Страница 364 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

13 Докажите равенство $\sqrt{3 + \sqrt{3} + \sqrt[3]{10 + 6\sqrt{3}}} = \sqrt{3} + 1$.

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть, последовательно упрощая вложенные радикалы, начиная с самого внутреннего.

1. Упрощение кубического корня.

Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{10 + 6\sqrt{3}}$. Попробуем представить подкоренное выражение $10 + 6\sqrt{3}$ в виде полного куба, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. Логично предположить, что искомое выражение будет иметь вид $(x+y\sqrt{3})$. Проверим простую комбинацию с $x=1$ и $y=1$:

$(1+\sqrt{3})^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 1 \cdot (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3 = 1 + 3\sqrt{3} + 3 \cdot 3 + 3\sqrt{3} = 1 + 3\sqrt{3} + 9 + 3\sqrt{3} = 10 + 6\sqrt{3}$.

Так как $10 + 6\sqrt{3} = (1+\sqrt{3})^3$, то:

$\sqrt[3]{10 + 6\sqrt{3}} = \sqrt[3]{(1+\sqrt{3})^3} = 1+\sqrt{3}$.

2. Упрощение внешнего квадратного корня.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$\sqrt{3 + \sqrt{3} + \sqrt[3]{10 + 6\sqrt{3}}} = \sqrt{3 + \sqrt{3} + (1+\sqrt{3})}$.

Сложим слагаемые под внешним корнем:

$\sqrt{3 + \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3}} = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$.

Далее, упростим выражение $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$, представив подкоренное выражение в виде полного квадрата по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

$4 + 2\sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{3}+1)^2$.

Следовательно,

$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}$.

Так как $\sqrt{a^2} = |a|$ и выражение $\sqrt{3}+1$ положительно, получаем:

$\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = |\sqrt{3}+1| = \sqrt{3}+1$.

3. Заключение.

В результате преобразований левая часть исходного равенства была приведена к виду $\sqrt{3}+1$, что в точности совпадает с его правой частью. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

14 Докажите, что число

$((\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{27})^2 + 7)((\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{27})^2 - 7)$

целое, и найдите это число.

Для решения данной задачи необходимо упростить данное выражение. Обозначим исходное выражение как $E$.

$E = ((\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{27})^2 + 7)((\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{27})^2 - 7)$

Введем замены для удобства вычислений: пусть $a = \sqrt[4]{3}$ и $b = \sqrt[4]{27}$. Тогда выражение примет вид:

$E = ((a - b)^2 + 7)((a + b)^2 - 7)$

Раскроем квадраты, используя формулы сокращенного умножения $(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Подставим раскрытые скобки обратно в выражение $E$:

$E = (a^2 - 2ab + b^2 + 7)(a^2 + 2ab + b^2 - 7)$

Теперь вычислим значения $a^2$, $b^2$ и $ab$:

$a^2 = (\sqrt[4]{3})^2 = \sqrt{3}$

$b^2 = (\sqrt[4]{27})^2 = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

$ab = \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{27} = \sqrt[4]{3 \cdot 27} = \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$

Подставим эти значения в множители выражения $E$.

Первый множитель:

$a^2 - 2ab + b^2 + 7 = \sqrt{3} - 2(3) + 3\sqrt{3} + 7 = (\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) + (7 - 6) = 4\sqrt{3} + 1$

Второй множитель:

$a^2 + 2ab + b^2 - 7 = \sqrt{3} + 2(3) + 3\sqrt{3} - 7 = (\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) + (6 - 7) = 4\sqrt{3} - 1$

Теперь перемножим полученные выражения:

$E = (4\sqrt{3} + 1)(4\sqrt{3} - 1)$

Это выражение соответствует формуле разности квадратов $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$, где $x = 4\sqrt{3}$ и $y = 1$.

$E = (4\sqrt{3})^2 - 1^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{3})^2 - 1 = 16 \cdot 3 - 1 = 48 - 1 = 47$

В результате вычислений мы получили число 47. Поскольку 47 является целым числом, мы доказали, что исходное число — целое, и нашли его значение.

Ответ: 47

15 Докажите, что данное число целое, и найдите это число:

a) $(\sqrt[6]{2} - \sqrt[6]{7})((\sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{2})^2 - \sqrt[3]{14})(\sqrt[6]{7} + \sqrt[6]{2});$

б) $((\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{125})^2 + 9)((\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{125})^2 - 9);$

в) $((\sqrt[6]{3} - \sqrt[6]{5})^2 + \sqrt[6]{960})((\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{5})^2 - 3\sqrt[3]{15}).$

а) Упростим выражение $(\sqrt[6]{2} - \sqrt[6]{7})((\sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{2})^2 - \sqrt[3]{14})(\sqrt[6]{7} + \sqrt[6]{2})$.

Сначала сгруппируем первый и третий множители. Заметим, что $(\sqrt[6]{7} + \sqrt[6]{2}) = (\sqrt[6]{2} + \sqrt[6]{7})$. Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:

$(\sqrt[6]{2} - \sqrt[6]{7})(\sqrt[6]{2} + \sqrt[6]{7}) = (\sqrt[6]{2})^2 - (\sqrt[6]{7})^2 = 2^{2/6} - 7^{2/6} = 2^{1/3} - 7^{1/3} = \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{7}$.

Далее упростим второй множитель. Раскроем квадрат суммы по формуле $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$(\sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{2})^2 - \sqrt[3]{14} = ((\sqrt[3]{7})^2 + 2\sqrt[3]{7}\sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2) - \sqrt[3]{14}$

$= (\sqrt[3]{49} + 2\sqrt[3]{14} + \sqrt[3]{4}) - \sqrt[3]{14} = \sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{14} + \sqrt[3]{4}$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{7})(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{14} + \sqrt[3]{49})$.

Вынесем знак минус из первой скобки: $-(\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{49} + \sqrt[3]{14} + \sqrt[3]{4})$.

Пусть $a = \sqrt[3]{7}$ и $b = \sqrt[3]{2}$. Тогда выражение принимает вид $-(a-b)(a^2+ab+b^2)$, что является формулой разности кубов $a^3-b^3$ со знаком минус.

Вычисляем результат:

$-(a^3-b^3) = -((\sqrt[3]{7})^3 - (\sqrt[3]{2})^3) = -(7-2) = -5$.

Результат -5 является целым числом, что и требовалось доказать.
Ответ: -5

б) Упростим выражение $((\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{125})^2 + 9)((\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{125})^2 - 9)$.

Рассмотрим первую большую скобку. Раскроем квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{125})^2 = (\sqrt[4]{5})^2 - 2\sqrt[4]{5}\sqrt[4]{125} + (\sqrt[4]{125})^2 = \sqrt{5} - 2\sqrt[4]{5 \cdot 125} + \sqrt{125}$.

Поскольку $5 \cdot 125 = 625 = 5^4$, то $\sqrt[4]{625}=5$. Также $\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$.

Тогда квадрат разности равен $\sqrt{5} - 2(5) + 5\sqrt{5} = 6\sqrt{5} - 10$.

Значение первой большой скобки: $(6\sqrt{5} - 10) + 9 = 6\sqrt{5} - 1$.

Теперь рассмотрим вторую большую скобку. Раскроем квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sqrt[4]{5} + \sqrt[4]{125})^2 = (\sqrt[4]{5})^2 + 2\sqrt[4]{5}\sqrt[4]{125} + (\sqrt[4]{125})^2 = \sqrt{5} + 2(5) + 5\sqrt{5} = 6\sqrt{5} + 10$.

Значение второй большой скобки: $(6\sqrt{5} + 10) - 9 = 6\sqrt{5} + 1$.

Перемножим полученные выражения:

$(6\sqrt{5} - 1)(6\sqrt{5} + 1)$.

Используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$, получаем:

$(6\sqrt{5})^2 - 1^2 = 36 \cdot 5 - 1 = 180 - 1 = 179$.

Результат 179 является целым числом, что и требовалось доказать.
Ответ: 179

в) Упростим выражение $((\sqrt[6]{3} - \sqrt[6]{5})^2 + \sqrt[6]{960})((\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{5})^2 - 3\sqrt[3]{15})$.

Рассмотрим первую скобку. Раскроем квадрат разности:

$(\sqrt[6]{3} - \sqrt[6]{5})^2 = (\sqrt[6]{3})^2 - 2\sqrt[6]{3}\sqrt[6]{5} + (\sqrt[6]{5})^2 = \sqrt[3]{3} - 2\sqrt[6]{15} + \sqrt[3]{5}$.

Упростим корень $\sqrt[6]{960}$. Разложим подкоренное выражение на множители: $960 = 96 \cdot 10 = (3 \cdot 32) \cdot (2 \cdot 5) = 3 \cdot 2^5 \cdot 2 \cdot 5 = 2^6 \cdot 15$.

Тогда $\sqrt[6]{960} = \sqrt[6]{2^6 \cdot 15} = 2\sqrt[6]{15}$.

Первая скобка примет вид: $(\sqrt[3]{3} - 2\sqrt[6]{15} + \sqrt[3]{5}) + 2\sqrt[6]{15} = \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{5}$.

Теперь рассмотрим вторую скобку. Раскроем квадрат суммы:

$(\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{5})^2 = (\sqrt[3]{3})^2 + 2\sqrt[3]{3}\sqrt[3]{5} + (\sqrt[3]{5})^2 = \sqrt[3]{9} + 2\sqrt[3]{15} + \sqrt[3]{25}$.

Вторая скобка примет вид: $(\sqrt[3]{9} + 2\sqrt[3]{15} + \sqrt[3]{25}) - 3\sqrt[3]{15} = \sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{15} + \sqrt[3]{25}$.

Перемножим полученные выражения:

$(\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{5})(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{15} + \sqrt[3]{25})$.

Это выражение соответствует формуле суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a = \sqrt[3]{3}$ и $b = \sqrt[3]{5}$.

Вычисляем результат:

$(\sqrt[3]{3})^3 + (\sqrt[3]{5})^3 = 3 + 5 = 8$.

Результат 8 является целым числом, что и требовалось доказать.
Ответ: 8

16 Вычислите:

а) $3 \cdot \frac{\sqrt{8+2\sqrt{7}}}{\sqrt{8-2\sqrt{7}}} - \frac{\sqrt{3+\sqrt{7}}}{\sqrt{3-\sqrt{7}}} \cdot \sqrt{2};$

б) $\frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}}{\sqrt{3+2\sqrt{2}}} + 4 \cdot \frac{\sqrt{6+\sqrt{2}}}{\sqrt{6-\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{\frac{17}{2}};$

в) $(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{5})(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{25});$

г) $\sqrt[6]{4-2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{1+\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{4};$

д) $\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{3}};$

е) $\sqrt{31} \cdot \sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{5}}} \cdot \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{5}}} \cdot \sqrt{6+\sqrt{5}};$

ж) $\sqrt{\sqrt{2}-1} \cdot \sqrt[4]{3+2\sqrt{2}};$

з) $\sqrt[6]{(2+\sqrt{3})^2 + 2\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt[3]{2-\sqrt{3}}.$

а) $3 \cdot \frac{\sqrt{8+2\sqrt{7}}}{\sqrt{8-2\sqrt{7}}} - \frac{\sqrt{3+\sqrt{7}}}{\sqrt{3-\sqrt{7}}} \cdot \sqrt{2}$

1. Упростим подкоренные выражения вида $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}$, используя формулу $\sqrt{x \pm y + 2\sqrt{xy}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y}$.

Для $\sqrt{8+2\sqrt{7}}$, имеем $x+y=8$ и $xy=7$. Отсюда $x=7, y=1$.

$\sqrt{8+2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}+\sqrt{1})^2} = \sqrt{7}+1$.

Аналогично, $\sqrt{8-2\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{1})^2} = \sqrt{7}-1$.

2. Подставим упрощенные выражения в первую дробь и избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив на сопряженное выражение:

$3 \cdot \frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{7}-1} = 3 \cdot \frac{(\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}+1)}{(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1)} = 3 \cdot \frac{(\sqrt{7}+1)^2}{(\sqrt{7})^2 - 1^2} = 3 \cdot \frac{7+2\sqrt{7}+1}{7-1} = 3 \cdot \frac{8+2\sqrt{7}}{6} = \frac{8+2\sqrt{7}}{2} = 4+\sqrt{7}$.

3. Упростим вторую часть выражения. Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{\sqrt{3+\sqrt{7}}}{\sqrt{3-\sqrt{7}}}$:

$\frac{\sqrt{3+\sqrt{7}}}{\sqrt{3-\sqrt{7}}} = \frac{\sqrt{3+\sqrt{7}} \cdot \sqrt{3+\sqrt{7}}}{\sqrt{3-\sqrt{7}} \cdot \sqrt{3+\sqrt{7}}} = \frac{3+\sqrt{7}}{\sqrt{3^2 - (\sqrt{7})^2}} = \frac{3+\sqrt{7}}{\sqrt{9-7}} = \frac{3+\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$.

4. Теперь умножим полученный результат на $\sqrt{2}$:

$\frac{3+\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} = 3+\sqrt{7}$.

5. Вычислим разность:

$(4+\sqrt{7}) - (3+\sqrt{7}) = 4+\sqrt{7}-3-\sqrt{7} = 1$.

Ответ: 1

б) $\frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}}{\sqrt{3+2\sqrt{2}}} + 4 \cdot \frac{\sqrt{6+\sqrt{2}}}{\sqrt{6-\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{\frac{17}{2}}$

1. Упростим первую дробь. Для $\sqrt{3-2\sqrt{2}}$, имеем $x+y=3, xy=2$. Отсюда $x=2, y=1$.

$\sqrt{3-2\sqrt{2}} = \sqrt{2}-1$ и $\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{2}+1$.

$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2-2\sqrt{2}+1}{2-1} = 3-2\sqrt{2}$.

2. Упростим вторую часть выражения. Объединим корни:

$4 \cdot \sqrt{\frac{6+\sqrt{2}}{6-\sqrt{2}} \cdot \frac{17}{2}}$.

Избавимся от иррациональности в дроби под корнем:

$\frac{6+\sqrt{2}}{6-\sqrt{2}} = \frac{(6+\sqrt{2})^2}{(6-\sqrt{2})(6+\sqrt{2})} = \frac{36+12\sqrt{2}+2}{36-2} = \frac{38+12\sqrt{2}}{34} = \frac{19+6\sqrt{2}}{17}$.

3. Подставим обратно в выражение:

$4 \cdot \sqrt{\frac{19+6\sqrt{2}}{17} \cdot \frac{17}{2}} = 4 \cdot \sqrt{\frac{19+6\sqrt{2}}{2}}$.

4. Упростим $\sqrt{19+6\sqrt{2}}$. Представим $6\sqrt{2}$ как $2\sqrt{18}$.

$\sqrt{19+2\sqrt{18}}$. Ищем $x,y$ такие, что $x+y=19, xy=18$. Это 18 и 1.

$\sqrt{19+2\sqrt{18}} = \sqrt{18}+\sqrt{1} = 3\sqrt{2}+1$.

5. Выражение принимает вид:

$4 \cdot \frac{3\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}} = 4 \cdot \frac{(3\sqrt{2}+1)\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = 4 \cdot \frac{3\cdot 2 + \sqrt{2}}{2} = 2(6+\sqrt{2}) = 12+2\sqrt{2}$.

6. Сложим обе части:

$(3-2\sqrt{2}) + (12+2\sqrt{2}) = 15$.

Ответ: 15

в) $(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{5})(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{25})$

1. Воспользуемся формулой разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$.

2. Пусть $a = \sqrt[3]{2}$ и $b = \sqrt[3]{5}$.

Тогда $a^2 = (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{4}$, $b^2 = (\sqrt[3]{5})^2 = \sqrt[3]{25}$, и $ab = \sqrt[3]{2}\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{10}$.

3. Выражение в точности соответствует формуле разности кубов.

$(\sqrt[3]{2})^3 - (\sqrt[3]{5})^3 = 2 - 5 = -3$.

Ответ: -3

г) $\sqrt[6]{4-2\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{1+\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{4}$

1. Упростим первый множитель. Сначала упростим выражение под корнем шестой степени:

$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$. Ищем $x,y$ такие, что $x+y=4, xy=3$. Это 3 и 1.

$\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{3}-1$.

Тогда $\sqrt[6]{4-2\sqrt{3}} = \sqrt[6]{(\sqrt{3}-1)^2} = (\sqrt{3}-1)^{2/6} = (\sqrt{3}-1)^{1/3} = \sqrt[3]{\sqrt{3}-1}$.

2. Объединим все множители под один кубический корень:

$\sqrt[3]{\sqrt{3}-1} \cdot \sqrt[3]{1+\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) \cdot 4}$.

3. Применим формулу разности квадратов $(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) = (\sqrt{3})^2-1^2 = 3-1=2$.

4. Вычислим итоговое значение:

$\sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8} = 2$.

Ответ: 2

д) $\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}$

1. Сгруппируем первые два множителя и применим формулу разности квадратов $\sqrt{a-b}\sqrt{a+b}=\sqrt{a^2-b^2}$:

$\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2} = \sqrt{4 - (2+\sqrt{3})} = \sqrt{2-\sqrt{3}}$.

2. Умножим полученный результат на третий множитель:

$\sqrt{2-\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{3}} = \sqrt{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2} = \sqrt{4-3} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: 1

е) $\sqrt{31} \cdot \sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{5}}} \cdot \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{5}}} \cdot \sqrt{6+\sqrt{5}}$

1. Сгруппируем второй и третий множители и применим формулу разности квадратов:

$\sqrt{3-\sqrt{3+\sqrt{5}}} \cdot \sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{5}}} = \sqrt{3^2 - (\sqrt{3+\sqrt{5}})^2} = \sqrt{9 - (3+\sqrt{5})} = \sqrt{6-\sqrt{5}}$.

2. Выражение принимает вид:

$\sqrt{31} \cdot \sqrt{6-\sqrt{5}} \cdot \sqrt{6+\sqrt{5}}$.

3. Сгруппируем последние два множителя:

$\sqrt{6-\sqrt{5}} \cdot \sqrt{6+\sqrt{5}} = \sqrt{6^2 - (\sqrt{5})^2} = \sqrt{36-5} = \sqrt{31}$.

4. Вычислим итоговое значение:

$\sqrt{31} \cdot \sqrt{31} = 31$.

Ответ: 31

ж) $\sqrt{\sqrt{2}-1} \cdot \sqrt[4]{3+2\sqrt{2}}$

1. Упростим второй множитель. Сначала преобразуем выражение под корнем четвертой степени:

$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$. Ищем $x,y$ такие, что $x+y=3, xy=2$. Это 2 и 1.

$\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{2}+1$.

Тогда $\sqrt[4]{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{\sqrt{3+2\sqrt{2}}} = \sqrt{\sqrt{2}+1}$.

2. Выражение принимает вид:

$\sqrt{\sqrt{2}-1} \cdot \sqrt{\sqrt{2}+1}$.

3. Объединим корни и применим формулу разности квадратов:

$\sqrt{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \sqrt{2-1} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: 1

з) $(\sqrt[6]{(2+\sqrt{3})^2} + 2\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}) \cdot \sqrt[3]{2-\sqrt{3}}$

1. Упростим первый член в скобках:

$\sqrt[6]{(2+\sqrt{3})^2} = (2+\sqrt{3})^{2/6} = (2+\sqrt{3})^{1/3} = \sqrt[3]{2+\sqrt{3}}$.

2. Выражение в скобках становится:

$\sqrt[3]{2+\sqrt{3}} + 2\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}$.

Сложим подобные члены: $3\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}$.

3. Умножим результат на второй множитель:

$3\sqrt[3]{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{2-\sqrt{3}}$.

4. Объединим кубические корни:

$3\sqrt[3]{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$.

5. Применим формулу разности квадратов:

$3\sqrt[3]{2^2 - (\sqrt{3})^2} = 3\sqrt[3]{4-3} = 3\sqrt[3]{1} = 3 \cdot 1 = 3$.

Ответ: 3

Упрощение выражений

17 Выполните действия: $(x^2 + 7x - 3)(5x - 2).$

Чтобы выполнить умножение многочлена на многочлен, необходимо каждый член первого многочлена $(x^2 + 7x - 3)$ умножить на каждый член второго многочлена $(5x - 2)$ и полученные произведения сложить.

$(x^2 + 7x - 3)(5x - 2) = x^2 \cdot (5x - 2) + 7x \cdot (5x - 2) - 3 \cdot (5x - 2)$

Теперь раскроем скобки:
$x^2 \cdot 5x + x^2 \cdot (-2) + 7x \cdot 5x + 7x \cdot (-2) - 3 \cdot 5x - 3 \cdot (-2)$

Выполним умножение:
$5x^3 - 2x^2 + 35x^2 - 14x - 15x + 6$

Приведем подобные слагаемые, то есть сложим члены с одинаковыми степенями переменной $x$:
$5x^3 + (-2x^2 + 35x^2) + (-14x - 15x) + 6$

$5x^3 + 33x^2 - 29x + 6$

Ответ: $5x^3 + 33x^2 - 29x + 6$

18 Найдите коэффициент при $x^3$ в выражении $(x - 3)^3 - (2x(3 + (x - 3)^2) - 10)$.

Для нахождения коэффициента при $x^3$ в выражении $(x-3)^3 - (2x(3 + (x-3)^2) - 10)$ необходимо раскрыть все скобки и привести подобные слагаемые, то есть представить выражение в виде многочлена стандартного вида.

Шаг 1: Раскрытие $(x-3)^3$

Используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$(x-3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$.

Шаг 2: Упрощение второй части выражения $-(2x(3 + (x-3)^2) - 10)$

Сначала раскроем квадрат разности $(x-3)^2$ по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x-3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$.

Теперь подставим это в скобки:

$3 + (x-3)^2 = 3 + (x^2 - 6x + 9) = x^2 - 6x + 12$.

Умножим полученный результат на $2x$:

$2x(x^2 - 6x + 12) = 2x^3 - 12x^2 + 24x$.

Вся вторая часть выражения с учетом знака "минус" перед скобкой выглядит так:

$-( (2x^3 - 12x^2 + 24x) - 10) = -(2x^3 - 12x^2 + 24x - 10) = -2x^3 + 12x^2 - 24x + 10$.

Шаг 3: Объединение и приведение подобных слагаемых

Сложим результаты, полученные на шагах 1 и 2:

$(x^3 - 9x^2 + 27x - 27) + (-2x^3 + 12x^2 - 24x + 10)$.

Сгруппируем слагаемые по степеням $x$:

$(x^3 - 2x^3) + (-9x^2 + 12x^2) + (27x - 24x) + (-27 + 10)$.

Чтобы найти искомый коэффициент, достаточно вычислить сумму коэффициентов при $x^3$:

$x^3 - 2x^3 = (1-2)x^3 = -1 \cdot x^3 = -x^3$.

Коэффициент при $x^3$ равен -1.

Полное упрощенное выражение выглядит так: $-x^3 + 3x^2 + 3x - 17$.

Ответ: -1

Упростите выражение (19—24):

19 a) $\frac{a^3 + b^3 + 3ab(a+b)}{(a+b)^3} \cdot 2$;

б) $\frac{(a^2 - ab + b^2)(a^2 + 2ab + b^2)(a+b)}{(a+b)^2 (a^3 + b^3)}$;

в) $\frac{(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3}{(a - b)(b - c)(c - a)}$;

г) $\frac{(x + y + z)^3 - x^3 - y^3 - z^3}{(x + y)(y + z)(x + z)} \cdot 9$;

д) $\frac{a^3 + b^3 + c^3 - 3abc}{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac} - a - b - c - 1.$

а) Исходное выражение: $\frac{a^3 + b^3 + 3ab(a+b)}{(a+b)^3} \cdot 2$. Рассмотрим числитель дроби: $a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$. Это выражение является разложением куба суммы $(a+b)^3$. Вспомним формулу: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, которую можно переписать как $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$. Таким образом, исходное выражение можно переписать, заменив числитель на $(a+b)^3$: $\frac{(a+b)^3}{(a+b)^3} \cdot 2$. При условии, что $a+b \neq 0$, мы можем сократить дробь, так как числитель и знаменатель равны. Получаем $1 \cdot 2 = 2$.
Ответ: 2.

б) Исходное выражение: $\frac{(a^2 - ab + b^2)(a^2 + 2ab + b^2)(a+b)}{(a+b)^2(a^3 + b^3)}$. Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения. Выражение $a^2 + 2ab + b^2$ в числителе — это полный квадрат суммы, то есть $(a+b)^2$. Выражение $a^3 + b^3$ в знаменателе — это сумма кубов, которая раскладывается на множители как $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Подставим эти разложения в исходное выражение: $\frac{(a^2 - ab + b^2)(a+b)^2(a+b)}{(a+b)^2(a+b)(a^2 - ab + b^2)}$. Теперь мы видим, что в числителе и знаменателе есть одинаковые множители. Сократим их при условии, что они не равны нулю ($a+b \neq 0$ и $a^2 - ab + b^2 \neq 0$): Сокращаем $(a^2 - ab + b^2)$, $(a+b)^2$ и $(a+b)$. После сокращения всех множителей остается 1.
Ответ: 1.

в) Исходное выражение: $\frac{(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3}{(a-b)(b-c)(c-a)}$. Для удобства введем замену переменных: пусть $x = a-b$, $y = b-c$, $z = c-a$. Выражение примет вид $\frac{x^3 + y^3 + z^3}{xyz}$. Найдем сумму новых переменных: $x+y+z = (a-b) + (b-c) + (c-a) = a-b+b-c+c-a = 0$. Воспользуемся алгебраическим тождеством: если сумма трех чисел равна нулю ($x+y+z=0$), то сумма их кубов равна их утроенному произведению ($x^3+y^3+z^3 = 3xyz$). Подставим это тождество в числитель нашей дроби: $\frac{3xyz}{xyz}$. При условии, что $a \neq b$, $b \neq c$ и $c \neq a$ (то есть $x, y, z$ не равны нулю), мы можем сократить дробь на $xyz$. В результате получаем 3.
Ответ: 3.

г) Исходное выражение: $\frac{(x+y+z)^3 - x^3 - y^3 - z^3}{(x+y)(y+z)(x+z)} \cdot 9$. Рассмотрим числитель дроби: $(x+y+z)^3 - x^3 - y^3 - z^3$. Существует тождество, согласно которому это выражение равно $3(x+y)(y+z)(x+z)$. Докажем его, раскрыв скобки: $((x+y)+z)^3 - x^3 - y^3 - z^3 = (x+y)^3 + 3(x+y)^2z + 3(x+y)z^2 + z^3 - x^3 - y^3 - z^3$. $= (x^3+3x^2y+3xy^2+y^3) + 3(x+y)^2z + 3(x+y)z^2 - x^3 - y^3$. $= 3x^2y+3xy^2 + 3(x+y)^2z + 3(x+y)z^2 = 3xy(x+y) + 3z(x+y)^2 + 3z^2(x+y)$. Вынесем общий множитель $3(x+y)$: $= 3(x+y)[xy + z(x+y) + z^2] = 3(x+y)[xy + xz + yz + z^2]$. Сгруппируем слагаемые в квадратных скобках: $= 3(x+y)[x(y+z) + z(y+z)] = 3(x+y)(y+z)(x+z)$. Тождество доказано. Теперь подставим его в исходное выражение: $\frac{3(x+y)(y+z)(x+z)}{(x+y)(y+z)(x+z)} \cdot 9$. При условии, что знаменатель не равен нулю, сокращаем дробь. Остается $3 \cdot 9 = 27$.
Ответ: 27.

д) Исходное выражение: $\frac{a^3 + b^3 + c^3 - 3abc}{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac} - a - b - c - 1$. Числитель дроби $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ можно разложить на множители по известной формуле: $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$. Подставим это разложение в исходную дробь: $\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)}{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac}$. При условии, что знаменатель $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac \neq 0$ (это верно, если не все $a, b, c$ равны между собой), мы можем сократить дробь на общий множитель. После сокращения от дроби остается выражение $a+b+c$. Теперь подставим этот результат в исходное выражение целиком: $(a+b+c) - a - b - c - 1$. Раскроем скобки и приведем подобные члены: $a - a + b - b + c - c - 1 = 0 + 0 + 0 - 1 = -1$.
Ответ: -1.