Номер 20, страница 365 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Упрощение выражений. Задания для повторения - номер 20, страница 365.

20 а) $\frac{a^4 + a^2b^2 + b^4}{(a^2 + b^2 + ab)(a^2 + b^2 - ab)};$

б) $\left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right) : \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} - \frac{2}{ab}\right) - \frac{2b}{b - a};$

В) $\frac{a^6 - b^6}{(a^2 + b^2 + ab)(a^2 + b^2 - ab)} - (a^2 - b^2);$

Г) $\left(\frac{9}{m^2 - 3m + 9} + \frac{2m}{3 + m} - \frac{m^3 - 15m^2}{m^3 + 27}\right)\left(m + 3 - \frac{9m}{m + 3}\right) \cdot \frac{1}{m + 3};$

Д) $\left(\frac{9}{n^2 + 3n + 9} - \frac{2n}{3 - n} - \frac{n^3 + 15n^2}{n^3 - 27}\right)\left(n - 3 + \frac{9n}{n - 3}\right) \cdot \frac{1}{n - 3}.$

а)

Упростим выражение $ \frac{a^4 + a^2b^2 + b^4}{(a^2 + b^2 + ab)(a^2 + b^2 - ab)} $.

Сначала разложим на множители числитель $ a^4 + a^2b^2 + b^4 $. Для этого добавим и вычтем $ a^2b^2 $, чтобы выделить полный квадрат:

$ a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - a^2b^2 = (a^2 + b^2)^2 - (ab)^2 $.

Теперь применим формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $:

$ (a^2 + b^2)^2 - (ab)^2 = (a^2 + b^2 - ab)(a^2 + b^2 + ab) $.

Знаменатель дроби уже представлен в виде произведения $ (a^2 + b^2 + ab)(a^2 + b^2 - ab) $.

Подставим разложенный числитель в исходное выражение:

$ \frac{(a^2 + b^2 - ab)(a^2 + b^2 + ab)}{(a^2 + b^2 + ab)(a^2 + b^2 - ab)} $.

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (при условии, что они не равны нулю).

В результате получаем 1.

Ответ: 1

б)

Упростим выражение $ \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right) : \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} - \frac{2}{ab}\right) - \frac{2b}{b - a} $.

Выполним действия по шагам.

1. Упростим выражение в первых скобках:

$ \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} = \frac{b^2 - a^2}{a^2b^2} = \frac{(b-a)(b+a)}{a^2b^2} $.

2. Упростим выражение во вторых скобках:

$ \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} - \frac{2}{ab} = \frac{b^2 + a^2 - 2ab}{a^2b^2} = \frac{(a-b)^2}{a^2b^2} = \frac{(b-a)^2}{a^2b^2} $.

3. Выполним деление:

$ \frac{(b-a)(b+a)}{a^2b^2} : \frac{(b-a)^2}{a^2b^2} = \frac{(b-a)(b+a)}{a^2b^2} \cdot \frac{a^2b^2}{(b-a)^2} = \frac{b+a}{b-a} $.

4. Выполним вычитание:

$ \frac{b+a}{b-a} - \frac{2b}{b-a} = \frac{b+a-2b}{b-a} = \frac{a-b}{b-a} = \frac{-(b-a)}{b-a} = -1 $.

Ответ: -1

в)

Упростим выражение $ \frac{a^6 - b^6}{(a^2 + b^2 + ab)(a^2 + b^2 - ab)} - (a^2 - b^2) $.

1. Разложим на множители числитель $ a^6 - b^6 $. Представим его как разность кубов $ (a^2)^3 - (b^2)^3 $:

$ a^6 - b^6 = (a^2)^3 - (b^2)^3 = (a^2-b^2)((a^2)^2 + a^2b^2 + (b^2)^2) = (a^2-b^2)(a^4 + a^2b^2 + b^4) $.

2. Упростим знаменатель. Как мы видели в задании а), произведение $ (a^2 + b^2 + ab)(a^2 + b^2 - ab) $ равно $ a^4 + a^2b^2 + b^4 $.

3. Подставим полученные выражения в дробь:

$ \frac{(a^2-b^2)(a^4 + a^2b^2 + b^4)}{a^4 + a^2b^2 + b^4} $.

Сократив дробь, получим $ a^2 - b^2 $.

4. Выполним вычитание:

$ (a^2 - b^2) - (a^2 - b^2) = 0 $.

Ответ: 0

г)

Упростим выражение $ \left(\frac{9}{m^2 - 3m + 9} + \frac{2m}{3 + m} - \frac{m^3 - 15m^2}{m^3 + 27}\right) \left(m + 3 - \frac{9m}{m+3}\right) \cdot \frac{1}{m+3} $.

1. Упростим выражение в первых больших скобках. Заметим, что $ m^3 + 27 = m^3 + 3^3 = (m+3)(m^2 - 3m + 9) $. Это общий знаменатель.

$ \frac{9(m+3)}{(m+3)(m^2-3m+9)} + \frac{2m(m^2-3m+9)}{(m+3)(m^2-3m+9)} - \frac{m^3 - 15m^2}{(m+3)(m^2-3m+9)} $

$ = \frac{9m+27 + 2m^3-6m^2+18m - (m^3-15m^2)}{m^3+27} $

$ = \frac{9m+27 + 2m^3-6m^2+18m - m^3+15m^2}{m^3+27} $

$ = \frac{m^3 + 9m^2 + 27m + 27}{m^3+27} $.

Числитель является кубом суммы: $ m^3 + 9m^2 + 27m + 27 = (m+3)^3 $.

Тогда выражение в первых скобках равно $ \frac{(m+3)^3}{m^3+27} = \frac{(m+3)^3}{(m+3)(m^2-3m+9)} = \frac{(m+3)^2}{m^2-3m+9} $.

2. Упростим выражение во вторых скобках:

$ m + 3 - \frac{9m}{m+3} = \frac{(m+3)(m+3) - 9m}{m+3} = \frac{m^2+6m+9 - 9m}{m+3} = \frac{m^2-3m+9}{m+3} $.

3. Перемножим все три части:

$ \left(\frac{(m+3)^2}{m^2-3m+9}\right) \cdot \left(\frac{m^2-3m+9}{m+3}\right) \cdot \frac{1}{m+3} $.

Сокращаем множители:

$ \frac{(m+3)^2 \cdot (m^2-3m+9)}{(m^2-3m+9) \cdot (m+3) \cdot (m+3)} = \frac{(m+3)^2(m^2-3m+9)}{(m+3)^2(m^2-3m+9)} = 1 $.

Ответ: 1

д)

Упростим выражение $ \left(\frac{9}{n^2 + 3n + 9} - \frac{2n}{3 - n} - \frac{n^3 + 15n^2}{n^3 - 27}\right) \left(n - 3 + \frac{9n}{n-3}\right) \cdot \frac{1}{n-3} $.

1. Упростим выражение в первых больших скобках. Изменим знак во второй дроби: $ - \frac{2n}{3 - n} = + \frac{2n}{n-3} $. Заметим, что $ n^3 - 27 = n^3 - 3^3 = (n-3)(n^2 + 3n + 9) $. Это общий знаменатель.

$ \frac{9}{n^2 + 3n + 9} + \frac{2n}{n-3} - \frac{n^3 + 15n^2}{n^3 - 27} $

$ = \frac{9(n-3)}{(n-3)(n^2+3n+9)} + \frac{2n(n^2+3n+9)}{(n-3)(n^2+3n+9)} - \frac{n^3 + 15n^2}{(n-3)(n^2+3n+9)} $

$ = \frac{9n-27 + 2n^3+6n^2+18n - (n^3+15n^2)}{n^3-27} $

$ = \frac{9n-27 + 2n^3+6n^2+18n - n^3-15n^2}{n^3-27} $

$ = \frac{n^3 - 9n^2 + 27n - 27}{n^3-27} $.

Числитель является кубом разности: $ n^3 - 9n^2 + 27n - 27 = (n-3)^3 $.

Тогда выражение в первых скобках равно $ \frac{(n-3)^3}{n^3-27} = \frac{(n-3)^3}{(n-3)(n^2+3n+9)} = \frac{(n-3)^2}{n^2+3n+9} $.

2. Упростим выражение во вторых скобках:

$ n - 3 + \frac{9n}{n-3} = \frac{(n-3)(n-3) + 9n}{n-3} = \frac{n^2-6n+9+9n}{n-3} = \frac{n^2+3n+9}{n-3} $.

3. Перемножим все три части:

$ \left(\frac{(n-3)^2}{n^2+3n+9}\right) \cdot \left(\frac{n^2+3n+9}{n-3}\right) \cdot \frac{1}{n-3} $.

Сокращаем множители:

$ \frac{(n-3)^2 \cdot (n^2+3n+9)}{(n^2+3n+9) \cdot (n-3) \cdot (n-3)} = \frac{(n-3)^2(n^2+3n+9)}{(n-3)^2(n^2+3n+9)} = 1 $.

Ответ: 1