Номер 153, страница 380 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Логарифмические уравнения. Задания для повторения - номер 153, страница 380.

153 a) $\log_2 x \cdot \log_3 x = 4 \log_3 2;$

б) $\log_{0,5} x \cdot \log_{0,6} x = \log_{0,36} 0,25;$

в) $\log_3 x \cdot \log_4 x = 4 \log_4 3;$

г) $\log_{0,04} x \cdot \log_{0,4} x = \frac{1}{4} \log_{0,4} 0,04.$

a) $\log_2 x \cdot \log_3 x = 4 \log_3 2$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x > 0$.

Приведем логарифмы к одному основанию, например, к основанию 3, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.

$\log_2 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 2}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\frac{\log_3 x}{\log_3 2} \cdot \log_3 x = 4 \log_3 2$

Умножим обе части уравнения на $\log_3 2$:

$(\log_3 x)^2 = 4 (\log_3 2)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\log_3 x = \pm 2 \log_3 2$

Рассмотрим два случая:

1) $\log_3 x = 2 \log_3 2$. Используя свойство логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$, получаем:

$\log_3 x = \log_3 (2^2)$

$\log_3 x = \log_3 4$

$x_1 = 4$

2) $\log_3 x = -2 \log_3 2$. Аналогично:

$\log_3 x = \log_3 (2^{-2})$

$\log_3 x = \log_3 \frac{1}{4}$

$x_2 = \frac{1}{4}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = \frac{1}{4}$.

б) $\log_{0.5} x \cdot \log_{0.6} x = \log_{0.36} 0.25$

ОДЗ: $x > 0$.

Упростим правую часть уравнения. Заметим, что $0.36 = 0.6^2$ и $0.25 = 0.5^2$.

Используем свойство $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:

$\log_{0.36} 0.25 = \log_{0.6^2} 0.5^2 = \frac{2}{2} \log_{0.6} 0.5 = \log_{0.6} 0.5$

Уравнение принимает вид:

$\log_{0.5} x \cdot \log_{0.6} x = \log_{0.6} 0.5$

Приведем логарифмы в левой части к основанию 0.6:

$\log_{0.5} x = \frac{\log_{0.6} x}{\log_{0.6} 0.5}$

Подставим в уравнение:

$\frac{\log_{0.6} x}{\log_{0.6} 0.5} \cdot \log_{0.6} x = \log_{0.6} 0.5$

$(\log_{0.6} x)^2 = (\log_{0.6} 0.5)^2$

Извлечем квадратный корень:

$\log_{0.6} x = \pm \log_{0.6} 0.5$

Рассмотрим два случая:

1) $\log_{0.6} x = \log_{0.6} 0.5$

$x_1 = 0.5$

2) $\log_{0.6} x = -\log_{0.6} 0.5 = \log_{0.6} (0.5^{-1}) = \log_{0.6} (\frac{1}{0.5}) = \log_{0.6} 2$

$x_2 = 2$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 0.5, x_2 = 2$.

в) $\log_3 x \cdot \log_4 x = 4 \log_4 3$

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем логарифмы к основанию 4:

$\log_3 x = \frac{\log_4 x}{\log_4 3}$

Подставим в уравнение:

$\frac{\log_4 x}{\log_4 3} \cdot \log_4 x = 4 \log_4 3$

$(\log_4 x)^2 = 4 (\log_4 3)^2$

Извлечем квадратный корень:

$\log_4 x = \pm 2 \log_4 3$

Рассмотрим два случая:

1) $\log_4 x = 2 \log_4 3 = \log_4 (3^2) = \log_4 9$

$x_1 = 9$

2) $\log_4 x = -2 \log_4 3 = \log_4 (3^{-2}) = \log_4 \frac{1}{9}$

$x_2 = \frac{1}{9}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 9, x_2 = \frac{1}{9}$.

г) $\log_{0.04} x \cdot \log_{0.4} x = \frac{1}{4} \log_{0.4} 0.04$

ОДЗ: $x > 0$.

Заметим, что $0.04 = 0.4^2$. Применим свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ к первому множителю:

$\log_{0.04} x = \log_{0.4^2} x = \frac{1}{2} \log_{0.4} x$

Подставим в уравнение:

$\frac{1}{2} \log_{0.4} x \cdot \log_{0.4} x = \frac{1}{4} \log_{0.4} 0.04$

$\frac{1}{2} (\log_{0.4} x)^2 = \frac{1}{4} \log_{0.4} (0.4^2)$

Так как $\log_a a^k = k$, то $\log_{0.4} (0.4^2) = 2$.

$\frac{1}{2} (\log_{0.4} x)^2 = \frac{1}{4} \cdot 2$

$\frac{1}{2} (\log_{0.4} x)^2 = \frac{1}{2}$

$(\log_{0.4} x)^2 = 1$

Извлечем квадратный корень:

$\log_{0.4} x = \pm 1$

Рассмотрим два случая:

1) $\log_{0.4} x = 1$

$x_1 = 0.4^1 = 0.4$

2) $\log_{0.4} x = -1$

$x_2 = 0.4^{-1} = \frac{1}{0.4} = \frac{10}{4} = 2.5$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 0.4, x_2 = 2.5$.