9)}{(n-3)^2(n^2+3n+9)} = 1 $.

Ответ: 1

21 $\frac{x+1}{x^3+x^2+x} : \frac{1}{x^4-x} - x^2.$

Для упрощения данного выражения необходимо выполнить действия в соответствии с их приоритетом: сначала деление, а затем вычитание.

1. Выполним деление дробей.

Деление $ \frac{x+1}{x^3 + x^2 + x} : \frac{1}{x^4 - x} $ заменяется умножением на обратную дробь:$$ \frac{x+1}{x^3 + x^2 + x} \cdot \frac{x^4 - x}{1} $$

Чтобы упростить это выражение, разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй.

Знаменатель первой дроби:
$ x^3 + x^2 + x = x(x^2 + x + 1) $

Числитель второй дроби:
$ x^4 - x = x(x^3 - 1) $
Используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, получаем:
$ x(x^3 - 1) = x(x-1)(x^2+x+1) $

Теперь подставим разложенные многочлены обратно в выражение:$$ \frac{x+1}{x(x^2 + x + 1)} \cdot \frac{x(x-1)(x^2+x+1)}{1} $$

Сократим общие множители $x$ и $(x^2+x+1)$ в числителе и знаменателе:$$ \frac{x+1}{\cancel{x}(\cancel{x^2 + x + 1})} \cdot \frac{\cancel{x}(x-1)(\cancel{x^2+x+1})}{1} = (x+1)(x-1) $$

Полученное произведение является формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:$$ (x+1)(x-1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1 $$

2. Выполним вычитание.

Подставим результат первого действия в исходное выражение:$$ (x^2 - 1) - x^2 $$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:$$ x^2 - 1 - x^2 = -1 $$

При решении необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ), при которых исходное выражение имеет смысл. Знаменатели дробей не должны равняться нулю.
1) $ x^3 + x^2 + x \neq 0 \implies x(x^2 + x + 1) \neq 0 $. Так как дискриминант квадратного трехчлена $x^2 + x + 1$ отрицателен ($D=1-4=-3$), он не имеет действительных корней и всегда положителен. Следовательно, $x \neq 0$.
2) $ x^4 - x \neq 0 \implies x(x^3 - 1) \neq 0 \implies x(x-1)(x^2+x+1) \neq 0 $. Отсюда получаем, что $x \neq 0$ и $x \neq 1$.
Таким образом, выражение упрощается до $-1$ при всех $x$, кроме $x=0$ и $x=1$.

Ответ: $-1$

22 $\frac{x^3 - y^3}{(3x + y)^2 - 8x^2 - 5xy} + \frac{(x + y^2)(x^2 + y) - xy(xy + 1)}{x^2 - xy + y^2}.$

Чтобы упростить данное выражение, мы будем работать с каждой дробью по отдельности, а затем сложим полученные результаты.

Рассмотрим первую дробь: $$ \frac{x^3 - y^3}{(3x + y)^2 - 8x^2 - 5xy} $$

Сначала упростим знаменатель. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы и приведем подобные слагаемые:

$$ (3x + y)^2 - 8x^2 - 5xy = (9x^2 + 6xy + y^2) - 8x^2 - 5xy = (9x^2 - 8x^2) + (6xy - 5xy) + y^2 = x^2 + xy + y^2 $$

Теперь воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ для числителя:

$$ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) $$

Подставим упрощенные выражения обратно в первую дробь и сократим ее:

$$ \frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{x^2 + xy + y^2} = x - y $$

Теперь рассмотрим вторую дробь:

$$ \frac{(x + y^2)(x^2 + y) - xy(xy + 1)}{x^2 - xy + y^2} $$

Упростим числитель. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$ (x + y^2)(x^2 + y) - xy(xy + 1) = (x^3 + xy + x^2y^2 + y^3) - (x^2y^2 + xy) = x^3 + xy + x^2y^2 + y^3 - x^2y^2 - xy = x^3 + y^3 $$

Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ для полученного числителя:

$$ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) $$

Подставим упрощенный числитель обратно во вторую дробь и сократим ее:

$$ \frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{x^2 - xy + y^2} = x + y $$

Наконец, сложим результаты упрощения обеих дробей:

$$ (x - y) + (x + y) = x - y + x + y = 2x $$

Ответ: $2x$

$23 \left(\frac{2}{2a-b} + \frac{6b}{b^2-4a^2} - \frac{4}{2a+b}\right) : \left(1 + \frac{4a^2+b^2}{4a^2-b^2}\right)$

Для решения данного примера выполним его по действиям.

1. Упрощение выражения в первых скобках

Рассмотрим выражение $ \left(\frac{2}{2a - b} + \frac{6b}{b^2 - 4a^2} - \frac{4}{2a + b}\right) $.
Для приведения дробей к общему знаменателю, разложим знаменатель второй дроби $ b^2 - 4a^2 $ на множители по формуле разности квадратов: $ b^2 - 4a^2 = (b-2a)(b+2a) $.
Так как $ b-2a = -(2a-b) $, то знаменатель можно переписать в виде $ -(2a-b)(2a+b) $. Это позволяет изменить знак перед второй дробью:
$ \frac{2}{2a - b} - \frac{6b}{(2a - b)(2a + b)} - \frac{4}{2a + b} $
Теперь приведем все дроби к общему знаменателю $ (2a - b)(2a + b) = 4a^2 - b^2 $:
$ \frac{2(2a+b)}{(2a-b)(2a+b)} - \frac{6b}{(2a-b)(2a+b)} - \frac{4(2a-b)}{(2a-b)(2a+b)} $
Запишем все под общим знаменателем и раскроем скобки в числителе:
$ \frac{2(2a+b) - 6b - 4(2a-b)}{4a^2-b^2} = \frac{4a+2b-6b-8a+4b}{4a^2-b^2} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{(4a-8a) + (2b-6b+4b)}{4a^2-b^2} = \frac{-4a}{4a^2-b^2} $.

2. Упрощение выражения во вторых скобках

Рассмотрим выражение $ \left(1 + \frac{4a^2 + b^2}{4a^2 - b^2}\right) $.
Приведем 1 к общему знаменателю $ 4a^2 - b^2 $ и выполним сложение:
$ \frac{4a^2-b^2}{4a^2-b^2} + \frac{4a^2+b^2}{4a^2-b^2} = \frac{4a^2-b^2+4a^2+b^2}{4a^2-b^2} = \frac{8a^2}{4a^2-b^2} $.

3. Выполнение деления

Теперь разделим результат первого действия на результат второго:
$ \left(\frac{-4a}{4a^2 - b^2}\right) : \left(\frac{8a^2}{4a^2 - b^2}\right) $
Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:
$ \frac{-4a}{4a^2 - b^2} \cdot \frac{4a^2 - b^2}{8a^2} $
Сократим общий множитель $ (4a^2 - b^2) $ в числителе и знаменателе:
$ \frac{-4a}{8a^2} $
Сократим оставшуюся дробь на $ 4a $:
$ -\frac{1}{2a} $.

Ответ: $ -\frac{1}{2a} $

$24 \left( \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{5x^2 + x + 3} \right) \cdot \left( \frac{25x^3 + 12}{10x^2 + 30x} + 1 \right) \times \left( \frac{1}{x - 3} + \frac{1}{5x^2 + x + 3} \right)^{-1} : \frac{(6 + 5x^2)^2}{5x^4 - 45x^2}.$

Для решения данного выражения, упростим его по частям, выполняя действия в скобках и последующее умножение и деление.

1. Упростим выражение в первой скобке

Выполним вычитание дробей $ \frac{1}{x-3} - \frac{1}{5x^2+x+3} $. Для этого приведем их к общему знаменателю $ (x-3)(5x^2+x+3) $.

$ \frac{1 \cdot (5x^2+x+3) - 1 \cdot (x-3)}{(x-3)(5x^2+x+3)} = \frac{5x^2+x+3-x+3}{(x-3)(5x^2+x+3)} = \frac{5x^2+6}{(x-3)(5x^2+x+3)} $

2. Упростим выражение во второй скобке

Выполним сложение $ \frac{25x^3+12}{10x^2+30x} + 1 $. Сначала разложим на множители знаменатель дроби $ 10x^2+30x = 10x(x+3) $. Затем приведем к общему знаменателю.

$ \frac{25x^3+12}{10x(x+3)} + \frac{10x(x+3)}{10x(x+3)} = \frac{25x^3+12+10x^2+30x}{10x(x+3)} $

Сгруппируем и разложим на множители числитель:

$ 25x^3+10x^2+30x+12 = (25x^3+10x^2) + (30x+12) = 5x^2(5x+2) + 6(5x+2) = (5x^2+6)(5x+2) $

Таким образом, вторая скобка равна:

$ \frac{(5x^2+6)(5x+2)}{10x(x+3)} $

3. Упростим выражение в третьей скобке со степенью -1

Рассмотрим выражение $ \left(\frac{1}{x-3} + \frac{1}{5x^2+x+3}\right)^{-1} $. Сначала выполним сложение в скобках, приведя к общему знаменателю:

$ \frac{1 \cdot (5x^2+x+3) + 1 \cdot (x-3)}{(x-3)(5x^2+x+3)} = \frac{5x^2+x+3+x-3}{(x-3)(5x^2+x+3)} = \frac{5x^2+2x}{(x-3)(5x^2+x+3)} = \frac{x(5x+2)}{(x-3)(5x^2+x+3)} $

Теперь возведем полученную дробь в степень -1, что равносильно ее переворачиванию:

$ \frac{(x-3)(5x^2+x+3)}{x(5x+2)} $

4. Упростим делитель

Рассмотрим дробь $ \frac{(6+5x^2)^2}{5x^4-45x^2} $. Разложим знаменатель на множители:

$ 5x^4-45x^2 = 5x^2(x^2-9) = 5x^2(x-3)(x+3) $

Делитель принимает вид:

$ \frac{(5x^2+6)^2}{5x^2(x-3)(x+3)} $

5. Объединим все части и выполним умножение и деление

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$ \frac{5x^2+6}{(x-3)(5x^2+x+3)} \cdot \frac{(5x^2+6)(5x+2)}{10x(x+3)} \cdot \frac{(x-3)(5x^2+x+3)}{x(5x+2)} : \frac{(5x^2+6)^2}{5x^2(x-3)(x+3)} $

Выполним умножение первых трех дробей. Множитель $ (x-3)(5x^2+x+3) $ в знаменателе первой дроби и в числителе третьей дроби сокращаются. Множитель $ (5x+2) $ в числителе второй дроби и в знаменателе третьей дроби также сокращаются. В результате умножения получаем:

$ \frac{(5x^2+6) \cdot (5x^2+6)}{10x(x+3) \cdot x} = \frac{(5x^2+6)^2}{10x^2(x+3)} $

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$ \frac{(5x^2+6)^2}{10x^2(x+3)} \cdot \frac{5x^2(x-3)(x+3)}{(5x^2+6)^2} $

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: $ (5x^2+6)^2 $, $ x^2 $ и $ (x+3) $. Остается:

$ \frac{5(x-3)}{10} $

Сокращаем полученную дробь на 5:

$ \frac{x-3}{2} $

Ответ: $ \frac{x-3}{2} $

25 Сократите дробь:

а) $ \frac{7x - 2x^2 - 3}{2x^2 - x}; $

б) $ \frac{2 + x - 3x^2}{9x^2 - 4}; $

в) $ \frac{5x^2 + 4x - 1}{5x^2 - 6x + 1}; $

г) $ \frac{x^3 + 4x^2 - 9x - 36}{x^2 + x - 12}. $

а) $\frac{7x - 2x^2 - 3}{2x^2 - x}$

Для сокращения дроби необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $7x - 2x^2 - 3$. Сначала запишем его в стандартном виде: $-2x^2 + 7x - 3$. Для нахождения корней решим квадратное уравнение $-2x^2 + 7x - 3 = 0$. Умножим обе части на -1, чтобы получить $2x^2 - 7x + 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Теперь разложим многочлен на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$-2x^2 + 7x - 3 = -2(x-3)(x-\frac{1}{2}) = -(x-3)(2(x-\frac{1}{2})) = -(x-3)(2x-1) = (3-x)(2x-1)$.

2. Разложим на множители знаменатель $2x^2 - x$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$2x^2 - x = x(2x - 1)$.

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим:
$\frac{7x - 2x^2 - 3}{2x^2 - x} = \frac{(3-x)(2x-1)}{x(2x-1)}$
Сокращаем на общий множитель $(2x-1)$ (при условии $x \neq \frac{1}{2}$):
$\frac{3-x}{x}$

Ответ: $\frac{3-x}{x}$

б) $\frac{2 + x - 3x^2}{9x^2 - 4}$

1. Разложим на множители числитель $2 + x - 3x^2$. Запишем в стандартном виде: $-3x^2 + x + 2$. Решим уравнение $-3x^2 + x + 2 = 0$. Умножим на -1: $3x^2 - x - 2 = 0$.
Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
$x_2 = \frac{1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$
Разложим многочлен на множители:
$-3x^2 + x + 2 = -3(x-1)(x+\frac{2}{3}) = -(x-1)(3(x+\frac{2}{3})) = -(x-1)(3x+2) = (1-x)(3x+2)$.

2. Разложим на множители знаменатель $9x^2 - 4$. Это разность квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$9x^2 - 4 = (3x)^2 - 2^2 = (3x-2)(3x+2)$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь и сократим:
$\frac{2 + x - 3x^2}{9x^2 - 4} = \frac{(1-x)(3x+2)}{(3x-2)(3x+2)}$
Сокращаем на общий множитель $(3x+2)$ (при условии $x \neq -\frac{2}{3}$):
$\frac{1-x}{3x-2}$

Ответ: $\frac{1-x}{3x-2}$

в) $\frac{5x^2 + 4x - 1}{5x^2 - 6x + 1}$

1. Разложим на множители числитель $5x^2 + 4x - 1$. Решим уравнение $5x^2 + 4x - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-4 + 6}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$x_2 = \frac{-4 - 6}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$
Разложение на множители: $5(x-\frac{1}{5})(x+1) = (5x-1)(x+1)$.

2. Разложим на множители знаменатель $5x^2 - 6x + 1$. Решим уравнение $5x^2 - 6x + 1 = 0$.
Дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{6 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$
$x_2 = \frac{6 - 4}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Разложение на множители: $5(x-1)(x-\frac{1}{5}) = (x-1)(5x-1)$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь и сократим:
$\frac{5x^2 + 4x - 1}{5x^2 - 6x + 1} = \frac{(5x-1)(x+1)}{(x-1)(5x-1)}$
Сокращаем на общий множитель $(5x-1)$ (при условии $x \neq \frac{1}{5}$):
$\frac{x+1}{x-1}$

Ответ: $\frac{x+1}{x-1}$

г) $\frac{x^3 + 4x^2 - 9x - 36}{x^2 + x - 12}$

1. Разложим на множители числитель $x^3 + 4x^2 - 9x - 36$. Применим метод группировки:
$(x^3 + 4x^2) - (9x + 36) = x^2(x+4) - 9(x+4) = (x^2-9)(x+4)$.
Выражение $x^2-9$ является разностью квадратов: $(x-3)(x+3)$.
Таким образом, числитель равен $(x-3)(x+3)(x+4)$.

2. Разложим на множители знаменатель $x^2 + x - 12$. Решим уравнение $x^2 + x - 12 = 0$.
По теореме Виета, ищем два числа, произведение которых равно -12, а сумма -1. Это числа -4 и 3.
Корни уравнения: $x_1 = -4$, $x_2 = 3$.
Разложение на множители: $(x - (-4))(x - 3) = (x+4)(x-3)$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь и сократим:
$\frac{x^3 + 4x^2 - 9x - 36}{x^2 + x - 12} = \frac{(x-3)(x+3)(x+4)}{(x+4)(x-3)}$
Сокращаем на общие множители $(x+4)$ и $(x-3)$ (при условии $x \neq -4$ и $x \neq 3$):
$x+3$

Ответ: $x+3$

Упростите выражение (26–30):

26 а) $\frac{3a^2 + 12a + 13}{3a + 6} - a - \frac{1}{3(a+2)};$

б) $\frac{4x^2 - 5x + 1}{4x - 1} - \frac{x^2 - 1}{1 - x};$

в) $\frac{9a^2 - 4}{2 - 3a} - \frac{6a^2 - 5a - 6}{3 - 2a};$

г) $\left(\frac{x^3 - x}{x^2 - 1} - 2x + 1\right) : \left(\frac{1+x}{1-x^2}\right)^{-1};$

д) $\left(\left(\frac{3a}{a^3 - b^3} \cdot \frac{a^2 + b^2 + ab}{a + b}\right) - \frac{3}{b - a}\right) : \frac{2a + b}{a^2 + 2ab + b^2} \cdot \frac{3}{a + b}.$

а) $ \frac{3a^2 + 12a + 13}{3a + 6} - a - \frac{1}{3(a + 2)} $
Для начала приведем все слагаемые к общему знаменателю. Знаменатель первой дроби $3a + 6$ можно представить как $3(a + 2)$. Таким образом, общий знаменатель для всего выражения — это $3(a+2)$.
$ \frac{3a^2 + 12a + 13}{3(a + 2)} - \frac{a \cdot 3(a + 2)}{3(a + 2)} - \frac{1}{3(a + 2)} $
Теперь объединим все под одной дробной чертой:
$ \frac{(3a^2 + 12a + 13) - 3a(a + 2) - 1}{3(a + 2)} $
Раскроем скобки в числителе и упростим его:
$ \frac{3a^2 + 12a + 13 - 3a^2 - 6a - 1}{3(a + 2)} = \frac{(3a^2 - 3a^2) + (12a - 6a) + (13 - 1)}{3(a + 2)} = \frac{6a + 12}{3(a + 2)} $
Вынесем общий множитель 6 в числителе:
$ \frac{6(a + 2)}{3(a + 2)} $
Сократим общие множители $(a + 2)$ и разделим 6 на 3:
$ \frac{6}{3} = 2 $
Ответ: 2

б) $ \frac{4x^2 - 5x + 1}{4x - 1} - \frac{x^2 - 1}{1 - x} $
Изменим знак в знаменателе второй дроби, поменяв при этом знак перед самой дробью:
$ \frac{4x^2 - 5x + 1}{4x - 1} - \frac{x^2 - 1}{-(x - 1)} = \frac{4x^2 - 5x + 1}{4x - 1} + \frac{x^2 - 1}{x - 1} $
Разложим числители на множители. Числитель первой дроби $4x^2 - 5x + 1$ можно разложить как $(4x-1)(x-1)$. Числитель второй дроби $x^2 - 1$ является разностью квадратов и раскладывается как $(x-1)(x+1)$.
$ \frac{(4x-1)(x-1)}{4x - 1} + \frac{(x-1)(x+1)}{x - 1} $
Сократим дроби, убрав одинаковые множители в числителе и знаменателе каждой дроби:
$ (x - 1) + (x + 1) $
Теперь сложим оставшиеся выражения:
$ x - 1 + x + 1 = 2x $
Ответ: $2x$

в) $ \frac{9a^2 - 4}{2 - 3a} - \frac{6a^2 - 5a - 6}{3 - 2a} $
Разложим числители на множители. $9a^2 - 4 = (3a-2)(3a+2)$. Для $6a^2 - 5a - 6$ найдем корни квадратного уравнения: $a_1=3/2, a_2=-2/3$, поэтому $6a^2 - 5a - 6 = 6(a-3/2)(a+2/3) = (2a-3)(3a+2)$.
Подставим разложения в исходное выражение:
$ \frac{(3a-2)(3a+2)}{2 - 3a} - \frac{(2a-3)(3a+2)}{3 - 2a} $
Заметим, что $2-3a = -(3a-2)$ и $3-2a = -(2a-3)$. Вынесем минус из знаменателей:
$ \frac{(3a-2)(3a+2)}{-(3a - 2)} - \frac{(2a-3)(3a+2)}{-(2a - 3)} $
Сократим дроби:
$ -(3a+2) - (-(3a+2)) = -(3a+2) + (3a+2) $
Раскроем скобки:
$ -3a - 2 + 3a + 2 = 0 $
Ответ: 0

г) $ \left( \frac{x^3 - x}{x^2 - 1} - 2x + 1 \right) : \left( \frac{1+x}{1-x^2} \right)^{-1} $
Сначала упростим выражение в первых скобках. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители: $\frac{x^3-x}{x^2-1} = \frac{x(x^2-1)}{x^2-1} = x$.
Теперь выражение в первых скобках имеет вид:
$ (x - 2x + 1) = 1 - x $
Далее упростим выражение во вторых скобках. Степень $-1$ означает, что дробь нужно перевернуть:
$ \left( \frac{1+x}{1-x^2} \right)^{-1} = \frac{1-x^2}{1+x} $
Разложим числитель по формуле разности квадратов и сократим дробь:
$ \frac{(1-x)(1+x)}{1+x} = 1-x $
Теперь выполним деление результатов:
$ (1 - x) : (1 - x) = 1 $
Ответ: 1

д) $ \left( \left( \frac{3a}{a^3 - b^3} \cdot \frac{a^2 + b^2 + ab}{a+b} - \frac{3}{b-a} \right) : \frac{2a+b}{a^2 + 2ab + b^2} \right) \cdot \frac{3}{a+b} $
Выполним действия по порядку.
1. Умножение в скобках. Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$ \frac{3a}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} \cdot \frac{a^2+ab+b^2}{a+b} = \frac{3a}{(a-b)(a+b)} $
2. Вычитание в скобках. Учтем, что $b-a = -(a-b)$:
$ \frac{3a}{(a-b)(a+b)} - \frac{3}{b-a} = \frac{3a}{(a-b)(a+b)} + \frac{3}{a-b} $
Приводим к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$:
$ \frac{3a + 3(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{3a+3a+3b}{(a-b)(a+b)} = \frac{6a+3b}{(a-b)(a+b)} = \frac{3(2a+b)}{(a-b)(a+b)} $
3. Деление. Заменяем деление на умножение на обратную дробь. Знаменатель $a^2+2ab+b^2$ равен $(a+b)^2$:
$ \frac{3(2a+b)}{(a-b)(a+b)} : \frac{2a+b}{(a+b)^2} = \frac{3(2a+b)}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{(a+b)^2}{2a+b} $
Сокращаем $(2a+b)$ и одну степень $(a+b)$:
$ \frac{3(a+b)}{a-b} $
4. Последнее умножение:
$ \frac{3(a+b)}{a-b} \cdot \frac{3}{a+b} = \frac{9(a+b)}{(a-b)(a+b)} $
Сокращаем $(a+b)$:
$ \frac{9}{a-b} $
Ответ: $ \frac{9}{a-b} $

27 a) 2. $\frac{(a^2+a-2)(a+2)}{(a^2+4a+4)(a-1)};$

б) 5. $\frac{(a^2+5a+6)(a^2-2a+4)}{(a+3)(a^3+8)};$

в) $\frac{(a^3+27)(a+4)}{(a^2-3a+9)(a^2+7a+12)};$

г) $\frac{(\sqrt{a}+1)^2(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(a-b)(a+2\sqrt{a}+1)}.$

а) Упростим выражение $2 \cdot \frac{(a^2 + a - 2)(a + 2)}{(a^2 + 4a + 4)(a - 1)}$.
Для этого разложим на множители квадратные трехчлены в числителе и знаменателе.
В числителе: $a^2 + a - 2$. Корни уравнения $a^2 + a - 2 = 0$ по теореме Виета равны $a_1 = 1$ и $a_2 = -2$. Следовательно, $a^2 + a - 2 = (a - 1)(a + 2)$.
В знаменателе: $a^2 + 4a + 4$. Это формула квадрата суммы: $a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2$.
Подставим разложенные многочлены в исходное выражение:
$2 \cdot \frac{(a - 1)(a + 2)(a + 2)}{(a + 2)^2(a - 1)} = 2 \cdot \frac{(a - 1)(a + 2)^2}{(a + 2)^2(a - 1)}$.
Сократим общие множители $(a - 1)$ и $(a + 2)^2$ при условии, что $a \neq 1$ и $a \neq -2$.
После сокращения получаем: $2$.
Ответ: 2.

б) Упростим выражение $5 \cdot \frac{(a^2 + 5a + 6)(a^2 - 2a + 4)}{(a + 3)(a^3 + 8)}$.
Разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе.
В числителе: $a^2 + 5a + 6$. Корни уравнения $a^2 + 5a + 6 = 0$ по теореме Виета равны $a_1 = -2$ и $a_2 = -3$. Следовательно, $a^2 + 5a + 6 = (a + 2)(a + 3)$.
В знаменателе: $a^3 + 8$. Это формула суммы кубов: $a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)$.
Подставим разложенные многочлены в исходное выражение:
$5 \cdot \frac{(a + 2)(a + 3)(a^2 - 2a + 4)}{(a + 3)(a + 2)(a^2 - 2a + 4)}$.
Сократим общие множители $(a + 2)$, $(a + 3)$ и $(a^2 - 2a + 4)$ при условии, что $a \neq -2$ и $a \neq -3$.
После сокращения получаем: $5$.
Ответ: 5.

в) Упростим выражение $\frac{(a^3 + 27)(a + 4)}{(a^2 - 3a + 9)(a^2 + 7a + 12)}$.
Разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе.
В числителе: $a^3 + 27$. Это формула суммы кубов: $a^3 + 3^3 = (a + 3)(a^2 - 3a + 9)$.
В знаменателе: $a^2 + 7a + 12$. Корни уравнения $a^2 + 7a + 12 = 0$ по теореме Виета равны $a_1 = -3$ и $a_2 = -4$. Следовательно, $a^2 + 7a + 12 = (a + 3)(a + 4)$.
Подставим разложенные многочлены в исходное выражение:
$\frac{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)(a + 4)}{(a^2 - 3a + 9)(a + 3)(a + 4)}$.
Сократим общие множители $(a + 3)$, $(a + 4)$ и $(a^2 - 3a + 9)$ при условии, что $a \neq -3$ и $a \neq -4$.
После сокращения получаем: $1$.
Ответ: 1.

г) Упростим выражение $\frac{(\sqrt{a} + 1)^2(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(a - b)(a + 2\sqrt{a} + 1)}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $a \ge 0$, $b \ge 0$, $a \neq b$.
Преобразуем числитель и знаменатель, используя формулы сокращенного умножения.
В числителе множители $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ образуют разность квадратов: $(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b$.
В знаменателе выражение $a + 2\sqrt{a} + 1$ является полным квадратом: $(\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a} + 1)^2$.
Подставим преобразованные части в исходное выражение:
$\frac{(\sqrt{a} + 1)^2(a - b)}{(a - b)(\sqrt{a} + 1)^2}$.
Сократим общие множители $(a - b)$ и $(\sqrt{a} + 1)^2$. Выражение $(\sqrt{a} + 1)^2$ не равно нулю при $a \ge 0$.
После сокращения получаем: $1$.
Ответ: 1.