Номер 157, страница 380 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Показатели неравенств. Задания для повторения - номер 157, страница 380.

157 a) $\frac{1}{2^x - 1} \ge \frac{1}{4^x - 3}$;

б) $2^{2x+1} - 21 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2x+3} + 2 \ge 0$;

В) $\frac{7}{9^x - 2} \ge \frac{2}{3^x - 1}$;

Г) $4^{4x+5} - 15 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{4x+3} + 8 \ge 0$.

a)

Решим неравенство $ \frac{1}{2^x - 1} \ge \frac{1}{4^x - 3} $.

Область допустимых значений (ОДЗ):
$ 2^x - 1 \ne 0 \implies 2^x \ne 1 \implies x \ne 0 $
$ 4^x - 3 \ne 0 \implies (2^x)^2 \ne 3 \implies 2^x \ne \sqrt{3} \implies x \ne \log_2(\sqrt{3}) $, то есть $ x \ne \frac{1}{2} $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 2^x $. Так как $ 2^x > 0 $ для любого $ x $, то $ t > 0 $. Неравенство принимает вид:
$ \frac{1}{t - 1} \ge \frac{1}{t^2 - 3} $.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$ \frac{1}{t - 1} - \frac{1}{t^2 - 3} \ge 0 $
$ \frac{(t^2 - 3) - (t - 1)}{(t - 1)(t^2 - 3)} \ge 0 $
$ \frac{t^2 - t - 2}{(t - 1)(t^2 - 3)} \ge 0 $.

Разложим числитель и знаменатель на множители:
$ \frac{(t - 2)(t + 1)}{(t - 1)(t - \sqrt{3})(t + \sqrt{3})} \ge 0 $.

Так как по условию замены $ t > 0 $, множители $ (t + 1) $ и $ (t + \sqrt{3}) $ всегда положительны. Можем разделить на них обе части неравенства, не меняя знака:
$ \frac{t - 2}{(t - 1)(t - \sqrt{3})} \ge 0 $.

Решим это неравенство методом интервалов для $ t > 0 $. Нуль числителя: $ t = 2 $. Нули знаменателя: $ t = 1, t = \sqrt{3} $ (приблизительно 1.732).
Наносим точки на числовую ось и определяем знаки на интервалах $ (0, 1), (1, \sqrt{3}), (\sqrt{3}, 2), (2, +\infty) $.
- Интервал $ (1, \sqrt{3}) $: выражение положительно.
- Интервал $ [2, +\infty) $: выражение положительно (в точке $ t=2 $ равно нулю).
Решение для $ t $: $ t \in (1, \sqrt{3}) \cup [2, +\infty) $.

Выполним обратную замену $ t = 2^x $:
1) $ 1 < 2^x < \sqrt{3} \implies 2^0 < 2^x < 2^{1/2} \implies 0 < x < \frac{1}{2} $.
2) $ 2^x \ge 2 \implies 2^x \ge 2^1 \implies x \ge 1 $.

Объединяя полученные интервалы, получаем окончательное решение, которое удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ x \in (0, \frac{1}{2}) \cup [1, +\infty) $.

б)

Решим неравенство $ 2^{2x+1} - 21 \cdot (\frac{1}{2})^{2x+3} + 2 \ge 0 $.

Преобразуем степени:
$ 2^{2x} \cdot 2^1 - 21 \cdot (2^{-1})^{2x+3} + 2 \ge 0 $
$ 2 \cdot 2^{2x} - 21 \cdot 2^{-2x-3} + 2 \ge 0 $
$ 2 \cdot 2^{2x} - 21 \cdot 2^{-2x} \cdot 2^{-3} + 2 \ge 0 $
$ 2 \cdot 2^{2x} - 21 \cdot \frac{1}{2^{2x}} \cdot \frac{1}{8} + 2 \ge 0 $
$ 2 \cdot 2^{2x} - \frac{21}{8 \cdot 2^{2x}} + 2 \ge 0 $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 2^{2x} $. Так как $ 2^{2x} > 0 $, то $ t > 0 $.
Неравенство принимает вид: $ 2t - \frac{21}{8t} + 2 \ge 0 $.

Умножим обе части на $ 8t $ (так как $ 8t > 0 $, знак неравенства не меняется):
$ 16t^2 - 21 + 16t \ge 0 $
$ 16t^2 + 16t - 21 \ge 0 $.

Найдем корни квадратного уравнения $ 16t^2 + 16t - 21 = 0 $.
Дискриминант $ D = 16^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-21) = 256 + 1344 = 1600 = 40^2 $.
Корни: $ t_1 = \frac{-16 - 40}{32} = -\frac{7}{4} $, $ t_2 = \frac{-16 + 40}{32} = \frac{3}{4} $.

Парабола $ y = 16t^2 + 16t - 21 $ с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $ t \le -\frac{7}{4} $ или $ t \ge \frac{3}{4} $.

Учитывая условие $ t > 0 $, получаем $ t \ge \frac{3}{4} $.

Выполним обратную замену $ t = 2^{2x} $:
$ 2^{2x} \ge \frac{3}{4} $
Прологарифмируем обе части по основанию 2:
$ \log_2(2^{2x}) \ge \log_2(\frac{3}{4}) $
$ 2x \ge \log_2(3) - \log_2(4) $
$ 2x \ge \log_2(3) - 2 $
$ x \ge \frac{\log_2(3) - 2}{2} $.

Ответ: $ x \in [\frac{\log_2(3) - 2}{2}, +\infty) $.

в)

Решим неравенство $ \frac{7}{9^x - 2} \ge \frac{2}{3^x - 1} $.

ОДЗ: $ 9^x - 2 \ne 0 \implies 3^{2x} \ne 2 \implies x \ne \frac{1}{2}\log_3(2) $ и $ 3^x - 1 \ne 0 \implies x \ne 0 $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 3^x $. Так как $ 3^x > 0 $, то $ t > 0 $.
Неравенство принимает вид: $ \frac{7}{t^2 - 2} \ge \frac{2}{t - 1} $.

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$ \frac{7(t - 1) - 2(t^2 - 2)}{(t^2 - 2)(t - 1)} \ge 0 $
$ \frac{7t - 7 - 2t^2 + 4}{(t^2 - 2)(t - 1)} \ge 0 $
$ \frac{-2t^2 + 7t - 3}{(t^2 - 2)(t - 1)} \ge 0 $.

Умножим на -1 и сменим знак неравенства:
$ \frac{2t^2 - 7t + 3}{(t^2 - 2)(t - 1)} \le 0 $.

Найдем корни числителя $ 2t^2 - 7t + 3 = 0 $: $ t_1 = \frac{1}{2} $, $ t_2 = 3 $.
Разложим на множители: $ \frac{2(t - 1/2)(t - 3)}{(t - \sqrt{2})(t + \sqrt{2})(t - 1)} \le 0 $.

Учитывая $ t > 0 $, множитель $ (t + \sqrt{2}) $ всегда положителен. Неравенство равносильно:
$ \frac{(t - 1/2)(t - 3)}{(t - \sqrt{2})(t - 1)} \le 0 $.

Решим методом интервалов для $ t > 0 $. Критические точки: $ t = 1/2, t = 1, t = \sqrt{2}, t = 3 $.
- Интервал $ [1/2, 1) $: выражение неположительно.
- Интервал $ (\sqrt{2}, 3] $: выражение неположительно.
Решение для $ t $: $ t \in [1/2, 1) \cup (\sqrt{2}, 3] $.

Выполним обратную замену $ t = 3^x $:
1) $ 1/2 \le 3^x < 1 \implies 3^{\log_3(1/2)} \le 3^x < 3^0 \implies -\log_3(2) \le x < 0 $.
2) $ \sqrt{2} < 3^x \le 3 \implies 3^{\log_3(\sqrt{2})} < 3^x \le 3^1 \implies \frac{1}{2}\log_3(2) < x \le 1 $.

Ответ: $ x \in [-\log_3(2), 0) \cup (\frac{1}{2}\log_3(2), 1] $.

г)

Решим неравенство $ 4^{4x+5} - 15 \cdot (\frac{1}{4})^{4x+3} + 8 \ge 0 $.

Преобразуем степени, приведя их к одному показателю $ 4x+3 $:
$ 4^{4x+5} = 4^{(4x+3)+2} = 4^{4x+3} \cdot 4^2 = 16 \cdot 4^{4x+3} $
$ (\frac{1}{4})^{4x+3} = \frac{1}{4^{4x+3}} $.

Неравенство принимает вид:
$ 16 \cdot 4^{4x+3} - 15 \cdot \frac{1}{4^{4x+3}} + 8 \ge 0 $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 4^{4x+3} $. Так как $ t > 0 $.
Неравенство становится: $ 16t - \frac{15}{t} + 8 \ge 0 $.

Умножим обе части на $ t $ (так как $ t > 0 $):
$ 16t^2 - 15 + 8t \ge 0 $
$ 16t^2 + 8t - 15 \ge 0 $.

Найдем корни квадратного уравнения $ 16t^2 + 8t - 15 = 0 $.
Дискриминант $ D = 8^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-15) = 64 + 960 = 1024 = 32^2 $.
Корни: $ t_1 = \frac{-8 - 32}{32} = -\frac{5}{4} $, $ t_2 = \frac{-8 + 32}{32} = \frac{3}{4} $.

Парабола $ y = 16t^2 + 8t - 15 $ с ветвями вверх, неравенство выполняется при $ t \le -\frac{5}{4} $ или $ t \ge \frac{3}{4} $.

Учитывая $ t > 0 $, получаем $ t \ge \frac{3}{4} $.

Выполним обратную замену $ t = 4^{4x+3} $:
$ 4^{4x+3} \ge \frac{3}{4} $
Прологарифмируем обе части по основанию 4:
$ \log_4(4^{4x+3}) \ge \log_4(\frac{3}{4}) $
$ 4x+3 \ge \log_4(3) - \log_4(4) $
$ 4x+3 \ge \log_4(3) - 1 $
$ 4x \ge \log_4(3) - 4 $
$ x \ge \frac{\log_4(3) - 4}{4} $.

Ответ: $ x \in [\frac{\log_4(3) - 4}{4}, +\infty) $.