Номер 159, страница 380 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Показатели неравенств. Задания для повторения - номер 159, страница 380.
№159 (с. 380)
Условие. №159 (с. 380)
скриншот условия

159 $5^{2x+1} > 5^x + 4$.
Решение 1. №159 (с. 380)

Решение 2. №159 (с. 380)

Решение 3. №159 (с. 380)

Решение 5. №159 (с. 380)
Данное неравенство является показательным: $5^{2x+1} > 5^x + 4$.
Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем левую часть неравенства:
$5^{2x+1} = 5^{2x} \cdot 5^1 = 5 \cdot (5^x)^2$.
Подставим полученное выражение обратно в исходное неравенство:
$5 \cdot (5^x)^2 > 5^x + 4$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить неравенство, приведенное к нулю:
$5 \cdot (5^x)^2 - 5^x - 4 > 0$.
Для решения этого неравенства введем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция $y=a^x$ при $a>0, a\neq1$ принимает только положительные значения, то на новую переменную $t$ накладывается ограничение: $t > 0$.
После замены неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:
$5t^2 - t - 4 > 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5t^2 - t - 4 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81$.
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 - 9}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 + 9}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
Мы решаем неравенство $5t^2 - t - 4 > 0$. Графиком функции $y = 5t^2 - t - 4$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $t^2$ положителен: $5 > 0$). Следовательно, неравенство выполняется при значениях $t$, находящихся вне интервала между корнями.
Решением является совокупность неравенств: $t < -0.8$ или $t > 1$.
Теперь необходимо учесть ограничение $t > 0$.
Система условий:
$\begin{cases} [ \begin{array}{l} t < -0.8 \\ t > 1 \end{array} \\ t > 0 \end{cases}$
Общим решением этой системы является $t > 1$.
Вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену $t = 5^x$:
$5^x > 1$.
Представим число 1 как степень с основанием 5: $1 = 5^0$.
$5^x > 5^0$.
Так как основание степени $5$ больше $1$, показательная функция $y=5^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:
$x > 0$.
Ответ: $x \in (0; +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 159 расположенного на странице 380 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №159 (с. 380), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.