Номер 18, страница 364 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Упрощение выражений. Задания для повторения - номер 18, страница 364.

18 Найдите коэффициент при $x^3$ в выражении $(x - 3)^3 - (2x(3 + (x - 3)^2) - 10)$.

Для нахождения коэффициента при $x^3$ в выражении $(x-3)^3 - (2x(3 + (x-3)^2) - 10)$ необходимо раскрыть все скобки и привести подобные слагаемые, то есть представить выражение в виде многочлена стандартного вида.

Шаг 1: Раскрытие $(x-3)^3$

Используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$(x-3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$.

Шаг 2: Упрощение второй части выражения $-(2x(3 + (x-3)^2) - 10)$

Сначала раскроем квадрат разности $(x-3)^2$ по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x-3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$.

Теперь подставим это в скобки:

$3 + (x-3)^2 = 3 + (x^2 - 6x + 9) = x^2 - 6x + 12$.

Умножим полученный результат на $2x$:

$2x(x^2 - 6x + 12) = 2x^3 - 12x^2 + 24x$.

Вся вторая часть выражения с учетом знака "минус" перед скобкой выглядит так:

$-( (2x^3 - 12x^2 + 24x) - 10) = -(2x^3 - 12x^2 + 24x - 10) = -2x^3 + 12x^2 - 24x + 10$.

Шаг 3: Объединение и приведение подобных слагаемых

Сложим результаты, полученные на шагах 1 и 2:

$(x^3 - 9x^2 + 27x - 27) + (-2x^3 + 12x^2 - 24x + 10)$.

Сгруппируем слагаемые по степеням $x$:

$(x^3 - 2x^3) + (-9x^2 + 12x^2) + (27x - 24x) + (-27 + 10)$.

Чтобы найти искомый коэффициент, достаточно вычислить сумму коэффициентов при $x^3$:

$x^3 - 2x^3 = (1-2)x^3 = -1 \cdot x^3 = -x^3$.

Коэффициент при $x^3$ равен -1.

Полное упрощенное выражение выглядит так: $-x^3 + 3x^2 + 3x - 17$.

Ответ: -1