Номер 151, страница 380 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087768-8

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

Логарифмические уравнения. Задания для повторения - номер 151, страница 380.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№151 (с. 380)
Условие. №151 (с. 380)
скриншот условия
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 380, номер 151, Условие

151 a) $(\log_2 x)^2 - 4 \log_2 x + 3 = 0;$

б) $(\log_3 x)^2 + 4 \log_{\frac{1}{3}} x + 3 = 0.$

Решение 1. №151 (с. 380)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 380, номер 151, Решение 1 Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 380, номер 151, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №151 (с. 380)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 380, номер 151, Решение 2
Решение 3. №151 (с. 380)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 380, номер 151, Решение 3
Решение 5. №151 (с. 380)

а) $(\log_2 x)^2 - 4 \log_2 x + 3 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\log_2 x$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.
Введем новую переменную для упрощения уравнения. Пусть $t = \log_2 x$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение. Решим его относительно $t$. Можно воспользоваться теоремой Виета:
Сумма корней: $t_1 + t_2 = 4$
Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = 3$
Отсюда легко находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену.

1. Если $t = 1$, то $\log_2 x = 1$.
По определению логарифма, $x = 2^1$, что равно $2$.

2. Если $t = 3$, то $\log_2 x = 3$.
По определению логарифма, $x = 2^3$, что равно $8$.

Оба полученных значения $x=2$ и $x=8$ удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $2; 8$.


б) $(\log_3 x)^2 + 4 \log_{\frac{1}{3}} x + 3 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения также определяется условием $x > 0$.
В уравнении присутствуют логарифмы с разными основаниями (3 и $\frac{1}{3}$). Приведем их к одному основанию. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию, а именно свойством $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.
Заметим, что $\frac{1}{3} = 3^{-1}$. Тогда:

$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{3^{-1}} x = \frac{1}{-1} \log_3 x = -\log_3 x$

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$(\log_3 x)^2 + 4(-\log_3 x) + 3 = 0$

$(\log_3 x)^2 - 4 \log_3 x + 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_3 x$. Уравнение примет вид:

$y^2 - 4y + 3 = 0$

Это квадратное уравнение, аналогичное тому, что было в пункте а). Его корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 3$.

Выполним обратную замену:

1. Если $y = 1$, то $\log_3 x = 1$.
Следовательно, $x = 3^1 = 3$.

2. Если $y = 3$, то $\log_3 x = 3$.
Следовательно, $x = 3^3 = 27$.

Оба корня $x=3$ и $x=27$ удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $3; 27$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 151 расположенного на странице 380 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №151 (с. 380), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться