Номер 151, страница 380 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Логарифмические уравнения - номер 151, страница 380.

Условие.

151 a) $(\log_2 x)^2 - 4 \log_2 x + 3 = 0;$

б) $(\log_3 x)^2 + 4 \log_{\frac{1}{3}} x + 3 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) $(\log_2 x)^2 - 4 \log_2 x + 3 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\log_2 x$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.
Введем новую переменную для упрощения уравнения. Пусть $t = \log_2 x$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение. Решим его относительно $t$. Можно воспользоваться теоремой Виета:
Сумма корней: $t_1 + t_2 = 4$
Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = 3$
Отсюда легко находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену.

1. Если $t = 1$, то $\log_2 x = 1$.
По определению логарифма, $x = 2^1$, что равно $2$.

2. Если $t = 3$, то $\log_2 x = 3$.
По определению логарифма, $x = 2^3$, что равно $8$.

Оба полученных значения $x=2$ и $x=8$ удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $2; 8$.

---

б) $(\log_3 x)^2 + 4 \log_{\frac{1}{3}} x + 3 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения также определяется условием $x > 0$.
В уравнении присутствуют логарифмы с разными основаниями (3 и $\frac{1}{3}$). Приведем их к одному основанию. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию, а именно свойством $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.
Заметим, что $\frac{1}{3} = 3^{-1}$. Тогда:

$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{3^{-1}} x = \frac{1}{-1} \log_3 x = -\log_3 x$

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$(\log_3 x)^2 + 4(-\log_3 x) + 3 = 0$

$(\log_3 x)^2 - 4 \log_3 x + 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_3 x$. Уравнение примет вид:

$y^2 - 4y + 3 = 0$

Это квадратное уравнение, аналогичное тому, что было в пункте а). Его корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 3$.

Выполним обратную замену:

1. Если $y = 1$, то $\log_3 x = 1$.
Следовательно, $x = 3^1 = 3$.

2. Если $y = 3$, то $\log_3 x = 3$.
Следовательно, $x = 3^3 = 27$.

Оба корня $x=3$ и $x=27$ удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $3; 27$.