Номер 148, страница 379 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Логарифмические уравнения. Задания для повторения - номер 148, страница 379.

148 a) $log_{2} log_{4} x = 1;$

б) $log_{2} log_{5} x = 1.$

а)

Дано логарифмическое уравнение: $\log_2 \log_4 x = 1$.

Для решения этого уравнения необходимо сначала найти область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма всегда должен быть строго положительным. В данном случае у нас есть два логарифма, поэтому будет два условия:

1. Аргумент внутреннего логарифма: $x > 0$.

2. Аргумент внешнего логарифма: $\log_4 x > 0$.

Решим второе неравенство. Используем свойство логарифмов: $\log_a b > c \Leftrightarrow b > a^c$ при $a > 1$. Так как основание $4 > 1$, получаем:

$x > 4^0$

$x > 1$

Объединяя оба условия ($x > 0$ и $x > 1$), получаем итоговую ОДЗ: $x > 1$.

Теперь перейдем к решению самого уравнения. Будем "раскрывать" логарифмы, начиная с внешнего, используя определение логарифма: $\log_a b = c \Leftrightarrow b = a^c$.

Для уравнения $\log_2 (\log_4 x) = 1$ имеем:

$\log_4 x = 2^1$

$\log_4 x = 2$

Теперь решаем полученное уравнение $\log_4 x = 2$, снова применяя определение логарифма:

$x = 4^2$

$x = 16$

Проверим, входит ли найденный корень в ОДЗ. Так как $16 > 1$, корень является решением уравнения.

Ответ: $16$.

б)

Дано логарифмическое уравнение: $\log_2 \log_5 x = 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Как и в предыдущем примере, аргументы логарифмов должны быть положительными:

1. Для внутреннего логарифма: $x > 0$.

2. Для внешнего логарифма: $\log_5 x > 0$.

Решим второе неравенство. Так как основание $5 > 1$, неравенство равносильно:

$x > 5^0$

$x > 1$

Общая ОДЗ для уравнения: $x > 1$.

Теперь решим уравнение, последовательно избавляясь от логарифмов по определению $\log_a b = c \Leftrightarrow b = a^c$.

Для уравнения $\log_2 (\log_5 x) = 1$ получаем:

$\log_5 x = 2^1$

$\log_5 x = 2$

Решаем простое логарифмическое уравнение $\log_5 x = 2$:

$x = 5^2$

$x = 25$

Проверим найденный корень на соответствие ОДЗ. Условие $x > 1$ выполняется, так как $25 > 1$. Следовательно, корень найден верно.

Ответ: $25$.