Страница 376 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

115 a) Последовательность ${a_n}$ задана формулой общего члена $a_n = 1.5n - 6$. Сколько членов этой последовательности, начиная с первого, надо сложить, чтобы получить сумму, равную 33?

б) Последовательность ${a_n}$ задана формулой общего члена $a_n = 18 - 0.25n$. Найдите сумму двадцати первых её членов.

а)

Последовательность задана формулой общего члена $a_n = 1.5n - 6$. Это формула линейной функции от $n$, следовательно, последовательность $\{a_n\}$ является арифметической прогрессией.

Найдем первый член и разность этой прогрессии.

Первый член прогрессии (при $n=1$):
$a_1 = 1.5 \cdot 1 - 6 = 1.5 - 6 = -4.5$

Второй член прогрессии (при $n=2$):
$a_2 = 1.5 \cdot 2 - 6 = 3 - 6 = -3$

Разность арифметической прогрессии:
$d = a_2 - a_1 = -3 - (-4.5) = 1.5$

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

По условию, сумма $S_n = 33$. Подставим известные значения в формулу и решим уравнение относительно $n$:
$33 = \frac{2(-4.5) + 1.5(n-1)}{2} \cdot n$
$33 = \frac{-9 + 1.5n - 1.5}{2} \cdot n$
$66 = (-10.5 + 1.5n) \cdot n$
$1.5n^2 - 10.5n - 66 = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$3n^2 - 21n - 132 = 0$

Разделим обе части на 3 для упрощения:
$n^2 - 7n - 44 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу корней. Воспользуемся формулой корней:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44) = 49 + 176 = 225$
$\sqrt{D} = 15$

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 15}{2} = \frac{22}{2} = 11$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 15}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, корень $n_2 = -4$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, $n = 11$.

Ответ: 11.

б)

Последовательность задана формулой общего члена $a_n = 18 - 0.25n$. Эта последовательность также является арифметической прогрессией.

Требуется найти сумму первых двадцати её членов, то есть $S_{20}$.

Для вычисления суммы воспользуемся формулой $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Найдем первый член прогрессии (при $n=1$):
$a_1 = 18 - 0.25 \cdot 1 = 17.75$

Найдем двадцатый член прогрессии (при $n=20$):
$a_{20} = 18 - 0.25 \cdot 20 = 18 - 5 = 13$

Теперь подставим найденные значения в формулу суммы для $n=20$:
$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20$
$S_{20} = \frac{17.75 + 13}{2} \cdot 20$
$S_{20} = (17.75 + 13) \cdot 10$
$S_{20} = 30.75 \cdot 10 = 307.5$

Ответ: 307.5.

116 a) Сумма первых пяти членов возрастающей арифметической прогрессии равна 15, а их произведение равно 1155. Найдите шестидесятый член прогрессии.

б) Сумма первых пяти членов убывающей арифметической прогрессии равна 5, а их произведение равно 280. Найдите семидесятый член прогрессии.

а) Пусть дана возрастающая арифметическая прогрессия $(a_n)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d > 0$. Первые пять членов прогрессии можно представить в виде $a_1, a_1+d, a_1+2d, a_1+3d, a_1+4d$. Для упрощения вычислений удобнее представить их симметрично относительно среднего (третьего) члена. Пусть $a_3 = a$, тогда члены прогрессии: $a-2d, a-d, a, a+d, a+2d$.
По условию, сумма первых пяти членов равна 15:
$S_5 = (a - 2d) + (a - d) + a + (a + d) + (a + 2d) = 5a$
$5a = 15 \implies a = 3$.
Таким образом, третий член прогрессии $a_3 = 3$.
Теперь мы знаем, что члены прогрессии имеют вид: $3-2d, 3-d, 3, 3+d, 3+2d$.
Их произведение равно 1155:
$(3-2d)(3-d) \cdot 3 \cdot (3+d)(3+2d) = 1155$
Разделим обе части на 3 и сгруппируем множители, используя формулу разности квадратов:
$((3-d)(3+d)) \cdot ((3-2d)(3+2d)) = 385$
$(9 - d^2)(9 - 4d^2) = 385$
Сделаем замену $x = d^2$. Так как $d \ne 0$, то $x > 0$.
$(9 - x)(9 - 4x) = 385$
$81 - 36x - 9x + 4x^2 = 385$
$4x^2 - 45x + 81 - 385 = 0$
$4x^2 - 45x - 304 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-45)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-304) = 2025 + 4864 = 6889 = 83^2$.
$x = \frac{45 \pm 83}{8}$
$x_1 = \frac{45 + 83}{8} = \frac{128}{8} = 16$
$x_2 = \frac{45 - 83}{8} = \frac{-38}{8} = -4.75$
Поскольку $x = d^2 > 0$, нам подходит только корень $x=16$.
$d^2 = 16 \implies d = \pm 4$.
Так как прогрессия возрастающая, $d > 0$, следовательно, $d = 4$.
Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$. Мы знаем, что $a_3 = 3$ и $d=4$.
$a_3 = a_1 + 2d \implies 3 = a_1 + 2 \cdot 4 \implies 3 = a_1 + 8 \implies a_1 = -5$.
Найдем шестидесятый член прогрессии по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_{60} = -5 + (60 - 1) \cdot 4 = -5 + 59 \cdot 4 = -5 + 236 = 231$.
Ответ: 231

б) Пусть дана убывающая арифметическая прогрессия $(a_n)$ с разностью $d < 0$. Аналогично пункту а), представим первые пять членов симметрично относительно $a_3 = a$: $a-2d, a-d, a, a+d, a+2d$.
Сумма первых пяти членов равна 5:
$S_5 = (a - 2d) + (a - d) + a + (a + d) + (a + 2d) = 5a$
$5a = 5 \implies a = 1$.
Третий член прогрессии $a_3 = 1$.
Члены прогрессии: $1-2d, 1-d, 1, 1+d, 1+2d$.
Их произведение равно 280:
$(1-2d)(1-d) \cdot 1 \cdot (1+d)(1+2d) = 280$
$(1 - d^2)(1 - 4d^2) = 280$
Сделаем замену $x = d^2$ ($x > 0$):
$(1 - x)(1 - 4x) = 280$
$1 - 5x + 4x^2 = 280$
$4x^2 - 5x - 279 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-279) = 25 + 4464 = 4489 = 67^2$.
$x = \frac{5 \pm 67}{8}$
$x_1 = \frac{5 + 67}{8} = \frac{72}{8} = 9$
$x_2 = \frac{5 - 67}{8} = \frac{-62}{8} = -7.75$
Поскольку $x = d^2 > 0$, подходит корень $x=9$.
$d^2 = 9 \implies d = \pm 3$.
Так как прогрессия убывающая, $d < 0$, следовательно, $d = -3$.
Найдем первый член прогрессии $a_1$. Мы знаем, что $a_3 = 1$ и $d=-3$.
$a_3 = a_1 + 2d \implies 1 = a_1 + 2 \cdot (-3) \implies 1 = a_1 - 6 \implies a_1 = 7$.
Найдем семидесятый член прогрессии:
$a_{70} = 7 + (70 - 1) \cdot (-3) = 7 + 69 \cdot (-3) = 7 - 207 = -200$.
Ответ: -200

117 а) Сумма членов конечной геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель положителен, равна $\frac{40}{27}$, а сумма тех же членов с чередующимися знаками (первый — со знаком «плюс», второй — со знаком «минус» и т. д.) равна $\frac{20}{27}$. Найдите знаменатель прогрессии.

б) Сумма членов конечной геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель положителен, равна $\frac{21}{16}$, а сумма тех же членов с чередующимися знаками (первый — со знаком «плюс», второй — со знаком «минус» и т. д.) равна $\frac{13}{16}$. Найдите знаменатель прогрессии.

а)

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия $b_1, b_2, \ldots, b_n$ с числом членов $n$. По условию, первый член прогрессии $b_1 = 1$, а ее знаменатель $q$ положителен ($q > 0$).

Сумма членов этой прогрессии $S_n$ вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Подставив известные значения, получим первое уравнение:
$S_n = \frac{1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1} = \frac{q^n - 1}{q - 1} = \frac{40}{27}$ (1)

Сумма тех же членов с чередующимися знаками, $S'_n = b_1 - b_2 + b_3 - \ldots$, представляет собой сумму другой геометрической прогрессии, у которой первый член равен 1, а знаменатель равен $(-q)$. Ее сумма вычисляется по формуле $S'_n = \frac{b_1((-q)^n - 1)}{-q - 1}$. Подставив известные значения, получим второе уравнение:
$S'_n = \frac{1 \cdot ((-q)^n - 1)}{-q - 1} = \frac{1 - (-q)^n}{1 + q} = \frac{20}{27}$ (2)

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с неизвестными $q$ и $n$. Решение зависит от четности числа членов $n$.

Случай 1: $n$ — четное число.
В этом случае $(-q)^n = q^n$. Уравнение (2) принимает вид:
$\frac{1 - q^n}{1 + q} = \frac{20}{27}$
Из уравнения (1) выразим $q^n - 1 = \frac{40}{27}(q - 1)$, что эквивалентно $1 - q^n = -\frac{40}{27}(q - 1)$. Подставим это выражение в уравнение для $S'_n$:
$\frac{-\frac{40}{27}(q - 1)}{1 + q} = \frac{20}{27}$
Разделим обе части на $\frac{20}{27}$:
$\frac{-2(q - 1)}{1 + q} = 1$
$-2(q - 1) = 1 + q$
$-2q + 2 = 1 + q$
$1 = 3q \implies q = \frac{1}{3}$
Проверим, существует ли целое четное $n$, удовлетворяющее условиям. Подставим $q = 1/3$ в уравнение (1):
$\frac{(1/3)^n - 1}{1/3 - 1} = \frac{40}{27} \implies \frac{(1/3)^n - 1}{-2/3} = \frac{40}{27}$
$(1/3)^n - 1 = -\frac{2}{3} \cdot \frac{40}{27} = -\frac{80}{81}$
$(1/3)^n = 1 - \frac{80}{81} = \frac{1}{81}$
Так как $\frac{1}{81} = (\frac{1}{3})^4$, получаем $n=4$. Это четное число, что соответствует предположению. Следовательно, $q = 1/3$ является решением.

Случай 2: $n$ — нечетное число.
В этом случае $(-q)^n = -q^n$. Уравнение (2) принимает вид:
$\frac{1 - (-q^n)}{1 + q} = \frac{1 + q^n}{1 + q} = \frac{20}{27}$
Из уравнения (1) выразим $q^n = 1 + \frac{40}{27}(q-1)$. Подставим это выражение:
$\frac{1 + (1 + \frac{40}{27}(q-1))}{1 + q} = \frac{20}{27} \implies \frac{2 + \frac{40}{27}(q-1)}{1 + q} = \frac{20}{27}$
$27 \cdot (2 + \frac{40}{27}(q-1)) = 20(1+q)$
$54 + 40(q-1) = 20 + 20q$
$54 + 40q - 40 = 20 + 20q$
$14 + 40q = 20 + 20q \implies 20q = 6 \implies q = \frac{3}{10}$
Проверим это значение, подставив его в выражение для $q^n$:
$q^n = 1 + \frac{40}{27}(\frac{3}{10}-1) = 1 + \frac{40}{27}(-\frac{7}{10}) = 1 - \frac{28}{27} = -\frac{1}{27}$
Так как $q = 3/10 > 0$, $q^n$ должно быть положительным для любого $n$. Полученное отрицательное значение указывает на противоречие. В этом случае решений нет.

Таким образом, единственное возможное значение знаменателя прогрессии — это $1/3$.
Ответ: $q = \frac{1}{3}$.

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту. Условия задачи: $b_1 = 1$, $q > 0$. Сумма членов прогрессии: $S_n = \frac{q^n - 1}{q - 1} = \frac{21}{16}$ (1)
Сумма с чередующимися знаками: $S'_n = \frac{1 - (-q)^n}{1 + q} = \frac{13}{16}$ (2)

Случай 1: $n$ — четное число.
Тогда $(-q)^n = q^n$, и уравнение (2) принимает вид: $\frac{1 - q^n}{1 + q} = \frac{13}{16}$.
Из (1) имеем $1 - q^n = -\frac{21}{16}(q - 1)$. Подставляем в предыдущее равенство:
$\frac{-\frac{21}{16}(q - 1)}{1 + q} = \frac{13}{16}$
$-21(q - 1) = 13(1 + q)$
$-21q + 21 = 13 + 13q$
$8 = 34q \implies q = \frac{8}{34} = \frac{4}{17}$
Проверим это значение. Из (1) следует $q^n - 1 = \frac{21}{16}(q-1)$.
$(\frac{4}{17})^n - 1 = \frac{21}{16}(\frac{4}{17}-1) = \frac{21}{16}(-\frac{13}{17}) = -\frac{273}{272}$
$(\frac{4}{17})^n = 1 - \frac{273}{272} = -\frac{1}{272}$
Получено противоречие, так как $q > 0$, а значит $q^n$ не может быть отрицательным.

Случай 2: $n$ — нечетное число.
Тогда $(-q)^n = -q^n$, и уравнение (2) принимает вид: $\frac{1 + q^n}{1 + q} = \frac{13}{16}$.
Из (1) выражаем $q^n = 1 + \frac{21}{16}(q-1)$ и подставляем:
$\frac{1 + (1 + \frac{21}{16}(q-1))}{1 + q} = \frac{13}{16} \implies \frac{2 + \frac{21}{16}(q-1)}{1 + q} = \frac{13}{16}$
$16(2 + \frac{21}{16}(q-1)) = 13(1+q)$
$32 + 21(q-1) = 13 + 13q$
$32 + 21q - 21 = 13 + 13q$
$11 + 21q = 13 + 13q$
$8q = 2 \implies q = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Проверим, существует ли целое нечетное $n$. Подставим $q = 1/4$ в уравнение (1):
$\frac{(1/4)^n - 1}{1/4 - 1} = \frac{21}{16} \implies \frac{(1/4)^n - 1}{-3/4} = \frac{21}{16}$
$(1/4)^n - 1 = -\frac{3}{4} \cdot \frac{21}{16} = -\frac{63}{64}$
$(1/4)^n = 1 - \frac{63}{64} = \frac{1}{64}$
Так как $\frac{1}{64} = (\frac{1}{4})^3$, то $n=3$. Это нечетное число, что соответствует предположению.

Следовательно, единственным решением является $q = 1/4$.
Ответ: $q = \frac{1}{4}$.

118 a) В арифметической прогрессии четвёртый член равен 10. При каком значении разности прогрессии сумма квадратов второго и пятого членов этой прогрессии будет наименьшей?

б) Сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 12. При каком значении разности прогрессии произведение третьего и пятого членов прогрессии будет наименьшим?

в) Разность второго и удвоенного пятого членов арифметической прогрессии равна -2. При каком значении разности прогрессии произведение третьего и четвёртого членов этой прогрессии будет наименьшим?

г) В арифметической прогрессии третий член равен 6. При каком значении разности этой прогрессии сумма попарных произведений первых трёх членов прогрессии будет наименьшей?

Пусть $a_n$ — n-й член арифметической прогрессии, $d$ — её разность.По условию, четвёртый член прогрессии равен 10, то есть $a_4 = 10$.Используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$, получаем:$a_4 = a_1 + 3d = 10$.Отсюда выразим первый член $a_1$ через разность $d$:$a_1 = 10 - 3d$.

Нам нужно найти значение $d$, при котором сумма квадратов второго и пятого членов будет наименьшей. Обозначим эту сумму как $S$:$S = a_2^2 + a_5^2$.Выразим $a_2$ и $a_5$ через $a_1$ и $d$, а затем через $d$:$a_2 = a_1 + d = (10 - 3d) + d = 10 - 2d$$a_5 = a_1 + 4d = (10 - 3d) + 4d = 10 + d$

Теперь подставим эти выражения в формулу для $S$:$S(d) = (10 - 2d)^2 + (10 + d)^2$Раскроем скобки:$S(d) = (100 - 40d + 4d^2) + (100 + 20d + d^2)$Приведем подобные слагаемые:$S(d) = 5d^2 - 20d + 200$

Полученное выражение является квадратичной функцией от $d$. График этой функции — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $d^2$ равен 5 (что больше нуля). Следовательно, функция имеет точку минимума в вершине параболы.Координата вершины параболы $f(x) = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -b/(2a)$.В нашем случае $a=5, b=-20$.$d = -(-20) / (2 \cdot 5) = 20 / 10 = 2$.

Ответ: 2.

По условию, сумма утроенного второго и четвёртого членов равна 12:$3a_2 + a_4 = 12$.Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$:$a_2 = a_1 + d$$a_4 = a_1 + 3d$

Подставим в условие:$3(a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 12$$3a_1 + 3d + a_1 + 3d = 12$$4a_1 + 6d = 12$Разделим обе части на 2:$2a_1 + 3d = 6$Выразим $a_1$:$a_1 = (6 - 3d) / 2 = 3 - 1.5d$.

Нам нужно найти значение $d$, при котором произведение третьего и пятого членов будет наименьшим. Обозначим это произведение как $P$:$P = a_3 \cdot a_5$.Выразим $a_3$ и $a_5$ через $d$:$a_3 = a_1 + 2d = (3 - 1.5d) + 2d = 3 + 0.5d$$a_5 = a_1 + 4d = (3 - 1.5d) + 4d = 3 + 2.5d$

Теперь подставим эти выражения в формулу для $P$:$P(d) = (3 + 0.5d)(3 + 2.5d) = 9 + 7.5d + 1.5d + 1.25d^2$$P(d) = 1.25d^2 + 9d + 9$

Это квадратичная функция с ветвями параболы вверх ($a = 1.25 > 0$). Минимум достигается в вершине.$d = -b / (2a) = -9 / (2 \cdot 1.25) = -9 / 2.5 = -3.6$.

Ответ: -3,6.

По условию, разность второго и удвоенного пятого членов равна -2:$a_2 - 2a_5 = -2$.Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$:$a_2 = a_1 + d$$a_5 = a_1 + 4d$

Подставим в условие:$(a_1 + d) - 2(a_1 + 4d) = -2$$a_1 + d - 2a_1 - 8d = -2$$-a_1 - 7d = -2$$a_1 + 7d = 2$Выразим $a_1$:$a_1 = 2 - 7d$.

Нам нужно найти значение $d$, при котором произведение третьего и четвёртого членов будет наименьшим. Обозначим это произведение как $P$:$P = a_3 \cdot a_4$.Выразим $a_3$ и $a_4$ через $d$:$a_3 = a_1 + 2d = (2 - 7d) + 2d = 2 - 5d$$a_4 = a_1 + 3d = (2 - 7d) + 3d = 2 - 4d$

Теперь подставим эти выражения в формулу для $P$:$P(d) = (2 - 5d)(2 - 4d) = 4 - 8d - 10d + 20d^2$$P(d) = 20d^2 - 18d + 4$

Это квадратичная функция с ветвями параболы вверх ($a = 20 > 0$). Минимум достигается в вершине.$d = -(-18) / (2 \cdot 20) = 18 / 40 = 9 / 20 = 0.45$.

Ответ: 0,45.

По условию, третий член прогрессии равен 6:$a_3 = 6$.Используя формулу n-го члена, получаем:$a_3 = a_1 + 2d = 6$.Отсюда выразим $a_1$:$a_1 = 6 - 2d$.

Нам нужно найти значение $d$, при котором сумма попарных произведений первых трёх членов будет наименьшей. Обозначим эту сумму как $S$:$S = a_1a_2 + a_1a_3 + a_2a_3$.Выразим все члены через $d$:$a_1 = 6 - 2d$$a_2 = a_1 + d = (6 - 2d) + d = 6 - d$$a_3 = 6$

Подставим эти выражения в формулу для $S$:$S(d) = (6 - 2d)(6 - d) + (6 - 2d) \cdot 6 + (6 - d) \cdot 6$$S(d) = (36 - 6d - 12d + 2d^2) + (36 - 12d) + (36 - 6d)$$S(d) = (2d^2 - 18d + 36) + (36 - 12d) + (36 - 6d)$

Соберем подобные слагаемые:$S(d) = 2d^2 + (-18 - 12 - 6)d + (36 + 36 + 36)$$S(d) = 2d^2 - 36d + 108$

Это квадратичная функция с ветвями параболы вверх ($a = 2 > 0$). Минимум достигается в вершине.$d = -(-36) / (2 \cdot 2) = 36 / 4 = 9$.

Ответ: 9.