Номер 159, страница 380 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Показатели неравенств - номер 159, страница 380.

Условие.

159 $5^{2x+1} > 5^x + 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Данное неравенство является показательным: $5^{2x+1} > 5^x + 4$.

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем левую часть неравенства:
$5^{2x+1} = 5^{2x} \cdot 5^1 = 5 \cdot (5^x)^2$.

Подставим полученное выражение обратно в исходное неравенство:
$5 \cdot (5^x)^2 > 5^x + 4$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить неравенство, приведенное к нулю:
$5 \cdot (5^x)^2 - 5^x - 4 > 0$.

Для решения этого неравенства введем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция $y=a^x$ при $a>0, a\neq1$ принимает только положительные значения, то на новую переменную $t$ накладывается ограничение: $t > 0$.

После замены неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:
$5t^2 - t - 4 > 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5t^2 - t - 4 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81$.
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 - 9}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 + 9}{10} = \frac{10}{10} = 1$.

Мы решаем неравенство $5t^2 - t - 4 > 0$. Графиком функции $y = 5t^2 - t - 4$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $t^2$ положителен: $5 > 0$). Следовательно, неравенство выполняется при значениях $t$, находящихся вне интервала между корнями.
Решением является совокупность неравенств: $t < -0.8$ или $t > 1$.

Теперь необходимо учесть ограничение $t > 0$.
Система условий:
$\begin{cases} [ \begin{array}{l} t < -0.8 \\ t > 1 \end{array} \\ t > 0 \end{cases}$
Общим решением этой системы является $t > 1$.

Вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену $t = 5^x$:
$5^x > 1$.

Представим число 1 как степень с основанием 5: $1 = 5^0$.
$5^x > 5^0$.

Так как основание степени $5$ больше $1$, показательная функция $y=5^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:
$x > 0$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.