Страница 380 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

149 а) $x \cdot \lg 10^{x+3} + \lg 100 = 0$

б) $x \cdot \lg 10^{x-4} + \lg 10000 = 0$

а) $x \cdot \lg 10^{x+3} + \lg 100 = 0$

Для решения данного уравнения используем свойства десятичного логарифма ($\lg$).

1. Упростим логарифмические выражения. Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10. Используя основное логарифмическое тождество в виде $\log_a a^b = b$, получаем $\lg 10^p = p$.
Таким образом, $\lg 10^{x+3} = x+3$.
Также, поскольку $100 = 10^2$, имеем $\lg 100 = \lg 10^2 = 2$.

2. Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:
$x \cdot (x+3) + 2 = 0$

3. Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 + 3x + 2 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $-p$, а произведение равно $q$.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -3$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 2$.
Методом подбора находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = -1$.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = -1$.

б) $x \cdot \lg 10^{x-4} + \lg 10000 = 0$

1. Аналогично предыдущему пункту, упростим логарифмические выражения, используя свойство $\lg 10^p = p$.
$\lg 10^{x-4} = x-4$.
Поскольку $10000 = 10^4$, то $\lg 10000 = \lg 10^4 = 4$.

2. Подставим упрощенные значения в исходное уравнение:
$x \cdot (x-4) + 4 = 0$

3. Раскроем скобки:
$x^2 - 4x + 4 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение. Левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(x-2)^2 = 0$
Данное уравнение имеет один корень (кратности 2).
$x-2 = 0$
$x = 2$

Ответ: $x=2$.

150 a) $2 \log_{\frac{1}{2}} \log_2 x + \log_2 \log_2 x = -1;$

б) $3 \log_{\frac{1}{3}} \log_3 x + \log_3 \log_3 x = -2.$

a) $2 \log_{\frac{1}{2}} \log_2 x + \log_2 \log_2 x = -1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. В данном уравнении у нас есть "вложенные" логарифмы, поэтому мы имеем систему неравенств:

1. $x > 0$ (для внутреннего логарифма $\log_2 x$)

2. $\log_2 x > 0$ (для внешних логарифмов $\log_{\frac{1}{2}}(\cdot)$ и $\log_2(\cdot)$)

Решим второе неравенство: $\log_2 x > \log_2 1$. Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $x > 1$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 1$.

Теперь преобразуем первый член уравнения, используя формулу перехода к новому основанию логарифма $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$:

$\log_{\frac{1}{2}} \log_2 x = \frac{\log_2 \log_2 x}{\log_2 \frac{1}{2}} = \frac{\log_2 \log_2 x}{\log_2 2^{-1}} = \frac{\log_2 \log_2 x}{-1} = -\log_2 \log_2 x$

Подставим это выражение обратно в исходное уравнение:

$2(-\log_2 \log_2 x) + \log_2 \log_2 x = -1$

$-2 \log_2 \log_2 x + \log_2 \log_2 x = -1$

Приведем подобные слагаемые:

$-\log_2 \log_2 x = -1$

Умножим обе части на $-1$:

$\log_2 \log_2 x = 1$

Теперь решим это уравнение. По определению логарифма:

$\log_2 x = 2^1$

$\log_2 x = 2$

И еще раз по определению логарифма:

$x = 2^2$

$x = 4$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ ($x > 1$). Корень $x=4$ удовлетворяет условию $4 > 1$.

Ответ: $x = 4$.

б) $3 \log_{\frac{1}{3}} \log_3 x + \log_3 \log_3 x = -2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Как и в предыдущем пункте, аргументы логарифмов должны быть положительны:

1. $x > 0$ (для внутреннего логарифма $\log_3 x$)

2. $\log_3 x > 0$ (для внешних логарифмов $\log_{\frac{1}{3}}(\cdot)$ и $\log_3(\cdot)$)

Из второго неравенства $\log_3 x > \log_3 1$ следует, что $x > 1$ (так как основание $3 > 1$).

Итоговая ОДЗ: $x > 1$.

Преобразуем первый член уравнения, приведя логарифм к основанию 3:

$\log_{\frac{1}{3}} \log_3 x = \frac{\log_3 \log_3 x}{\log_3 \frac{1}{3}} = \frac{\log_3 \log_3 x}{\log_3 3^{-1}} = \frac{\log_3 \log_3 x}{-1} = -\log_3 \log_3 x$

Подставим полученное выражение в уравнение:

$3(-\log_3 \log_3 x) + \log_3 \log_3 x = -2$

$-3 \log_3 \log_3 x + \log_3 \log_3 x = -2$

Упростим левую часть:

$-2 \log_3 \log_3 x = -2$

Разделим обе части на $-2$:

$\log_3 \log_3 x = 1$

Решаем полученное логарифмическое уравнение. По определению логарифма:

$\log_3 x = 3^1$

$\log_3 x = 3$

И еще раз:

$x = 3^3$

$x = 27$

Проверяем корень по ОДЗ ($x > 1$). $27 > 1$, следовательно, корень подходит.

Ответ: $x = 27$.

151 a) $(\log_2 x)^2 - 4 \log_2 x + 3 = 0;$

б) $(\log_3 x)^2 + 4 \log_{\frac{1}{3}} x + 3 = 0.$

а) $(\log_2 x)^2 - 4 \log_2 x + 3 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\log_2 x$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.
Введем новую переменную для упрощения уравнения. Пусть $t = \log_2 x$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение. Решим его относительно $t$. Можно воспользоваться теоремой Виета:
Сумма корней: $t_1 + t_2 = 4$
Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = 3$
Отсюда легко находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену.

1. Если $t = 1$, то $\log_2 x = 1$.
По определению логарифма, $x = 2^1$, что равно $2$.

2. Если $t = 3$, то $\log_2 x = 3$.
По определению логарифма, $x = 2^3$, что равно $8$.

Оба полученных значения $x=2$ и $x=8$ удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $2; 8$.

б) $(\log_3 x)^2 + 4 \log_{\frac{1}{3}} x + 3 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения также определяется условием $x > 0$.
В уравнении присутствуют логарифмы с разными основаниями (3 и $\frac{1}{3}$). Приведем их к одному основанию. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию, а именно свойством $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.
Заметим, что $\frac{1}{3} = 3^{-1}$. Тогда:

$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{3^{-1}} x = \frac{1}{-1} \log_3 x = -\log_3 x$

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$(\log_3 x)^2 + 4(-\log_3 x) + 3 = 0$

$(\log_3 x)^2 - 4 \log_3 x + 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_3 x$. Уравнение примет вид:

$y^2 - 4y + 3 = 0$

Это квадратное уравнение, аналогичное тому, что было в пункте а). Его корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 3$.

Выполним обратную замену:

1. Если $y = 1$, то $\log_3 x = 1$.
Следовательно, $x = 3^1 = 3$.

2. Если $y = 3$, то $\log_3 x = 3$.
Следовательно, $x = 3^3 = 27$.

Оба корня $x=3$ и $x=27$ удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $3; 27$.

152 a) $\log_3 x \cdot (5 - 2 \log_3 x) = 3;$

б) $(\log_2 x)^2 + 3 \log_{\frac{1}{2}} x + 2 = 0;$

в) $\left(\frac{1}{2} \log_3 x - 6\right) \cdot \log_9 x = 4(2 - \log_9 x).$

а) Дано уравнение $\log_{3}x \cdot (5 - 2\log_{3}x) = 3$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x > 0$.
Введем замену переменной $t = \log_{3}x$. Уравнение примет вид:
$t(5 - 2t) = 3$
$5t - 2t^2 = 3$
$2t^2 - 5t + 3 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.
$t_{1} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$t_{2} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
Теперь выполним обратную замену:
1. Если $\log_{3}x = \frac{3}{2}$, то $x = 3^{3/2} = \sqrt{3^3} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.
2. Если $\log_{3}x = 1$, то $x = 3^1 = 3$.
Оба корня ($3\sqrt{3}$ и $3$) положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $3; 3\sqrt{3}$.

б) Дано уравнение $(\log_{2}x)^2 + 3\log_{\frac{1}{2}}x + 2 = 0$.
ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем логарифм с основанием $\frac{1}{2}$ к логарифму с основанием 2, используя свойство $\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_{a}b$:
$\log_{\frac{1}{2}}x = \log_{2^{-1}}x = -1 \cdot \log_{2}x = -\log_{2}x$.
Подставив это в исходное уравнение, получим:
$(\log_{2}x)^2 - 3\log_{2}x + 2 = 0$.
Сделаем замену $t = \log_{2}x$:
$t^2 - 3t + 2 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение, корни которого легко находятся по теореме Виета: $t_1 + t_2 = 3$ и $t_1 \cdot t_2 = 2$. Следовательно, $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Выполним обратную замену:
1. Если $\log_{2}x = 1$, то $x = 2^1 = 2$.
2. Если $\log_{2}x = 2$, то $x = 2^2 = 4$.
Оба корня ($2$ и $4$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2; 4$.

в) Дано уравнение $\left(\frac{1}{2}\log_{3}x - 6\right) \cdot \log_{9}x = 4(2 - \log_{9}x)$.
ОДЗ: $x > 0$.
Приведем все логарифмы к одному основанию, например, к основанию 9. Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$.
$\log_{3}x = \frac{\log_{9}x}{\log_{9}3} = \frac{\log_{9}x}{1/2} = 2\log_{9}x$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\left(\frac{1}{2} \cdot (2\log_{9}x) - 6\right) \cdot \log_{9}x = 4(2 - \log_{9}x)$
$(\log_{9}x - 6) \cdot \log_{9}x = 8 - 4\log_{9}x$.
Введем замену $t = \log_{9}x$ и раскроем скобки:
$(t - 6)t = 8 - 4t$
$t^2 - 6t = 8 - 4t$
$t^2 - 2t - 8 = 0$.
По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 2$ и $t_1 \cdot t_2 = -8$. Следовательно, $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.
Выполним обратную замену:
1. Если $\log_{9}x = 4$, то $x = 9^4 = 6561$.
2. Если $\log_{9}x = -2$, то $x = 9^{-2} = \frac{1}{9^2} = \frac{1}{81}$.
Оба корня ($6561$ и $\frac{1}{81}$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{81}; 6561$.

153 a) $\log_2 x \cdot \log_3 x = 4 \log_3 2;$

б) $\log_{0,5} x \cdot \log_{0,6} x = \log_{0,36} 0,25;$

в) $\log_3 x \cdot \log_4 x = 4 \log_4 3;$

г) $\log_{0,04} x \cdot \log_{0,4} x = \frac{1}{4} \log_{0,4} 0,04.$

a) $\log_2 x \cdot \log_3 x = 4 \log_3 2$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x > 0$.

Приведем логарифмы к одному основанию, например, к основанию 3, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.

$\log_2 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 2}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\frac{\log_3 x}{\log_3 2} \cdot \log_3 x = 4 \log_3 2$

Умножим обе части уравнения на $\log_3 2$:

$(\log_3 x)^2 = 4 (\log_3 2)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\log_3 x = \pm 2 \log_3 2$

Рассмотрим два случая:

1) $\log_3 x = 2 \log_3 2$. Используя свойство логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$, получаем:

$\log_3 x = \log_3 (2^2)$

$\log_3 x = \log_3 4$

$x_1 = 4$

2) $\log_3 x = -2 \log_3 2$. Аналогично:

$\log_3 x = \log_3 (2^{-2})$

$\log_3 x = \log_3 \frac{1}{4}$

$x_2 = \frac{1}{4}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = \frac{1}{4}$.

б) $\log_{0.5} x \cdot \log_{0.6} x = \log_{0.36} 0.25$

ОДЗ: $x > 0$.

Упростим правую часть уравнения. Заметим, что $0.36 = 0.6^2$ и $0.25 = 0.5^2$.

Используем свойство $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:

$\log_{0.36} 0.25 = \log_{0.6^2} 0.5^2 = \frac{2}{2} \log_{0.6} 0.5 = \log_{0.6} 0.5$

Уравнение принимает вид:

$\log_{0.5} x \cdot \log_{0.6} x = \log_{0.6} 0.5$

Приведем логарифмы в левой части к основанию 0.6:

$\log_{0.5} x = \frac{\log_{0.6} x}{\log_{0.6} 0.5}$

Подставим в уравнение:

$\frac{\log_{0.6} x}{\log_{0.6} 0.5} \cdot \log_{0.6} x = \log_{0.6} 0.5$

$(\log_{0.6} x)^2 = (\log_{0.6} 0.5)^2$

Извлечем квадратный корень:

$\log_{0.6} x = \pm \log_{0.6} 0.5$

Рассмотрим два случая:

1) $\log_{0.6} x = \log_{0.6} 0.5$

$x_1 = 0.5$

2) $\log_{0.6} x = -\log_{0.6} 0.5 = \log_{0.6} (0.5^{-1}) = \log_{0.6} (\frac{1}{0.5}) = \log_{0.6} 2$

$x_2 = 2$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 0.5, x_2 = 2$.

в) $\log_3 x \cdot \log_4 x = 4 \log_4 3$

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем логарифмы к основанию 4:

$\log_3 x = \frac{\log_4 x}{\log_4 3}$

Подставим в уравнение:

$\frac{\log_4 x}{\log_4 3} \cdot \log_4 x = 4 \log_4 3$

$(\log_4 x)^2 = 4 (\log_4 3)^2$

Извлечем квадратный корень:

$\log_4 x = \pm 2 \log_4 3$

Рассмотрим два случая:

1) $\log_4 x = 2 \log_4 3 = \log_4 (3^2) = \log_4 9$

$x_1 = 9$

2) $\log_4 x = -2 \log_4 3 = \log_4 (3^{-2}) = \log_4 \frac{1}{9}$

$x_2 = \frac{1}{9}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 9, x_2 = \frac{1}{9}$.

г) $\log_{0.04} x \cdot \log_{0.4} x = \frac{1}{4} \log_{0.4} 0.04$

ОДЗ: $x > 0$.

Заметим, что $0.04 = 0.4^2$. Применим свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ к первому множителю:

$\log_{0.04} x = \log_{0.4^2} x = \frac{1}{2} \log_{0.4} x$

Подставим в уравнение:

$\frac{1}{2} \log_{0.4} x \cdot \log_{0.4} x = \frac{1}{4} \log_{0.4} 0.04$

$\frac{1}{2} (\log_{0.4} x)^2 = \frac{1}{4} \log_{0.4} (0.4^2)$

Так как $\log_a a^k = k$, то $\log_{0.4} (0.4^2) = 2$.

$\frac{1}{2} (\log_{0.4} x)^2 = \frac{1}{4} \cdot 2$

$\frac{1}{2} (\log_{0.4} x)^2 = \frac{1}{2}$

$(\log_{0.4} x)^2 = 1$

Извлечем квадратный корень:

$\log_{0.4} x = \pm 1$

Рассмотрим два случая:

1) $\log_{0.4} x = 1$

$x_1 = 0.4^1 = 0.4$

2) $\log_{0.4} x = -1$

$x_2 = 0.4^{-1} = \frac{1}{0.4} = \frac{10}{4} = 2.5$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 0.4, x_2 = 2.5$.

154 $\lg x + \frac{4}{\lg x} = 2 \lg 100.$

Исходное уравнение: $lg x + \frac{4}{lg x} = 2 lg 100$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, то есть $x > 0$. Кроме того, в уравнении присутствует деление на $lg x$, поэтому знаменатель не должен быть равен нулю: $lg x \neq 0$. Из этого условия следует, что $x \neq 10^0$, то есть $x \neq 1$. Итак, ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Далее упростим правую часть уравнения. Десятичный логарифм $lg 100$ — это степень, в которую нужно возвести 10, чтобы получить 100. Так как $10^2 = 100$, то $lg 100 = 2$.Тогда правая часть уравнения равна $2 \cdot lg 100 = 2 \cdot 2 = 4$.Уравнение принимает вид:$lg x + \frac{4}{lg x} = 4$.

Для решения этого уравнения введем замену переменной. Пусть $y = lg x$. Учитывая ОДЗ ($lg x \neq 0$), новая переменная $y$ не может быть равна нулю.Подставляем $y$ в уравнение и получаем:$y + \frac{4}{y} = 4$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $y$ (это допустимо, так как $y \neq 0$):$y \cdot y + \frac{4}{y} \cdot y = 4 \cdot y$$y^2 + 4 = 4y$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида:$y^2 - 4y + 4 = 0$.Левая часть этого уравнения является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае это $(y-2)^2$.Таким образом, уравнение можно записать как $(y - 2)^2 = 0$.Отсюда находим единственный корень: $y - 2 = 0$, что дает $y = 2$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$. Мы установили, что $y = lg x$ и нашли, что $y = 2$.Следовательно, $lg x = 2$.По определению десятичного логарифма, если $lg x = 2$, то $x = 10^2$.$x = 100$.

В завершение проверим, соответствует ли найденный корень $x = 100$ области допустимых значений ($x > 0$ и $x \neq 1$).Корень $100$ удовлетворяет обоим условиям, так как $100 > 0$ и $100 \neq 1$.Следовательно, $x=100$ является решением данного уравнения.

Ответ: $100$

Показательные неравенства

Решите неравенство (155—162):

155

a) $4^x + 2^{x+1} - 24 \le 0$;

б) $9^x - 10 \cdot 3^x + 9 \le 0$;

в) $81^x - 3^{2x+1} \le 4$;

г) $4^x + 2^{x+1} \le 3$.

а) $4^x + 2^{x+1} - 24 \le 0$

Преобразуем неравенство, приведя все степени к основанию 2. Так как $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ и $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$, получаем:

$(2^x)^2 + 2 \cdot 2^x - 24 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Поскольку показательная функция $2^x$ всегда положительна, то $t > 0$.

В результате замены получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 + 2t - 24 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 + 2t - 24 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $t_1 = -6$ и $t_2 = 4$.

Так как ветви параболы $y = t^2 + 2t - 24$ направлены вверх, решение неравенства находится между корнями: $-6 \le t \le 4$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем систему неравенств:

$\begin{cases} -6 \le t \le 4 \\ t > 0 \end{cases}$

Решением системы является $0 < t \le 4$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$0 < 2^x \le 4$

Неравенство $2^x > 0$ выполняется для любого действительного $x$. Решаем неравенство $2^x \le 4$.

$2^x \le 2^2$

Так как основание степени $2 > 1$, функция $y=2^x$ является возрастающей, поэтому при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

$x \le 2$

Ответ: $x \in (-\infty, 2]$.

б) $9^x - 10 \cdot 3^x + 9 \le 0$

Преобразуем неравенство, заметив, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$:

$(3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 9 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, при этом $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство:

$t^2 - 10t + 9 \le 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 10t + 9 = 0$. По теореме Виета корни равны $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $1 \le t \le 9$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$1 \le 3^x \le 9$

Представим границы интервала в виде степеней с основанием 3:

$3^0 \le 3^x \le 3^2$

Так как основание $3 > 1$, функция $y=3^x$ возрастающая, поэтому можем перейти к сравнению показателей:

$0 \le x \le 2$

Ответ: $x \in [0, 2]$.

в) $81^x - 3^{2x+1} \le 4$

Перенесем все члены в левую часть и преобразуем неравенство. Учитывая, что $81^x = (3^4)^x = 3^{4x} = (3^{2x})^2$ и $3^{2x+1} = 3 \cdot 3^{2x}$:

$(3^{2x})^2 - 3 \cdot 3^{2x} - 4 \le 0$

Сделаем замену. Пусть $t = 3^{2x}$. Так как $3^{2x} > 0$, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство:

$t^2 - 3t - 4 \le 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 3t - 4 = 0$. Корни равны $t_1 = -1$ и $t_2 = 4$.

Решение неравенства: $-1 \le t \le 4$.

С учетом условия $t > 0$, получаем $0 < t \le 4$.

Вернемся к переменной $x$:

$0 < 3^{2x} \le 4$

Неравенство $3^{2x} > 0$ верно для всех $x$. Решаем $3^{2x} \le 4$.

Прологарифмируем обе части по основанию 3. Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\log_3(3^{2x}) \le \log_3(4)$

$2x \le \log_3(4)$

$x \le \frac{1}{2}\log_3(4)$

Используя свойство логарифма $\log_a(b^c) = c\log_a(b)$, упростим ответ:

$x \le \log_3(4^{1/2}) = \log_3(2)$

Ответ: $x \in (-\infty, \log_3(2)]$.

г) $4^x + 2^{x+1} \le 3$

Перенесем все члены влево и преобразуем: $4^x + 2^{x+1} - 3 \le 0$.

$(2^x)^2 + 2 \cdot 2^x - 3 \le 0$

Сделаем замену. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

Получим квадратное неравенство:

$t^2 + 2t - 3 \le 0$

Корни уравнения $t^2 + 2t - 3 = 0$ равны $t_1 = -3$ и $t_2 = 1$.

Решение неравенства: $-3 \le t \le 1$.

Учитывая, что $t > 0$, получаем $0 < t \le 1$.

Выполним обратную замену:

$0 < 2^x \le 1$

Неравенство $2^x > 0$ верно для всех $x$. Решаем $2^x \le 1$.

$2^x \le 2^0$

Так как основание $2 > 1$, функция $y=2^x$ возрастающая, следовательно:

$x \le 0$

Ответ: $x \in (-\infty, 0]$.

156 a) $4^{x - 0.5} + 2^{x + 1} - 16 < 0;$

б) $3 \cdot 4^x - 7 \cdot 2^{x + 1} - 5 \le 0;$

в) $25^{-x} - 5^{-x + 1} \ge 50.$

а) Решим неравенство $4^{x-0,5} + 2^{x+1} - 16 < 0$.

Преобразуем все степени к основанию 2:

$4^{x-0,5} = (2^2)^{x-0,5} = 2^{2(x-0,5)} = 2^{2x-1} = 2^{2x} \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot (2^x)^2$.

$2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$.

Подставим преобразованные выражения в исходное неравенство:

$\frac{1}{2} \cdot (2^x)^2 + 2 \cdot 2^x - 16 < 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

$\frac{1}{2}t^2 + 2t - 16 < 0$.

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от дроби:

$t^2 + 4t - 32 < 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 + 4t - 32 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144 = 12^2$.

$t_1 = \frac{-4 - 12}{2} = -8$.

$t_2 = \frac{-4 + 12}{2} = 4$.

Парабола $y = t^2 + 4t - 32$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 + 4t - 32 < 0$ выполняется между корнями: $-8 < t < 4$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем двойное неравенство: $0 < t < 4$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$0 < 2^x < 4$.

Неравенство $2^x > 0$ выполняется для любого $x$. Решим неравенство $2^x < 4$.

$2^x < 2^2$.

Так как основание степени $2 > 1$, функция возрастающая, поэтому переходим к сравнению показателей:

$x < 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

б) Решим неравенство $3 \cdot 4^x - 7 \cdot 2^{x+1} - 5 \le 0$.

Приведем степени к одному основанию 2:

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$.

$2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$.

Подставим в неравенство:

$3 \cdot (2^x)^2 - 7 \cdot (2 \cdot 2^x) - 5 \le 0$.

$3 \cdot (2^x)^2 - 14 \cdot 2^x - 5 \le 0$.

Выполним замену переменной: пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$3t^2 - 14t - 5 \le 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $3t^2 - 14t - 5 = 0$:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$.

$t_1 = \frac{14 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

$t_2 = \frac{14 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$.

Парабола $y = 3t^2 - 14t - 5$ ветвями вверх, значит, неравенство $3t^2 - 14t - 5 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $-\frac{1}{3} \le t \le 5$.

С учетом ограничения $t > 0$, получаем: $0 < t \le 5$.

Сделаем обратную замену:

$0 < 2^x \le 5$.

Решаем неравенство $2^x \le 5$. Прологарифмируем обе части по основанию 2. Так как основание $2 > 1$, знак неравенства не меняется:

$\log_2(2^x) \le \log_2(5)$.

$x \le \log_2(5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; \log_2(5)]$.

в) Решим неравенство $25^{-x} - 5^{-x+1} \ge 50$.

Преобразуем степени к основанию 5:

$25^{-x} = (5^2)^{-x} = 5^{-2x} = (5^{-x})^2$.

$5^{-x+1} = 5^{-x} \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^{-x}$.

Подставим в неравенство:

$(5^{-x})^2 - 5 \cdot 5^{-x} - 50 \ge 0$.

Сделаем замену: пусть $t = 5^{-x}$, при этом $t > 0$.

$t^2 - 5t - 50 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 5t - 50 = 0$. По теореме Виета:

$t_1 = -5$, $t_2 = 10$.

Парабола $y = t^2 - 5t - 50$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 5t - 50 \ge 0$ выполняется при $t \le -5$ или $t \ge 10$.

Учитывая условие $t > 0$, отбрасываем решение $t \le -5$. Остается $t \ge 10$.

Вернемся к переменной $x$:

$5^{-x} \ge 10$.

Прологарифмируем обе части по основанию 5. Так как $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\log_5(5^{-x}) \ge \log_5(10)$.

$-x \ge \log_5(10)$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le -\log_5(10)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\log_5(10)]$.

157 a) $\frac{1}{2^x - 1} \ge \frac{1}{4^x - 3}$;

б) $2^{2x+1} - 21 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2x+3} + 2 \ge 0$;

В) $\frac{7}{9^x - 2} \ge \frac{2}{3^x - 1}$;

Г) $4^{4x+5} - 15 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{4x+3} + 8 \ge 0$.

a)

Решим неравенство $ \frac{1}{2^x - 1} \ge \frac{1}{4^x - 3} $.

Область допустимых значений (ОДЗ):
$ 2^x - 1 \ne 0 \implies 2^x \ne 1 \implies x \ne 0 $
$ 4^x - 3 \ne 0 \implies (2^x)^2 \ne 3 \implies 2^x \ne \sqrt{3} \implies x \ne \log_2(\sqrt{3}) $, то есть $ x \ne \frac{1}{2} $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 2^x $. Так как $ 2^x > 0 $ для любого $ x $, то $ t > 0 $. Неравенство принимает вид:
$ \frac{1}{t - 1} \ge \frac{1}{t^2 - 3} $.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$ \frac{1}{t - 1} - \frac{1}{t^2 - 3} \ge 0 $
$ \frac{(t^2 - 3) - (t - 1)}{(t - 1)(t^2 - 3)} \ge 0 $
$ \frac{t^2 - t - 2}{(t - 1)(t^2 - 3)} \ge 0 $.

Разложим числитель и знаменатель на множители:
$ \frac{(t - 2)(t + 1)}{(t - 1)(t - \sqrt{3})(t + \sqrt{3})} \ge 0 $.

Так как по условию замены $ t > 0 $, множители $ (t + 1) $ и $ (t + \sqrt{3}) $ всегда положительны. Можем разделить на них обе части неравенства, не меняя знака:
$ \frac{t - 2}{(t - 1)(t - \sqrt{3})} \ge 0 $.

Решим это неравенство методом интервалов для $ t > 0 $. Нуль числителя: $ t = 2 $. Нули знаменателя: $ t = 1, t = \sqrt{3} $ (приблизительно 1.732).
Наносим точки на числовую ось и определяем знаки на интервалах $ (0, 1), (1, \sqrt{3}), (\sqrt{3}, 2), (2, +\infty) $.
- Интервал $ (1, \sqrt{3}) $: выражение положительно.
- Интервал $ [2, +\infty) $: выражение положительно (в точке $ t=2 $ равно нулю).
Решение для $ t $: $ t \in (1, \sqrt{3}) \cup [2, +\infty) $.

Выполним обратную замену $ t = 2^x $:
1) $ 1 < 2^x < \sqrt{3} \implies 2^0 < 2^x < 2^{1/2} \implies 0 < x < \frac{1}{2} $.
2) $ 2^x \ge 2 \implies 2^x \ge 2^1 \implies x \ge 1 $.

Объединяя полученные интервалы, получаем окончательное решение, которое удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ x \in (0, \frac{1}{2}) \cup [1, +\infty) $.

б)

Решим неравенство $ 2^{2x+1} - 21 \cdot (\frac{1}{2})^{2x+3} + 2 \ge 0 $.

Преобразуем степени:
$ 2^{2x} \cdot 2^1 - 21 \cdot (2^{-1})^{2x+3} + 2 \ge 0 $
$ 2 \cdot 2^{2x} - 21 \cdot 2^{-2x-3} + 2 \ge 0 $
$ 2 \cdot 2^{2x} - 21 \cdot 2^{-2x} \cdot 2^{-3} + 2 \ge 0 $
$ 2 \cdot 2^{2x} - 21 \cdot \frac{1}{2^{2x}} \cdot \frac{1}{8} + 2 \ge 0 $
$ 2 \cdot 2^{2x} - \frac{21}{8 \cdot 2^{2x}} + 2 \ge 0 $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 2^{2x} $. Так как $ 2^{2x} > 0 $, то $ t > 0 $.
Неравенство принимает вид: $ 2t - \frac{21}{8t} + 2 \ge 0 $.

Умножим обе части на $ 8t $ (так как $ 8t > 0 $, знак неравенства не меняется):
$ 16t^2 - 21 + 16t \ge 0 $
$ 16t^2 + 16t - 21 \ge 0 $.

Найдем корни квадратного уравнения $ 16t^2 + 16t - 21 = 0 $.
Дискриминант $ D = 16^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-21) = 256 + 1344 = 1600 = 40^2 $.
Корни: $ t_1 = \frac{-16 - 40}{32} = -\frac{7}{4} $, $ t_2 = \frac{-16 + 40}{32} = \frac{3}{4} $.

Парабола $ y = 16t^2 + 16t - 21 $ с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $ t \le -\frac{7}{4} $ или $ t \ge \frac{3}{4} $.

Учитывая условие $ t > 0 $, получаем $ t \ge \frac{3}{4} $.

Выполним обратную замену $ t = 2^{2x} $:
$ 2^{2x} \ge \frac{3}{4} $
Прологарифмируем обе части по основанию 2:
$ \log_2(2^{2x}) \ge \log_2(\frac{3}{4}) $
$ 2x \ge \log_2(3) - \log_2(4) $
$ 2x \ge \log_2(3) - 2 $
$ x \ge \frac{\log_2(3) - 2}{2} $.

Ответ: $ x \in [\frac{\log_2(3) - 2}{2}, +\infty) $.

в)

Решим неравенство $ \frac{7}{9^x - 2} \ge \frac{2}{3^x - 1} $.

ОДЗ: $ 9^x - 2 \ne 0 \implies 3^{2x} \ne 2 \implies x \ne \frac{1}{2}\log_3(2) $ и $ 3^x - 1 \ne 0 \implies x \ne 0 $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 3^x $. Так как $ 3^x > 0 $, то $ t > 0 $.
Неравенство принимает вид: $ \frac{7}{t^2 - 2} \ge \frac{2}{t - 1} $.

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$ \frac{7(t - 1) - 2(t^2 - 2)}{(t^2 - 2)(t - 1)} \ge 0 $
$ \frac{7t - 7 - 2t^2 + 4}{(t^2 - 2)(t - 1)} \ge 0 $
$ \frac{-2t^2 + 7t - 3}{(t^2 - 2)(t - 1)} \ge 0 $.

Умножим на -1 и сменим знак неравенства:
$ \frac{2t^2 - 7t + 3}{(t^2 - 2)(t - 1)} \le 0 $.

Найдем корни числителя $ 2t^2 - 7t + 3 = 0 $: $ t_1 = \frac{1}{2} $, $ t_2 = 3 $.
Разложим на множители: $ \frac{2(t - 1/2)(t - 3)}{(t - \sqrt{2})(t + \sqrt{2})(t - 1)} \le 0 $.

Учитывая $ t > 0 $, множитель $ (t + \sqrt{2}) $ всегда положителен. Неравенство равносильно:
$ \frac{(t - 1/2)(t - 3)}{(t - \sqrt{2})(t - 1)} \le 0 $.

Решим методом интервалов для $ t > 0 $. Критические точки: $ t = 1/2, t = 1, t = \sqrt{2}, t = 3 $.
- Интервал $ [1/2, 1) $: выражение неположительно.
- Интервал $ (\sqrt{2}, 3] $: выражение неположительно.
Решение для $ t $: $ t \in [1/2, 1) \cup (\sqrt{2}, 3] $.

Выполним обратную замену $ t = 3^x $:
1) $ 1/2 \le 3^x < 1 \implies 3^{\log_3(1/2)} \le 3^x < 3^0 \implies -\log_3(2) \le x < 0 $.
2) $ \sqrt{2} < 3^x \le 3 \implies 3^{\log_3(\sqrt{2})} < 3^x \le 3^1 \implies \frac{1}{2}\log_3(2) < x \le 1 $.

Ответ: $ x \in [-\log_3(2), 0) \cup (\frac{1}{2}\log_3(2), 1] $.

г)

Решим неравенство $ 4^{4x+5} - 15 \cdot (\frac{1}{4})^{4x+3} + 8 \ge 0 $.

Преобразуем степени, приведя их к одному показателю $ 4x+3 $:
$ 4^{4x+5} = 4^{(4x+3)+2} = 4^{4x+3} \cdot 4^2 = 16 \cdot 4^{4x+3} $
$ (\frac{1}{4})^{4x+3} = \frac{1}{4^{4x+3}} $.

Неравенство принимает вид:
$ 16 \cdot 4^{4x+3} - 15 \cdot \frac{1}{4^{4x+3}} + 8 \ge 0 $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 4^{4x+3} $. Так как $ t > 0 $.
Неравенство становится: $ 16t - \frac{15}{t} + 8 \ge 0 $.

Умножим обе части на $ t $ (так как $ t > 0 $):
$ 16t^2 - 15 + 8t \ge 0 $
$ 16t^2 + 8t - 15 \ge 0 $.

Найдем корни квадратного уравнения $ 16t^2 + 8t - 15 = 0 $.
Дискриминант $ D = 8^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-15) = 64 + 960 = 1024 = 32^2 $.
Корни: $ t_1 = \frac{-8 - 32}{32} = -\frac{5}{4} $, $ t_2 = \frac{-8 + 32}{32} = \frac{3}{4} $.

Парабола $ y = 16t^2 + 8t - 15 $ с ветвями вверх, неравенство выполняется при $ t \le -\frac{5}{4} $ или $ t \ge \frac{3}{4} $.

Учитывая $ t > 0 $, получаем $ t \ge \frac{3}{4} $.

Выполним обратную замену $ t = 4^{4x+3} $:
$ 4^{4x+3} \ge \frac{3}{4} $
Прологарифмируем обе части по основанию 4:
$ \log_4(4^{4x+3}) \ge \log_4(\frac{3}{4}) $
$ 4x+3 \ge \log_4(3) - \log_4(4) $
$ 4x+3 \ge \log_4(3) - 1 $
$ 4x \ge \log_4(3) - 4 $
$ x \ge \frac{\log_4(3) - 4}{4} $.

Ответ: $ x \in [\frac{\log_4(3) - 4}{4}, +\infty) $.

158 $(\sqrt{2}+1)^x + 1 < 2 \cdot (\sqrt{2}-1)^x$.

Для решения данного показательного неравенства заметим, что основания степеней $(\sqrt{2}+1)$ и $(\sqrt{2}-1)$ являются сопряженными числами. Найдем их произведение:

$$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$$

Из этого следует, что $(\sqrt{2}-1) = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = (\sqrt{2}+1)^{-1}$.

Используя это свойство, мы можем переписать исходное неравенство:

$$(\sqrt{2}+1)^x + 1 < 2 \cdot ((\sqrt{2}+1)^{-1})^x$$

$$(\sqrt{2}+1)^x + 1 < 2 \cdot (\sqrt{2}+1)^{-x}$$

Введем замену переменной. Пусть $t = (\sqrt{2}+1)^x$. Поскольку основание $\sqrt{2}+1 > 1$, показательная функция $y=(\sqrt{2}+1)^x$ всегда принимает положительные значения, следовательно, $t > 0$.

Подставив $t$ в неравенство, получим:

$$t + 1 < 2 \cdot \frac{1}{t}$$

Так как $t > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $t$, сохранив знак неравенства:

$$t(t + 1) < 2$$

$$t^2 + t - 2 < 0$$

Мы получили квадратичное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 + t - 2 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Парабола $y = t^2 + t - 2$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 + t - 2 < 0$ выполняется на интервале между корнями:

$$-2 < t < 1$$

Теперь вернемся к условию $t>0$, которое мы установили при замене. Объединим оба условия для $t$:

$$ \begin{cases} -2 < t < 1 \\ t > 0 \end{cases} \implies 0 < t < 1 $$

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $t$ выражение $(\sqrt{2}+1)^x$:

$$0 < (\sqrt{2}+1)^x < 1$$

Неравенство $0 < (\sqrt{2}+1)^x$ выполняется при любых действительных значениях $x$. Остается решить вторую часть двойного неравенства:

$$(\sqrt{2}+1)^x < 1$$

Представим число 1 в виде степени с тем же основанием:

$$(\sqrt{2}+1)^x < (\sqrt{2}+1)^0$$

Основание степени $a = \sqrt{2}+1$ больше единицы ($a \approx 2.414 > 1$). Для показательной функции с основанием больше 1, большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому, переходя к неравенству для показателей, мы сохраняем знак неравенства:

$$x < 0$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

159 $5^{2x+1} > 5^x + 4$.

Данное неравенство является показательным: $5^{2x+1} > 5^x + 4$.

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем левую часть неравенства:
$5^{2x+1} = 5^{2x} \cdot 5^1 = 5 \cdot (5^x)^2$.

Подставим полученное выражение обратно в исходное неравенство:
$5 \cdot (5^x)^2 > 5^x + 4$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить неравенство, приведенное к нулю:
$5 \cdot (5^x)^2 - 5^x - 4 > 0$.

Для решения этого неравенства введем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция $y=a^x$ при $a>0, a\neq1$ принимает только положительные значения, то на новую переменную $t$ накладывается ограничение: $t > 0$.

После замены неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:
$5t^2 - t - 4 > 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5t^2 - t - 4 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81$.
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 - 9}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 + 9}{10} = \frac{10}{10} = 1$.

Мы решаем неравенство $5t^2 - t - 4 > 0$. Графиком функции $y = 5t^2 - t - 4$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $t^2$ положителен: $5 > 0$). Следовательно, неравенство выполняется при значениях $t$, находящихся вне интервала между корнями.
Решением является совокупность неравенств: $t < -0.8$ или $t > 1$.

Теперь необходимо учесть ограничение $t > 0$.
Система условий:
$\begin{cases} [ \begin{array}{l} t < -0.8 \\ t > 1 \end{array} \\ t > 0 \end{cases}$
Общим решением этой системы является $t > 1$.

Вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену $t = 5^x$:
$5^x > 1$.

Представим число 1 как степень с основанием 5: $1 = 5^0$.
$5^x > 5^0$.

Так как основание степени $5$ больше $1$, показательная функция $y=5^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:
$x > 0$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

160 a) $3^{x+1} + 18 \cdot 3^{-x} > 29;$

б) $2^{x+1} + 32 \cdot 2^{-x} > 20.$

а) $3^{x+1} + 18 \cdot 3^{-x} > 29$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней: $3 \cdot 3^x + 18 \cdot \frac{1}{3^x} > 29$.

Введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $3t + \frac{18}{t} > 29$.

Поскольку $t > 0$, умножим обе части неравенства на $t$, не меняя знака неравенства: $3t^2 + 18 > 29t$, что равносильно $3t^2 - 29t + 18 > 0$.

Для решения квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $3t^2 - 29t + 18 = 0$.

Дискриминант $D = (-29)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 18 = 841 - 216 = 625 = 25^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{29 - 25}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ и $t_2 = \frac{29 + 25}{2 \cdot 3} = \frac{54}{6} = 9$.

Графиком функции $f(t) = 3t^2 - 29t + 18$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $f(t) > 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями: $t < \frac{2}{3}$ или $t > 9$.

С учетом условия $t > 0$, получаем совокупность решений для $t$: $0 < t < \frac{2}{3}$ или $t > 9$.

Выполним обратную замену, вернувшись к переменной $x$.

1) $0 < 3^x < \frac{2}{3}$. Так как $3^x$ всегда больше 0, решаем неравенство $3^x < \frac{2}{3}$. Прологарифмируем обе части по основанию 3: $x < \log_3(\frac{2}{3})$.

2) $3^x > 9$. Представим 9 как степень с основанием 3: $3^x > 3^2$. Поскольку основание $3 > 1$, то $x > 2$.

Объединяя полученные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; \log_3(\frac{2}{3})) \cup (2; +\infty)$.

б) $2^{x+1} + 32 \cdot 2^{-x} > 20$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней: $2 \cdot 2^x + 32 \cdot \frac{1}{2^x} > 20$.

Разделим обе части неравенства на 2 для упрощения: $2^x + 16 \cdot \frac{1}{2^x} > 10$.

Введем замену переменной. Пусть $y = 2^x$, при этом $y > 0$.

Неравенство принимает вид: $y + \frac{16}{y} > 10$.

Так как $y > 0$, умножим обе части на $y$: $y^2 + 16 > 10y$, что равносильно $y^2 - 10y + 16 > 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $y^2 - 10y + 16 = 0$. По теореме Виета, корни $y_1 = 2$ и $y_2 = 8$.

Графиком функции $f(y) = y^2 - 10y + 16$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $f(y) > 0$ выполняется при $y < 2$ или $y > 8$.

С учетом условия $y > 0$, получаем два случая: $0 < y < 2$ или $y > 8

161 a) $3^{2x+2} - 3^{x+4} < 3^x - 9$;

б) $2^{2x+2} - 2^{x+2} < 2^x - 1$.

а) Решим неравенство $3^{2x+2} - 3^{x+4} < 3^x - 9$.
Преобразуем степени с помощью свойства $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$3^{2x} \cdot 3^2 - 3^x \cdot 3^4 < 3^x - 9$
$9 \cdot (3^x)^2 - 81 \cdot 3^x < 3^x - 9$
Перенесем все члены в левую часть:
$9 \cdot (3^x)^2 - 81 \cdot 3^x - 3^x + 9 < 0$
$9 \cdot (3^x)^2 - 82 \cdot 3^x + 9 < 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Получаем квадратное неравенство:
$9t^2 - 82t + 9 < 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $9t^2 - 82t + 9 = 0$.
Дискриминант $D = (-82)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 9 = 6724 - 324 = 6400 = 80^2$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{82 - 80}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$
$t_2 = \frac{82 + 80}{2 \cdot 9} = \frac{162}{18} = 9$
Так как ветви параболы $y = 9t^2 - 82t + 9$ направлены вверх, неравенство $9t^2 - 82t + 9 < 0$ выполняется при $t$, находящихся между корнями.
$\frac{1}{9} < t < 9$. Оба значения удовлетворяют условию $t > 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
$\frac{1}{9} < 3^x < 9$
Представим левую и правую части неравенства в виде степени с основанием 3:
$3^{-2} < 3^x < 3^2$
Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$-2 < x < 2$
Ответ: $x \in (-2; 2)$.

б) Решим неравенство $2^{2x+2} - 2^{x+2} < 2^x - 1$.
Преобразуем степени:
$2^{2x} \cdot 2^2 - 2^x \cdot 2^2 < 2^x - 1$
$4 \cdot (2^x)^2 - 4 \cdot 2^x < 2^x - 1$
Перенесем все члены в левую часть:
$4 \cdot (2^x)^2 - 4 \cdot 2^x - 2^x + 1 < 0$
$4 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 1 < 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.
Получаем квадратное неравенство:
$4t^2 - 5t + 1 < 0$
Найдем корни уравнения $4t^2 - 5t + 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$t_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$
Ветви параболы $y = 4t^2 - 5t + 1$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями:
$\frac{1}{4} < t < 1$. Оба значения удовлетворяют условию $t > 0$.
Сделаем обратную замену:
$\frac{1}{4} < 2^x < 1$
Представим границы в виде степени с основанием 2:
$2^{-2} < 2^x < 2^0$
Так как основание $2 > 1$, то для показателей знак неравенства сохраняется:
$-2 < x < 0$
Ответ: $x \in (-2; 0)$.