Номер 151, страница 380 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Логарифмические уравнения. Задания для повторения - номер 151, страница 380.
№151 (с. 380)
Условие. №151 (с. 380)
скриншот условия

151 a) $(\log_2 x)^2 - 4 \log_2 x + 3 = 0;$
б) $(\log_3 x)^2 + 4 \log_{\frac{1}{3}} x + 3 = 0.$
Решение 1. №151 (с. 380)


Решение 2. №151 (с. 380)

Решение 3. №151 (с. 380)

Решение 5. №151 (с. 380)
а) $(\log_2 x)^2 - 4 \log_2 x + 3 = 0$
Данное уравнение является квадратным относительно $\log_2 x$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.
Введем новую переменную для упрощения уравнения. Пусть $t = \log_2 x$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:
$t^2 - 4t + 3 = 0$
Это стандартное квадратное уравнение. Решим его относительно $t$. Можно воспользоваться теоремой Виета:
Сумма корней: $t_1 + t_2 = 4$
Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = 3$
Отсюда легко находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену.
1. Если $t = 1$, то $\log_2 x = 1$.
По определению логарифма, $x = 2^1$, что равно $2$.
2. Если $t = 3$, то $\log_2 x = 3$.
По определению логарифма, $x = 2^3$, что равно $8$.
Оба полученных значения $x=2$ и $x=8$ удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $2; 8$.
б) $(\log_3 x)^2 + 4 \log_{\frac{1}{3}} x + 3 = 0$
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения также определяется условием $x > 0$.
В уравнении присутствуют логарифмы с разными основаниями (3 и $\frac{1}{3}$). Приведем их к одному основанию. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию, а именно свойством $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.
Заметим, что $\frac{1}{3} = 3^{-1}$. Тогда:
$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{3^{-1}} x = \frac{1}{-1} \log_3 x = -\log_3 x$
Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:
$(\log_3 x)^2 + 4(-\log_3 x) + 3 = 0$
$(\log_3 x)^2 - 4 \log_3 x + 3 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_3 x$. Уравнение примет вид:
$y^2 - 4y + 3 = 0$
Это квадратное уравнение, аналогичное тому, что было в пункте а). Его корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 3$.
Выполним обратную замену:
1. Если $y = 1$, то $\log_3 x = 1$.
Следовательно, $x = 3^1 = 3$.
2. Если $y = 3$, то $\log_3 x = 3$.
Следовательно, $x = 3^3 = 27$.
Оба корня $x=3$ и $x=27$ удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $3; 27$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 151 расположенного на странице 380 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №151 (с. 380), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.