Страница 369 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Рациональные уравнения

Решите уравнение (51—55):

51

а) $\frac{9x+5}{3x+10} - \frac{3x+7}{x+6} = 0;$

б) $\frac{3x+8}{7x-3} - \frac{6x-9}{14x+44} = 0;$

в) $\frac{9x-4}{3x+7} - \frac{3x+4}{x+5} = 0;$

г) $\frac{3x+2}{7x-17} - \frac{6x-21}{14x+16} = 0.$

а)

Исходное уравнение: $ \frac{9x + 5}{3x + 10} - \frac{3x + 7}{x + 6} = 0 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю:

$3x + 10 \neq 0 \implies 3x \neq -10 \implies x \neq -\frac{10}{3}$

$x + 6 \neq 0 \implies x \neq -6$

Перенесем вторую дробь в правую часть уравнения:

$ \frac{9x + 5}{3x + 10} = \frac{3x + 7}{x + 6} $

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$ (9x + 5)(x + 6) = (3x + 7)(3x + 10) $

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ 9x^2 + 54x + 5x + 30 = 9x^2 + 30x + 21x + 70 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 9x^2 + 59x + 30 = 9x^2 + 51x + 70 $

Вычтем $9x^2$ из обеих частей:

$ 59x + 30 = 51x + 70 $

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$ 59x - 51x = 70 - 30 $

$ 8x = 40 $

$ x = \frac{40}{8} $

$ x = 5 $

Полученный корень $x=5$ удовлетворяет ОДЗ ($5 \neq -\frac{10}{3}$ и $5 \neq -6$).

Ответ: 5

б)

Исходное уравнение: $ \frac{3x + 8}{7x - 3} - \frac{6x - 9}{14x + 44} = 0 $

ОДЗ:

$7x - 3 \neq 0 \implies 7x \neq 3 \implies x \neq \frac{3}{7}$

$14x + 44 \neq 0 \implies 14x \neq -44 \implies x \neq -\frac{44}{14} \implies x \neq -\frac{22}{7}$

Перенесем вторую дробь в правую часть:

$ \frac{3x + 8}{7x - 3} = \frac{6x - 9}{14x + 44} $

Применим перекрестное умножение:

$ (3x + 8)(14x + 44) = (6x - 9)(7x - 3) $

Раскроем скобки:

$ 42x^2 + 132x + 112x + 352 = 42x^2 - 18x - 63x + 27 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 42x^2 + 244x + 352 = 42x^2 - 81x + 27 $

Вычтем $42x^2$ из обеих частей:

$ 244x + 352 = -81x + 27 $

Перенесем слагаемые с $x$ влево, числа — вправо:

$ 244x + 81x = 27 - 352 $

$ 325x = -325 $

$ x = -1 $

Корень $x=-1$ удовлетворяет ОДЗ ($-1 \neq \frac{3}{7}$ и $-1 \neq -\frac{22}{7}$).

Ответ: -1

в)

Исходное уравнение: $ \frac{9x - 4}{3x + 7} - \frac{3x + 4}{x + 5} = 0 $

ОДЗ:

$3x + 7 \neq 0 \implies 3x \neq -7 \implies x \neq -\frac{7}{3}$

$x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5$

Перенесем вторую дробь вправо:

$ \frac{9x - 4}{3x + 7} = \frac{3x + 4}{x + 5} $

Применим перекрестное умножение:

$ (9x - 4)(x + 5) = (3x + 4)(3x + 7) $

Раскроем скобки:

$ 9x^2 + 45x - 4x - 20 = 9x^2 + 21x + 12x + 28 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 9x^2 + 41x - 20 = 9x^2 + 33x + 28 $

Вычтем $9x^2$ из обеих частей:

$ 41x - 20 = 33x + 28 $

$ 41x - 33x = 28 + 20 $

$ 8x = 48 $

$ x = 6 $

Корень $x=6$ удовлетворяет ОДЗ ($6 \neq -\frac{7}{3}$ и $6 \neq -5$).

Ответ: 6

г)

Исходное уравнение: $ \frac{3x + 2}{7x - 17} - \frac{6x - 21}{14x + 16} = 0 $

ОДЗ:

$7x - 17 \neq 0 \implies 7x \neq 17 \implies x \neq \frac{17}{7}$

$14x + 16 \neq 0 \implies 14x \neq -16 \implies x \neq -\frac{16}{14} \implies x \neq -\frac{8}{7}$

Перенесем вторую дробь вправо:

$ \frac{3x + 2}{7x - 17} = \frac{6x - 21}{14x + 16} $

Применим перекрестное умножение:

$ (3x + 2)(14x + 16) = (6x - 21)(7x - 17) $

Раскроем скобки:

$ 42x^2 + 48x + 28x + 32 = 42x^2 - 102x - 147x + 357 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 42x^2 + 76x + 32 = 42x^2 - 249x + 357 $

Вычтем $42x^2$ из обеих частей:

$ 76x + 32 = -249x + 357 $

$ 76x + 249x = 357 - 32 $

$ 325x = 325 $

$ x = 1 $

Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \neq \frac{17}{7}$ и $1 \neq -\frac{8}{7}$).

Ответ: 1

52 а) $\frac{2x - 18}{x^2 - 13x + 36} = 1;$

б) $\frac{3x - 6}{x^2 - 5x + 6} = 1;$

в) $\frac{2x - 6}{5x^2 - 17x + 6} = 1.$

а)

Решим уравнение $\frac{2x - 18}{x^2 - 13x + 36} = 1$.

Данное уравнение равносильно системе, в которой числитель равен знаменателю, а знаменатель при этом не равен нулю:

$ \begin{cases} 2x - 18 = x^2 - 13x + 36, \\ x^2 - 13x + 36 \neq 0. \end{cases} $

Сначала решим первое уравнение системы, перенеся все члены в одну сторону:

$x^2 - 13x - 2x + 36 + 18 = 0$

$x^2 - 15x + 54 = 0$

Используя теорему Виета, находим корни. Сумма корней равна $15$, а их произведение $54$. Отсюда $x_1 = 6$, $x_2 = 9$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни второму условию системы (области допустимых значений). Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x^2 - 13x + 36 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $13$, а их произведение $36$. Отсюда корни $x_3 = 4$, $x_4 = 9$.

Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) исключает значения $x = 4$ и $x = 9$.

Сравниваем полученные решения ($6$ и $9$) с ОДЗ. Корень $x=9$ является посторонним, так как он не входит в ОДЗ. Корень $x=6$ удовлетворяет условию.

Ответ: $6$.

б)

Решим уравнение $\frac{3x - 6}{x^2 - 5x + 6} = 1$.

Уравнение эквивалентно системе:

$ \begin{cases} 3x - 6 = x^2 - 5x + 6, \\ x^2 - 5x + 6 \neq 0. \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$x^2 - 5x - 3x + 6 + 6 = 0$

$x^2 - 8x + 12 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $8$, а их произведение $12$. Отсюда $x_1 = 2$, $x_2 = 6$.

Теперь найдем ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а их произведение $6$. Отсюда корни $x_3 = 2$, $x_4 = 3$.

Следовательно, ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq 3$.

Сравниваем полученные решения ($2$ и $6$) с ОДЗ. Корень $x=2$ является посторонним. Корень $x=6$ удовлетворяет условию.

Ответ: $6$.

в)

Решим уравнение $\frac{2x - 6}{5x^2 - 17x + 6} = 1$.

Уравнение эквивалентно системе:

$ \begin{cases} 2x - 6 = 5x^2 - 17x + 6, \\ 5x^2 - 17x + 6 \neq 0. \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$5x^2 - 17x - 2x + 6 + 6 = 0$

$5x^2 - 19x + 12 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 12 = 361 - 240 = 121 = 11^2$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 \pm 11}{2 \cdot 5}$

$x_1 = \frac{19 + 11}{10} = \frac{30}{10} = 3$

$x_2 = \frac{19 - 11}{10} = \frac{8}{10} = 0.8$

Теперь найдем ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$5x^2 - 17x + 6 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 289 - 120 = 169 = 13^2$.

$x_{3,4} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm 13}{2 \cdot 5}$

$x_3 = \frac{17 + 13}{10} = \frac{30}{10} = 3$

$x_4 = \frac{17 - 13}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$

Следовательно, ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq 0.4$.

Сравниваем полученные решения ($3$ и $0.8$) с ОДЗ. Корень $x=3$ является посторонним. Корень $x=0.8$ удовлетворяет условию.

Ответ: $0.8$.

53 a) $\frac{5}{x^2 - 12x + 36} + \frac{1}{36 - x^2} - \frac{1}{x + 6} = 0;$

б) $\frac{4}{x^2 - 10x + 25} + \frac{1}{25 - x^2} - \frac{1}{x + 5} = 0;$

в) $\frac{8 - x}{x - 6} - \frac{x^2 - 15x + 57}{x^2 - 13x + 43} = 0;$

г) $\frac{7 - x}{x - 5} - \frac{x^2 - 13x + 43}{x^2 - 11x + 31} = 0;$

д) $\frac{65}{1 - x^3} + \frac{17x - 10}{x^2 + x + 1} = \frac{25}{x - 1};$

е) $\frac{12}{x^3 - 8} + \frac{x + 1}{x^2 + 2x + 4} = \frac{4}{x - 2}.$

а) $\frac{5}{x^2 - 12x + 36} + \frac{1}{36 - x^2} - \frac{1}{x+6} = 0$

Сначала разложим знаменатели на множители. Используем формулы квадрата разности и разности квадратов:

$x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2$

$36 - x^2 = (6 - x)(6 + x) = -(x - 6)(x + 6)$

Перепишем уравнение:

$\frac{5}{(x-6)^2} - \frac{1}{(x-6)(x+6)} - \frac{1}{x+6} = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x-6 \neq 0$ и $x+6 \neq 0$. Таким образом, $x \neq 6$ и $x \neq -6$.

Общий знаменатель для дробей: $(x-6)^2(x+6)$. Умножим обе части уравнения на него:

$5(x+6) - 1(x-6) - 1(x-6)^2 = 0$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$5x + 30 - x + 6 - (x^2 - 12x + 36) = 0$

$4x + 36 - x^2 + 12x - 36 = 0$

$-x^2 + 16x = 0$

$x^2 - 16x = 0$

$x(x - 16) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 16$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($0 \neq \pm 6$ и $16 \neq \pm 6$), поэтому оба являются решениями уравнения.

Ответ: $0; 16$.

б) $\frac{4}{x^2 - 10x + 25} + \frac{1}{25 - x^2} - \frac{1}{x+5} = 0$

Разложим знаменатели на множители:

$x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$

$25 - x^2 = (5 - x)(5 + x) = -(x - 5)(x + 5)$

Подставим в уравнение:

$\frac{4}{(x-5)^2} - \frac{1}{(x-5)(x+5)} - \frac{1}{x+5} = 0$

ОДЗ: $x \neq 5$ и $x \neq -5$.

Общий знаменатель: $(x-5)^2(x+5)$. Умножим на него обе части уравнения:

$4(x+5) - 1(x-5) - 1(x-5)^2 = 0$

Раскроем скобки:

$4x + 20 - x + 5 - (x^2 - 10x + 25) = 0$

$3x + 25 - x^2 + 10x - 25 = 0$

$-x^2 + 13x = 0$

$x^2 - 13x = 0$

$x(x - 13) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 13$.

Оба корня входят в ОДЗ ($0 \neq \pm 5$ и $13 \neq \pm 5$).

Ответ: $0; 13$.

в) $\frac{8-x}{x-6} - \frac{x^2 - 15x + 57}{x^2 - 13x + 42} = 0$

Разложим знаменатель второй дроби на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 13x + 42 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=6, x_2=7$. Значит, $x^2 - 13x + 42 = (x-6)(x-7)$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{8-x}{x-6} - \frac{x^2 - 15x + 57}{(x-6)(x-7)} = 0$

ОДЗ: $x \neq 6$ и $x \neq 7$.

Общий знаменатель: $(x-6)(x-7)$. Умножим на него:

$(8-x)(x-7) - (x^2 - 15x + 57) = 0$

$8x - 56 - x^2 + 7x - x^2 + 15x - 57 = 0$

$-2x^2 + 30x - 113 = 0$

$2x^2 - 30x + 113 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 113 = 900 - 904 = -4$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

г) $\frac{7-x}{x-5} - \frac{x^2 - 13x + 43}{x^2 - 11x + 30} = 0$

Разложим знаменатель $x^2 - 11x + 30$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 11x + 30 = 0$ по теореме Виета равны 5 и 6. Таким образом, $x^2 - 11x + 30 = (x-5)(x-6)$.

Перепишем уравнение:

$\frac{7-x}{x-5} - \frac{x^2 - 13x + 43}{(x-5)(x-6)} = 0$

ОДЗ: $x \neq 5$ и $x \neq 6$.

Общий знаменатель: $(x-5)(x-6)$. Умножим на него обе части:

$(7-x)(x-6) - (x^2 - 13x + 43) = 0$

$7x - 42 - x^2 + 6x - x^2 + 13x - 43 = 0$

$-2x^2 + 26x - 85 = 0$

$2x^2 - 26x + 85 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 85 = 676 - 680 = -4$.

Дискриминант отрицательный, следовательно, действительных корней нет.

Ответ: нет корней.

д) $\frac{65}{1-x^3} + \frac{17x - 10}{x^2 + x + 1} = \frac{25}{x-1}$

Используем формулу разности кубов $1-x^3 = (1-x)(1+x+x^2)$. Также учтем, что $x-1 = -(1-x)$.

$\frac{65}{(1-x)(x^2+x+1)} + \frac{17x - 10}{x^2 + x + 1} = \frac{25}{-(1-x)}$

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{65}{(1-x)(x^2+x+1)} + \frac{17x - 10}{x^2 + x + 1} + \frac{25}{1-x} = 0$

ОДЗ: $1-x \neq 0$, то есть $x \neq 1$. Выражение $x^2+x+1$ всегда положительно.

Общий знаменатель: $(1-x)(x^2+x+1)$. Умножим на него:

$65 + (17x - 10)(1-x) + 25(x^2+x+1) = 0$

$65 + 17x - 17x^2 - 10 + 10x + 25x^2 + 25x + 25 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(-17x^2 + 25x^2) + (17x + 10x + 25x) + (65 - 10 + 25) = 0$

$8x^2 + 52x + 80 = 0$

Разделим уравнение на 4:

$2x^2 + 13x + 20 = 0$

Решим квадратное уравнение. $D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot 20 = 169 - 160 = 9 = 3^2$.

$x_1 = \frac{-13 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$

$x_2 = \frac{-13 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 1$).

Ответ: $-4; -2.5$.

е) $\frac{12}{x^3 - 8} + \frac{x+1}{x^2 + 2x + 4} = \frac{4}{x-2}$

Используем формулу разности кубов $x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)$.

$\frac{12}{(x-2)(x^2+2x+4)} + \frac{x+1}{x^2+2x+4} - \frac{4}{x-2} = 0$

ОДЗ: $x-2 \neq 0$, т.е. $x \neq 2$. Выражение $x^2+2x+4$ всегда положительно.

Общий знаменатель: $(x-2)(x^2+2x+4)$. Умножим на него:

$12 + (x+1)(x-2) - 4(x^2+2x+4) = 0$

$12 + x^2 - 2x + x - 2 - 4x^2 - 8x - 16 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - 4x^2) + (-2x + x - 8x) + (12 - 2 - 16) = 0$

$-3x^2 - 9x - 6 = 0$

Разделим уравнение на -3:

$x^2 + 3x + 2 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2$).

Ответ: $-1; -2$.

54 a) $\frac{6}{x^2 - 1} + \frac{2}{x + 1} = 2 - \frac{x - 4}{x - 1};$

б) $\frac{30}{x^2 - 1} - \frac{13}{x^2 + x + 1} = \frac{18x + 7}{x^3 - 1}.$

а) $ \frac{6}{x^2 - 1} + \frac{2}{x + 1} = 2 - \frac{x - 4}{x - 1} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.
$x^2 - 1 \neq 0 \implies (x - 1)(x + 1) \neq 0 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.
$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$.
$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq \pm 1$.

2. Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$ \frac{6}{x^2 - 1} + \frac{2}{x + 1} - 2 + \frac{x - 4}{x - 1} = 0 $

3. Приведем все слагаемые к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей это $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.

$ \frac{6}{(x-1)(x+1)} + \frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{2(x^2-1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{(x-4)(x+1)}{(x-1)(x+1)} = 0 $

4. Так как знаменатель не равен нулю в ОДЗ, мы можем приравнять числитель к нулю:

$ 6 + 2(x - 1) - 2(x^2 - 1) + (x - 4)(x + 1) = 0 $

5. Раскроем скобки и упростим выражение:

$ 6 + 2x - 2 - 2x^2 + 2 + x^2 + x - 4x - 4 = 0 $

Приведем подобные члены:

$ (-2x^2 + x^2) + (2x + x - 4x) + (6 - 2 + 2 - 4) = 0 $

$ -x^2 - x + 2 = 0 $

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$ x^2 + x - 2 = 0 $

6. Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -1$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -2$
Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

7. Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ.
Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 1$), поэтому это посторонний корень.
Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -2.

б) $ \frac{30}{x^2 - 1} - \frac{13}{x^2 + x + 1} = \frac{18x + 7}{x^3 - 1} $

1. Найдем ОДЗ. Для этого разложим знаменатели на множители:
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$
$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$ (формула разности кубов)
Квадратный трехчлен $x^2 + x + 1$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, и он всегда положителен.
Таким образом, условия для ОДЗ: $x - 1 \neq 0$ и $x + 1 \neq 0$.
ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

2. Общий знаменатель для всех дробей: $(x - 1)(x + 1)(x^2 + x + 1)$.

3. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$ \frac{30(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)} - \frac{13(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)} = \frac{(18x+7)(x+1)}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)} $

4. Перейдем к уравнению числителей, учитывая ОДЗ:

$ 30(x^2 + x + 1) - 13(x^2 - 1) = (18x + 7)(x + 1) $

5. Раскроем скобки:

$ 30x^2 + 30x + 30 - 13x^2 + 13 = 18x^2 + 18x + 7x + 7 $

6. Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$ 17x^2 + 30x + 43 = 18x^2 + 25x + 7 $

7. Перенесем все члены в правую часть и приравняем к нулю:

$ 0 = (18x^2 - 17x^2) + (25x - 30x) + (7 - 43) $

$ 0 = x^2 - 5x - 36 $

8. Решим полученное квадратное уравнение $x^2 - 5x - 36 = 0$ с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2 $

Найдем корни:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4 $

9. Оба корня, $x_1 = 9$ и $x_2 = -4$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -1$).

Ответ: -4; 9.

55 a) $\frac{x^{17}-1}{1-x^{15}} = \frac{1-x^{15}}{x^{13}-1}$;

б) $\frac{1-x^{11}}{1-x^9} = \frac{1-x^9}{1-x^7}$.

a)

Исходное уравнение: $ \frac{x^{17} - 1}{1 - x^{15}} = \frac{1 - x^{15}}{x^{13} - 1} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю:

$ 1 - x^{15} \neq 0 \implies x^{15} \neq 1 \implies x \neq 1 $.

$ x^{13} - 1 \neq 0 \implies x^{13} \neq 1 \implies x \neq 1 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \neq 1 $.

Применим свойство пропорции (перекрестное умножение):

$ (x^{17} - 1)(x^{13} - 1) = (1 - x^{15})(1 - x^{15}) $.

$ (x^{17} - 1)(x^{13} - 1) = (1 - x^{15})^2 $.

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ x^{17} \cdot x^{13} - x^{17} \cdot 1 - 1 \cdot x^{13} + 1 \cdot 1 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot x^{15} + (x^{15})^2 $.

$ x^{30} - x^{17} - x^{13} + 1 = 1 - 2x^{15} + x^{30} $.

Сократим одинаковые члены ($x^{30}$ и 1) в обеих частях:

$ -x^{17} - x^{13} = -2x^{15} $.

Умножим обе части на -1 и перенесем все члены в одну сторону:

$ x^{17} + x^{13} = 2x^{15} $.

$ x^{17} - 2x^{15} + x^{13} = 0 $.

Вынесем общий множитель $x^{13}$ за скобки:

$ x^{13}(x^4 - 2x^2 + 1) = 0 $.

Выражение в скобках является формулой квадрата разности: $x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2 - 1)^2$.

Получаем уравнение:

$ x^{13}(x^2 - 1)^2 = 0 $.

Это уравнение имеет решения, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $ x^{13} = 0 \implies x = 0 $.

2) $ (x^2 - 1)^2 = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 $ или $ x = -1 $.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 1 $):

Корень $ x = 0 $ удовлетворяет ОДЗ. Подставим в исходное уравнение: $ \frac{-1}{1} = \frac{1}{-1} $, что верно.

Корень $ x = 1 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатели обращаются в ноль.

Корень $ x = -1 $ удовлетворяет ОДЗ. Проверим его подстановкой:

Левая часть: $ \frac{(-1)^{17} - 1}{1 - (-1)^{15}} = \frac{-1 - 1}{1 - (-1)} = \frac{-2}{2} = -1 $.

Правая часть: $ \frac{1 - (-1)^{15}}{(-1)^{13} - 1} = \frac{1 - (-1)}{-1 - 1} = \frac{2}{-2} = -1 $.

Поскольку $ -1 = -1 $, равенство верное.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $ x = 0; x = -1 $.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{1 - x^{11}}{1 - x^9} = \frac{1 - x^9}{1 - x^7} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю:

$ 1 - x^9 \neq 0 \implies x^9 \neq 1 \implies x \neq 1 $.

$ 1 - x^7 \neq 0 \implies x^7 \neq 1 \implies x \neq 1 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \neq 1 $.

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$ (1 - x^{11})(1 - x^7) = (1 - x^9)(1 - x^9) $.

$ (1 - x^{11})(1 - x^7) = (1 - x^9)^2 $.

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ 1 \cdot 1 - 1 \cdot x^7 - x^{11} \cdot 1 + x^{11} \cdot x^7 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot x^9 + (x^9)^2 $.

$ 1 - x^7 - x^{11} + x^{18} = 1 - 2x^9 + x^{18} $.

Сократим одинаковые члены (1 и $x^{18}$) в обеих частях:

$ -x^7 - x^{11} = -2x^9 $.

Умножим обе части на -1 и перенесем все члены в одну сторону:

$ x^{11} + x^7 = 2x^9 $.

$ x^{11} - 2x^9 + x^7 = 0 $.

Вынесем общий множитель $x^7$ за скобки:

$ x^7(x^4 - 2x^2 + 1) = 0 $.

Выражение в скобках является формулой квадрата разности: $x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2 - 1)^2$.

Получаем уравнение:

$ x^7(x^2 - 1)^2 = 0 $.

Это уравнение имеет решения, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $ x^7 = 0 \implies x = 0 $.

2) $ (x^2 - 1)^2 = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 $ или $ x = -1 $.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 1 $):

Корень $ x = 0 $ удовлетворяет ОДЗ. Подставим в исходное уравнение: $ \frac{1}{1} = \frac{1}{1} $, что верно.

Корень $ x = 1 $ не удовлетворяет ОДЗ.

Корень $ x = -1 $ удовлетворяет ОДЗ. Проверим его подстановкой:

Левая часть: $ \frac{1 - (-1)^{11}}{1 - (-1)^9} = \frac{1 - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{2}{2} = 1 $.

Правая часть: $ \frac{1 - (-1)^9}{1 - (-1)^7} = \frac{1 - (-1)}{1 - (-1)} = \frac{2}{2} = 1 $.

Поскольку $ 1 = 1 $, равенство верное.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $ x = 0; x = -1 $.

56 Являются ли числа 1, -1, 2, -2 корнями многочлена:

a) $P_3(x) = 3x^3 + 8x^2 + 3x - 2;$

б) $P_3(x) = 3x^3 + 5x^2 - 8;$

в) $P_3(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2;$

г) $P_4(x) = x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 5x - 12?$

Чтобы определить, является ли число корнем многочлена, необходимо подставить это число в выражение многочлена вместо переменной $x$. Если в результате вычислений получится ноль, то данное число является корнем многочлена. Проверим предложенные числа (1, -1, 2, -2) для каждого из многочленов.

а) Для многочлена $P_3(x) = 3x^3 + 8x^2 + 3x - 2$

Проверка для $x = 1$:
$P_3(1) = 3 \cdot 1^3 + 8 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 - 2 = 3 + 8 + 3 - 2 = 12$.
Так как $12 \neq 0$, число 1 не является корнем.

Проверка для $x = -1$:
$P_3(-1) = 3 \cdot (-1)^3 + 8 \cdot (-1)^2 + 3 \cdot (-1) - 2 = -3 + 8 - 3 - 2 = 0$.
Так как результат равен 0, число -1 является корнем.

Проверка для $x = 2$:
$P_3(2) = 3 \cdot 2^3 + 8 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 - 2 = 3 \cdot 8 + 8 \cdot 4 + 6 - 2 = 24 + 32 + 6 - 2 = 60$.
Так как $60 \neq 0$, число 2 не является корнем.

Проверка для $x = -2$:
$P_3(-2) = 3 \cdot (-2)^3 + 8 \cdot (-2)^2 + 3 \cdot (-2) - 2 = 3 \cdot (-8) + 8 \cdot 4 - 6 - 2 = -24 + 32 - 6 - 2 = 0$.
Так как результат равен 0, число -2 является корнем.

Ответ: корнями многочлена из предложенных чисел являются -1 и -2.

б) Для многочлена $P_3(x) = 3x^3 + 5x^2 - 8$

Проверка для $x = 1$:
$P_3(1) = 3 \cdot 1^3 + 5 \cdot 1^2 - 8 = 3 + 5 - 8 = 0$.
Так как результат равен 0, число 1 является корнем.

Проверка для $x = -1$:
$P_3(-1) = 3 \cdot (-1)^3 + 5 \cdot (-1)^2 - 8 = -3 + 5 - 8 = -6$.
Так как $-6 \neq 0$, число -1 не является корнем.

Проверка для $x = 2$:
$P_3(2) = 3 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^2 - 8 = 3 \cdot 8 + 5 \cdot 4 - 8 = 24 + 20 - 8 = 36$.
Так как $36 \neq 0$, число 2 не является корнем.

Проверка для $x = -2$:
$P_3(-2) = 3 \cdot (-2)^3 + 5 \cdot (-2)^2 - 8 = 3 \cdot (-8) + 5 \cdot 4 - 8 = -24 + 20 - 8 = -12$.
Так как $-12 \neq 0$, число -2 не является корнем.

Ответ: корнем многочлена из предложенных чисел является 1.

в) Для многочлена $P_3(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$

Проверка для $x = 1$:
$P_3(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 - 1 + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = 0$.
Так как результат равен 0, число 1 является корнем.

Проверка для $x = -1$:
$P_3(-1) = (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 - (-1) + 2 = -1 - 2 + 1 + 2 = 0$.
Так как результат равен 0, число -1 является корнем.

Проверка для $x = 2$:
$P_3(2) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 - 2 + 2 = 8 - 8 - 2 + 2 = 0$.
Так как результат равен 0, число 2 является корнем.

Проверка для $x = -2$:
$P_3(-2) = (-2)^3 - 2 \cdot (-2)^2 - (-2) + 2 = -8 - 8 + 2 + 2 = -12$.
Так как $-12 \neq 0$, число -2 не является корнем.

Ответ: корнями многочлена из предложенных чисел являются 1, -1 и 2.

г) Для многочлена $P_4(x) = x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 5x - 12$

Проверка для $x = 1$:
$P_4(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^3 - 7 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 - 12 = 1 - 2 - 7 + 5 - 12 = -15$.
Так как $-15 \neq 0$, число 1 не является корнем.

Проверка для $x = -1$:
$P_4(-1) = (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^3 - 7 \cdot (-1)^2 + 5 \cdot (-1) - 12 = 1 + 2 - 7 - 5 - 12 = -21$.
Так как $-21 \neq 0$, число -1 не является корнем.

Проверка для $x = 2$:
$P_4(2) = 2^4 - 2 \cdot 2^3 - 7 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2 - 12 = 16 - 16 - 28 + 10 - 12 = -30$.
Так как $-30 \neq 0$, число 2 не является корнем.

Проверка для $x = -2$:
$P_4(-2) = (-2)^4 - 2 \cdot (-2)^3 - 7 \cdot (-2)^2 + 5 \cdot (-2) - 12 = 16 + 16 - 28 - 10 - 12 = 32 - 50 = -18$.
Так как $-18 \neq 0$, число -2 не является корнем.

Ответ: ни одно из предложенных чисел не является корнем многочлена.

57 Среди каких рациональных чисел следует искать корни многочлена, если они существуют:

а) $P_3 (x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 2;$

б) $P_3 (x) = 2x^3 + 3x^2 - 3;$

в) $P_3 (x) = 2x^3 + 2x^2 - x - 1;$

г) $P_4 (x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 + 3x - 6?$

Для решения этой задачи используется теорема о рациональных корнях многочлена. Она гласит, что если многочлен с целыми коэффициентами $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ имеет рациональный корень $x = p/q$ (где $p$ и $q$ — взаимно простые целые числа, $q \neq 0$), то числитель $p$ должен быть делителем свободного члена $a_0$, а знаменатель $q$ — натуральным делителем старшего коэффициента $a_n$.

а) $P_3(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 2$

Здесь старший коэффициент $a_3 = 1$, а свободный член $a_0 = -2$.

Находим все целые делители свободного члена $a_0 = -2$. Это числа $p \in \{\pm1, \pm2\}$.

Находим все натуральные делители старшего коэффициента $a_3 = 1$. Это число $q \in \{1\}$.

Возможные рациональные корни — это всевозможные дроби вида $p/q$. Составляем их список: $\frac{\pm1}{1}, \frac{\pm2}{1}$.

Ответ: $\{\pm1, \pm2\}$.

б) $P_3(x) = 2x^3 + 3x^2 - 3$

Здесь старший коэффициент $a_3 = 2$, а свободный член $a_0 = -3$.

Делители свободного члена $a_0 = -3$: $p \in \{\pm1, \pm3\}$.

Натуральные делители старшего коэффициента $a_3 = 2$: $q \in \{1, 2\}$.

Составляем список всех возможных дробей $p/q$: $\frac{\pm1}{1}, \frac{\pm1}{2}, \frac{\pm3}{1}, \frac{\pm3}{2}$.

Ответ: $\{\pm1, \pm3, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{3}{2}\}$.

в) $P_3(x) = 2x^3 + 2x^2 - x - 1$

Здесь старший коэффициент $a_3 = 2$, а свободный член $a_0 = -1$.

Делители свободного члена $a_0 = -1$: $p \in \{\pm1\}$.

Натуральные делители старшего коэффициента $a_3 = 2$: $q \in \{1, 2\}$.

Составляем список всех возможных дробей $p/q$: $\frac{\pm1}{1}, \frac{\pm1}{2}$.

Ответ: $\{\pm1, \pm\frac{1}{2}\}$.

г) $P_4(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 + 3x - 6$

Здесь старший коэффициент $a_4 = 1$, а свободный член $a_0 = -6$.

Делители свободного члена $a_0 = -6$: $p \in \{\pm1, \pm2, \pm3, \pm6\}$.

Натуральные делители старшего коэффициента $a_4 = 1$: $q \in \{1\}$.

Составляем список всех возможных дробей $p/q$: $\frac{\pm1}{1}, \frac{\pm2}{1}, \frac{\pm3}{1}, \frac{\pm6}{1}$.

Ответ: $\{\pm1, \pm2, \pm3, \pm6\}$.

Решите уравнение (58–59):

58

а) $x^3 - 4x^2 + 6x - 3 = 0;$

б) $4x^3 + 3x^2 + 1 = 0;$

в) $2x^3 - 4x^2 - 3x + 6 = 0;$

г) $2x^4 - x^3 - 6x^2 + 3x = 0.$

а) $x^3 - 4x^2 + 6x - 3 = 0$

Данное уравнение является кубическим. Для нахождения его корней воспользуемся теоремой о рациональных корнях, согласно которой, если уравнение имеет рациональные корни, то они являются делителями свободного члена (-3). Возможные рациональные корни: $ \pm 1, \pm 3 $.

Проверим корень $x = 1$:

$1^3 - 4(1)^2 + 6(1) - 3 = 1 - 4 + 6 - 3 = 0$.

Поскольку равенство верное, $x = 1$ является корнем уравнения. Это значит, что многочлен в левой части уравнения делится на $(x - 1)$ без остатка.

Выполнив деление многочлена $x^3 - 4x^2 + 6x - 3$ на двучлен $(x - 1)$, получаем:

$(x^3 - 4x^2 + 6x - 3) \div (x - 1) = x^2 - 3x + 3$.

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде произведения:

$(x - 1)(x^2 - 3x + 3) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x - 1 = 0 \implies x = 1$.

2) $x^2 - 3x + 3 = 0$.

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.

Так как дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, у исходного уравнения есть только один действительный корень.

Ответ: $1$.

б) $4x^3 + 3x^2 + 1 = 0$

Это кубическое уравнение. Проверим наличие рациональных корней. Согласно теореме о рациональных корнях, возможные корни имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ — делитель свободного члена (1), а $q$ — делитель старшего коэффициента (4). Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}$.

Проверим корень $x = -1$:

$4(-1)^3 + 3(-1)^2 + 1 = 4(-1) + 3(1) + 1 = -4 + 3 + 1 = 0$.

Так как $x = -1$ является корнем, разделим многочлен $4x^3 + 3x^2 + 1$ на $(x + 1)$:

$(4x^3 + 3x^2 + 1) \div (x + 1) = 4x^2 - x + 1$.

Уравнение можно представить в виде:

$(x + 1)(4x^2 - x + 1) = 0$.

Рассмотрим два случая:

1) $x + 1 = 0 \implies x = -1$.

2) $4x^2 - x + 1 = 0$.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15$.

Поскольку $D < 0$, у этого квадратного уравнения нет действительных корней.

Таким образом, исходное уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: $-1$.

в) $2x^3 - 4x^2 - 3x + 6 = 0$

Для решения этого уравнения применим метод группировки слагаемых:

$(2x^3 - 4x^2) + (-3x + 6) = 0$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$2x^2(x - 2) - 3(x - 2) = 0$.

Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(2x^2 - 3) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$.

2) $2x^2 - 3 = 0 \implies 2x^2 = 3 \implies x^2 = \frac{3}{2}$.

Отсюда находим еще два корня:

$x_{2,3} = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: $2; \frac{\sqrt{6}}{2}; -\frac{\sqrt{6}}{2}$.

г) $2x^4 - x^3 - 6x^2 + 3x = 0$

Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2x^3 - x^2 - 6x + 3) = 0$.

Это уравнение распадается на два:

1) $x_1 = 0$.

2) $2x^3 - x^2 - 6x + 3 = 0$.

Решим второе кубическое уравнение методом группировки:

$(2x^3 - x^2) + (-6x + 3) = 0$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(2x - 1) - 3(2x - 1) = 0$.

Вынесем общий множитель $(2x - 1)$ за скобки:

$(2x - 1)(x^2 - 3) = 0$.

Это уравнение также распадается на два:

а) $2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{2}$.

б) $x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x_{3,4} = \pm \sqrt{3}$.

Собирая все найденные корни, получаем четыре решения.

Ответ: $0; \frac{1}{2}; \sqrt{3}; -\sqrt{3}$.

59 a) $x^3 + 2x^2 - 5x - 10 = 0;$

B) $x^3 - 4x^2 + x - 4 = 0;$

б) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0;$

Г) $2x^3 - 15x^2 + 34x - 24 = 0.$

а) $x^3 + 2x^2 - 5x - 10 = 0$

Сгруппируем члены уравнения, чтобы вынести общий множитель:

$(x^3 + 2x^2) - (5x + 10) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 2) - 5(x + 2) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x + 2)$ за скобки:

$(x + 2)(x^2 - 5) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум уравнениям:

1) $x + 2 = 0 \Rightarrow x_1 = -2$

2) $x^2 - 5 = 0 \Rightarrow x^2 = 5 \Rightarrow x_{2,3} = \pm\sqrt{5}$

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = \sqrt{5}, x_3 = -\sqrt{5}$.

б) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$

Сгруппируем члены уравнения:

$(x^3 - 3x^2) - (4x - 12) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 3) - 4(x - 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:

$(x - 3)(x^2 - 4) = 0$

Множитель $(x^2 - 4)$ можно разложить по формуле разности квадратов: $(x-2)(x+2)$.

$(x - 3)(x - 2)(x + 2) = 0$

Приравнивая каждый множитель к нулю, находим корни:

1) $x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 3$

2) $x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

3) $x + 2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2$

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = 2, x_3 = -2$.

в) $x^3 - 4x^2 + x - 4 = 0$

Сгруппируем члены уравнения:

$(x^3 - 4x^2) + (x - 4) = 0$

Вынесем общий множитель из первой группы:

$x^2(x - 4) + 1(x - 4) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 4)$ за скобки:

$(x - 4)(x^2 + 1) = 0$

Получаем два случая:

1) $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$

2) $x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $x = 4$.

г) $2x^3 - 15x^2 + 34x - 24 = 0$

Для решения этого уравнения применим теорему о рациональных корнях многочлена. Возможные рациональные корни имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ — целый делитель свободного члена $(-24)$, а $q$ — натуральный делитель старшего коэффициента $(2)$.

Делители $p$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$.

Делители $q$: $1, 2$.

Проверим некоторые из возможных корней подстановкой в уравнение. Обозначим многочлен как $P(x) = 2x^3 - 15x^2 + 34x - 24$.

Проверим $x = 2$:

$P(2) = 2(2)^3 - 15(2)^2 + 34(2) - 24 = 2 \cdot 8 - 15 \cdot 4 + 68 - 24 = 16 - 60 + 68 - 24 = 0$.

Так как $P(2) = 0$, то $x_1 = 2$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $P(x)$ делится на $(x - 2)$ без остатка. Выполним деление многочлена на двучлен, например, по схеме Горнера или делением в столбик.

$(2x^3 - 15x^2 + 34x - 24) \div (x - 2) = 2x^2 - 11x + 12$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(x - 2)(2x^2 - 11x + 12) = 0$

Теперь решим получившееся квадратное уравнение $2x^2 - 11x + 12 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 121 - 96 = 25$.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{11 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{11 \pm 5}{4}$

$x_2 = \frac{11 + 5}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$x_3 = \frac{11 - 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Следовательно, у исходного уравнения три действительных корня.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = 4, x_3 = \frac{3}{2}$.